1994 AMC 12 Problema 3

Question

¿Cuántas de las siguientes expresiones son iguales a

x^x+x^x

para todo

x\gt0

?

\begin{aligned} \mathrm{I:}\quad&2x^x\\ \mathrm{II:}\quad&x^{2x}\\ \mathrm{III:}\quad&(2x)^x\\ \mathrm{IV:}\quad&(2x)^{2x} \end{aligned}

How many of the following are equal to

x^x+x^x

for all

x\gt0?

\begin{aligned} \mathrm{I:}\quad&2x^x\\ \mathrm{II:}\quad&x^{2x}\\ \mathrm{III:}\quad&(2x)^x\\ \mathrm{IV:}\quad&(2x)^{2x} \end{aligned}

0

1

2

3

4

Primero combina los dos términos idénticos

First combine the two identical terms

Comprueba si cambiar la base o el exponente conserva

2x^x

para todo

x

Test whether changing the base or exponent preserves

2x^x

for every

x

La suma dada es

2x^x,

por lo que la expresión I siempre es igual a ella. La expresión II falla cuando

x=1,

pues su valor es

1

en vez de

2.

La expresión III falla cuando

x=2,

pues su valor es

16

en vez de

8.

La expresión IV falla cuando

x=1,

pues su valor es

4

en vez de

2.

Por consiguiente, solo una expresión funciona. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The given sum is

2x^x,

so expression I is always equal to it. Expression II fails at

x=1,

where its value is

1

instead of

2.

Expression III fails at

x=2,

where its value is

16

instead of

8.

Expression IV fails at

x=1,

where its value is

4

instead of

2.

Hence only one expression works. Thus the correct answer is B.

El Problema 3 en otros años