1955 AMC 12 第 12 题

Question

方程

\sqrt{5x-1}+\sqrt{x-1}=2

的解为：

The solution of

\sqrt{5x-1}+\sqrt{x-1}=2

is:

x=2

、

x=1

x=2,

x=1

x=\dfrac23

x=2

x=1

x=0

根式

\sqrt{x-1}

的实数定义域要求

x\ge1

The real-domain restriction

\sqrt{x-1}

gives

x\ge1

在把方程两边平方之前，先检验最简单的端点

Test the simplest endpoint before squaring the equation

定义域要求

x\ge1

。当

x=1

时，左边为

2+0=2

，所以

x=1

是一个解。要说明没有其他解，注意当

x\ge1

时，两个根式都不减，而

\sqrt{5x-1}

严格递增。因此，对每个

x>1

，两个根式之和都大于

2

。

因此，正确答案是 D。

The domain requires

x\ge1.

At

x=1,

the left side is

2+0=2,

so

x=1

works. To see that there is no other solution, note that both radicals are nondecreasing for

x\ge1,

and

\sqrt{5x-1}

is strictly increasing. Therefore the sum exceeds

2

for every

x>1.

Thus, the correct answer is D.

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