2002 AMC 12A 第 12 题

Question

二次方程

x^2 - 63x + k = 0

的两个根都是质数。

k

可能取值的个数是多少？

Both roots of the quadratic equation

x^2 - 63x + k = 0

are prime numbers. The number of possible values of

k

is

0

1

2

4

多于四个

more than four

答案：B

知识点：韦达定理质数奇偶性

难度评级：1350

小提示：

如果两个根是质数

p

和

q

，则

p + q = 63

。

If the roots are primes

p

and

q,

then

p + q = 63

大提示：

和为奇数迫使其中一个质数为

2

。

An odd sum forces one of the primes to be

2

解答：

如果两个根是质数

p

和

q

，则由韦达定理

p + q = 63

，且

pq = k

。

因为

63

是奇数，所以一个质数必须是偶数，即

2

，另一个是

61

。两者都是质数，所以

k = 2\cdot 61 = 122

是唯一可能值。

因此，正确答案是 B。

If the roots are primes

p

and

q,

then by Vieta’s formulas

p + q = 63

and

pq = k.

Since

63

is odd, one prime must be even, namely

2,

and the other is

61.

Both are prime, so

k = 2\cdot 61 = 122

is the only possible value.

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 12A 第 12 题

答案：B

难度评级：1350

小提示：

大提示：

解答：

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