1990 AMC 12 第 12 题

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12.

设函数 ff 定义为 f(x)=ax2−2f(x)=ax^2-\sqrt2,其中 aa 为正数。若 f(f(2))=−2f(f(\sqrt2))=-\sqrt2,则 a=a=
Let ff be the function defined by f(x)=ax2−2f(x)=ax^2-\sqrt2 for some positive a.a. If f(f(2))=−2,f(f(\sqrt2))=-\sqrt2, then a=a=
2−22\frac{2-\sqrt2}{2}
12\frac12
2−22-\sqrt2
22\frac{\sqrt2}{2}
2+22\frac{2+\sqrt2}{2}
答案:D
知识点:function compositionradical equation
小提示:
当 aa 为正数时,f(y)f(y) 何时等于 −2-\sqrt2?
For positive a,a, when can f(y)f(y) equal −2?-\sqrt2?
大提示:
令内层的值 f(2)f(\sqrt2) 等于零
Set the inner value f(2)f(\sqrt2) equal to zero
解答:
由于 a>0a\gt0,方程 f(y)=ay2−2=−2f(y)=ay^2-\sqrt2=-\sqrt2 迫使 y=0y=0。因此 f(2)=2a−2=0, f(\sqrt2)=2a-\sqrt2=0\text{,}所以 a=22a=\frac{\sqrt2}{2}。
所以正确答案是 D。
Because a>0,a\gt0, the equation f(y)=ay2−2=−2f(y)=ay^2-\sqrt2=-\sqrt2 forces y=0.y=0. Hence f(2)=2a−2=0, f(\sqrt2)=2a-\sqrt2=0, so a=22.a=\frac{\sqrt2}{2}.
Thus the correct answer is D.
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