2001 AMC 12 第 12 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

12.

不超过

2001

的正整数中，有多少个是

3

或

4

的倍数，但不是

5

的倍数？

How many positive integers not exceeding

2001

are multiples of

3

or

4

but not

5?

768

801

934

1067

1167

答案：B

知识点：容斥原理区间内整数计数倍数

难度评级：1540

小提示：

先用

\lfloor \frac{2001}{3} \rfloor

+ \lfloor \frac{2001}{4} \rfloor

- \lfloor \frac{2001}{12} \rfloor

计算

3

或

4

的倍数

First count multiples of

3

or

4

using

\lfloor \frac{2001}{3} \rfloor

+ \lfloor \frac{2001}{4} \rfloor

- \lfloor \frac{2001}{12} \rfloor

大提示：

再减去其中也能被

5

整除的数，也就是

15

或

20

的倍数

Then subtract those also divisible by

5,

i.e. the multiples of

15

or

20

解答：

不超过

2001

的

3

或

4

的倍数共有

667 + 500 - 166 = 1001\text{，}

这里用到

\lfloor \frac{2001}{3} \rfloor = 667

、

\lfloor \frac{2001}{4} \rfloor = 500

以及

\lfloor \frac{2001}{12} \rfloor = 166

。

其中能被

5

整除的是

15

或

20

的倍数，共有

133 + 100 - 33 = 200\text{，}

这里用到

\lfloor \frac{2001}{15} \rfloor = 133

、

\lfloor \frac{2001}{20} \rfloor = 100

以及

\lfloor \frac{2001}{60} \rfloor = 33

。

所求个数为

1001 - 200 = 801

。

因此，正确答案是 B。

Multiples of

3

or

4

up to

2001

number

667 + 500 - 166 = 1001,

using

\lfloor \frac{2001}{3} \rfloor = 667,

\lfloor \frac{2001}{4} \rfloor = 500,

and

\lfloor \frac{2001}{12} \rfloor = 166.

Among these, the ones divisible by

5

are multiples of

15

or

20

:

133 + 100 - 33 = 200,

using

\lfloor \frac{2001}{15} \rfloor = 133,

\lfloor \frac{2001}{20} \rfloor = 100,

and

\lfloor \frac{2001}{60} \rfloor = 33.

The count is

1001 - 200 = 801.

Thus, the correct answer is B.

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