2007 AMC 12B 第 3 题

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3.

点

O

是

\triangle ABC

外接圆的圆心，如图所示，

\angle BOC=120^\circ

，

\angle AOB=140^\circ

，求

\angle ABC

的度数。

The point

O

is the center of the circle circumscribed about

\triangle ABC,

with

\angle BOC=120^\circ

and

\angle AOB=140^\circ,

as shown. What is the degree measure of

\angle ABC?

35

40

45

50

60

答案：D

知识点：圆周角角度和

难度评级：1190

小提示：

点

O

周围的三个圆心角之和为

360^\circ

。

The three central angles at

O

add up to

360^\circ

大提示：

圆周角

\angle ABC

等于圆心角

\angle AOC

的一半。

The inscribed angle

\angle ABC

is half of the central angle

\angle AOC

解答：

点

O

周围角和为

360^\circ

，所以

\begin{aligned} \angle AOC&=360^\circ-140^\circ-120^\circ \\ &=100^\circ \end{aligned}\text{。}

由圆周角定理，

\angle ABC

与圆心角

\angle AOC

截同一弧

AC

，所以

\angle ABC=\tfrac12\angle AOC=50^\circ\text{。}

所以正确答案是 D。

The angles around

O

sum to

360^\circ,

so

\begin{aligned} \angle AOC&=360^\circ-140^\circ-120^\circ \\ &=100^\circ. \end{aligned}

By the inscribed angle theorem,

\angle ABC

subtends the same arc

AC

as the central angle

\angle AOC,

so

\angle ABC=\tfrac12\angle AOC=50^\circ.

Thus, the correct answer is D.

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