2007 AMC 12A 第 12 题

Question

整数

a

、

b

、

c

和

d

从

0

到

2007

（含端点）中独立随机选取，不要求互不相同。

ad-bc

为偶数的概率是多少？

Integers

a,

b,

c,

and

d,

not necessarily distinct, are chosen independently and at random from

0

to

2007,

inclusive. What is the probability that

ad-bc

is even?

\dfrac{3}{8}

\dfrac{7}{16}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{9}{16}

\dfrac{5}{8}

答案：E

知识点：奇偶性基本概率

难度评级：1410

小提示：

ad-bc

为偶数，当且仅当

ad

和

bc

奇偶性相同。

ad-bc

is even exactly when

ad

and

bc

have the same parity

大提示：

像

ad

这样的乘积为奇数的概率是

\tfrac14

，为偶数的概率是

\tfrac34

。

A product like

ad

is odd with probability

\tfrac14

and even with probability

\tfrac34

解答：

从

0

到

2007

的整数中恰好有一半是奇数。

乘积

ad

只有在两个因数都是奇数时才是奇数，概率为

\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14

，因此为偶数的概率为

\tfrac34

。

bc

也同理。

因此

ad-bc

在两个乘积都为奇数或都为偶数时为偶数：

\tfrac14\cdot\tfrac14+\tfrac34\cdot\tfrac34=\tfrac{10}{16}=\tfrac58\text{。}

因此，正确答案是 E。

Exactly half of the integers from

0

to

2007

are odd.

A product

ad

is odd only when both factors are odd, with probability

\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14,

and even with probability

\tfrac34.

The same holds for

bc.

Then

ad-bc

is even when both products are odd or both are even:

\tfrac14\cdot\tfrac14+\tfrac34\cdot\tfrac34=\tfrac{10}{16}=\tfrac58.

Thus, the correct answer is E.

2007 AMC 12A 第 12 题

答案：E

难度评级：1410

小提示：

大提示：

解答：

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