Question

¿Cuántos de los primeros $2018$ números de la sucesión $101, 1001, 10001, 100001, \ldots$ son divisibles entre $101$ ?

How many of the first $2018$ numbers in the sequence $101, 1001, 10001, 100001, \ldots$ are divisible by $101?$

$253$

$504$

$505$

$506$

$1009$

Solución:

El $k$ -ésimo término es $10^{k+1} + 1,$ al cual $101$ divide si y solo si $10^{k+1} \equiv -1 \pmod{101}.$ Nota que $10^2 = 100 \equiv -1 \pmod{101}.$ Así, $10^m \equiv -1$ exactamente cuando $m \equiv 2 \pmod 4,$ es decir $k + 1 \equiv 2,$ o sea $k \equiv 1 \pmod 4.$ Entre $k = 1, 2, \ldots, 2018,$ los valores $1, 5, \ldots, 2017$ suman $505.$ Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The $k$ -th term is $10^{k+1} + 1,$ which $101$ divides iff $10^{k+1} \equiv -1 \pmod{101}.$ Notice $10^2 = 100 \equiv -1 \pmod{101}.$ So $10^m \equiv -1$ exactly when $m \equiv 2 \pmod 4,$ meaning $k + 1 \equiv 2,$ that is $k \equiv 1 \pmod 4.$ Among $k = 1, 2, \ldots, 2018,$ the values $1, 5, \ldots, 2017$ number $505.$ Thus, C is the correct answer.

2018 AMC 10B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años