Question

¿Cuál es el volumen del tetraedro $ABCD$ con longitudes de aristas $AB = 2$ , $AC = 3$ , $AD = 4$ , $BC = \sqrt{13}$ , $BD = 2\sqrt{5}$ y $CD = 5$ ?

What is the volume of tetrahedron $ABCD$ with edge lengths $AB = 2,$ $AC = 3,$ $AD = 4,$ $BC = \sqrt{13},$ $BD = 2\sqrt{5},$ and $CD = 5?$

$3$

$2\sqrt{3}$

$4$

$3\sqrt{3}$

$6$

Solución en video:

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Solución escrita:

Coloca $A=(0,0,0)$ , $B=(2,0,0)$ , $C=(0,3,0)$ y $D=(0,0,4)$ . Entonces

$\begin{aligned} BC &= \sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}, \\ BD &= \sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5, \\ CD &= \sqrt{3^2+4^2}=5, \end{aligned}$

así que este modelo de coordenadas coincide con todas las longitudes de aristas dadas. El tetraedro es un tetraedro de esquina rectangular con longitudes de aristas perpendiculares $2,3,4$ desde $A$ , por lo que su volumen es

$\frac16(2)(3)(4)=4.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Place $A=(0,0,0)$ , $B=(2,0,0)$ , $C=(0,3,0)$ , and $D=(0,0,4)$ . Then

$\begin{aligned} BC &= \sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}, \\ BD &= \sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5, \\ CD &= \sqrt{3^2+4^2}=5, \end{aligned}$

so this coordinate model matches all the given edge lengths. The tetrahedron is a rectangular-corner tetrahedron with perpendicular edge lengths $2,3,4$ from $A$ , so its volume is

$\frac16(2)(3)(4)=4.$

Thus, C is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 13

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 13 en otros años