Question

Hay $5$ clavijas amarillas, $4$ clavijas rojas, $3$ clavijas verdes, $2$ clavijas azules y $1$ clavija naranja que se deben colocar en un tablero triangular de clavijas. ¿De cuántas maneras se pueden colocar las clavijas de modo que ninguna fila (horizontal) ni columna (vertical) contenga dos clavijas del mismo color?

There are $5$ yellow pegs, $4$ red pegs, $3$ green pegs, $2$ blue pegs, and $1$ orange peg to be placed on a triangular peg board. In how many ways can the pegs be placed so that no (horizontal) row or (vertical) column contains two pegs of the same color?

$0$

$1$

$5! \cdot 4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1!$

$15!/(5! \cdot 4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1!)$

$15!$

Solución:

El tablero tiene cinco filas y cinco columnas. Para evitar dos clavijas amarillas en una fila o columna, debe haber exactamente una clavija amarilla en cada fila, lo que obliga a las clavijas amarillas a ubicarse en la diagonal larga.

Las cuatro clavijas rojas deben ir entonces en las filas $2$ a $5,$ y las únicas posiciones que quedan también las obligan a formar una sola diagonal. Continuando con verde, azul y naranja, cada color queda forzado a una posición única.

Por lo tanto, hay exactamente una disposición válida.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The board has five rows and five columns. To avoid two yellow pegs in a row or column, there must be exactly one yellow peg in each row, forcing the yellow pegs onto the long diagonal.

The four red pegs must then each go in rows $2$ through $5,$ and the only positions left force them into a single diagonal as well. Continuing with green, blue, and orange, every color is forced into a unique position.

Hence there is exactly one valid arrangement.

Thus, the correct answer is B.

2000 AMC 10 Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años