Question

整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 从 $0$ 到 $2007$ （含端点）中独立随机选取，不要求互不相同。 $ad-bc$ 为偶数的概率是多少？

Integers $a,$ $b,$ $c,$ and $d,$ not necessarily distinct, are chosen independently and at random from $0$ to $2007,$ inclusive. What is the probability that $ad-bc$ is even?

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{5}{8}$

答案：E

知识点：奇偶性基本概率

难度评级：1410

解答：

从 $0$ 到 $2007$ 的整数中恰好有一半是奇数。

乘积 $ad$ 只有在两个因数都是奇数时才是奇数，概率为 $\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14$ ，因此为偶数的概率为 $\tfrac34$ 。 $bc$ 也同理。

因此 $ad-bc$ 在两个乘积都为奇数或都为偶数时为偶数： $\tfrac14\cdot\tfrac14+\tfrac34\cdot\tfrac34=\tfrac{10}{16}=\tfrac58.$

因此，正确答案是 E。

Exactly half of the integers from $0$ to $2007$ are odd.

A product $ad$ is odd only when both factors are odd, with probability $\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14,$ and even with probability $\tfrac34.$ The same holds for $bc.$

Then $ad-bc$ is even when both products are odd or both are even: $\tfrac14\cdot\tfrac14+\tfrac34\cdot\tfrac34=\tfrac{10}{16}=\tfrac58.$

Thus, the correct answer is E.

2007 AMC 12A 第 12 题

答案：E

难度评级：1410

解答：

其他年份的第 12 题