Question

Dos circunferencias de radio $2$ tienen centros en $(2,0)$ y en $(0,2).$ ¿Cuál es el área de la intersección de los interiores de las dos circunferencias?

Two circles of radius $2$ are centered at $(2,0)$ and at $(0,2).$ What is the area of the intersection of the interiors of the two circles?

$\pi-2$

$\dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{\pi\sqrt3}{3}$

$2(\pi-2)$

$\pi$

Solución:

Las dos circunferencias se cortan en $(0,0)$ y $(2,2).$

Por simetría, la mitad de la intersección se forma quitando un triángulo rectángulo isósceles de cateto $2$ a un cuarto de una circunferencia. El cuarto de círculo tiene área $\dfrac14\pi(2)^2=\pi$ y el triángulo tiene área $\dfrac12(2)^2=2.$

Por lo tanto toda la región tiene área $2(\pi-2).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The two circles intersect at $(0,0)$ and $(2,2).$

By symmetry, half the intersection is formed by removing an isosceles right triangle of leg length $2$ from a quarter of one circle. The quarter-circle has area $\dfrac14\pi(2)^2=\pi$ and the triangle has area $\dfrac12(2)^2=2.$

Therefore the whole region has area $2(\pi-2).$

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 10B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años