Question

Una lista de $2018$ enteros positivos tiene una única moda, que aparece exactamente $10$ veces. ¿Cuál es el menor número de valores distintos que pueden aparecer en la lista?

A list of $2018$ positive integers has a unique mode, which occurs exactly $10$ times. What is the least number of distinct values that can occur in the list?

$202$

$223$

$224$

$225$

$234$

Solución:

La moda aparece $10$ veces. Para mantener pequeño el número de valores distintos, deja que cada otro valor se repita tanto como permitan las reglas, que es $9$ veces cada uno (más igualaría a la moda). Con $d$ valores distintos, la lista contiene a lo sumo $10 + 9(d-1)$ elementos. Necesitamos $10 + 9(d-1) \ge 2018,$ así que $d - 1 \ge 223.1,$ lo que da $d \ge 225.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

The mode shows up $10$ times. To keep the number of distinct values small, let every other value repeat as much as the rules allow, which is $9$ times each (any more would tie the mode). With $d$ distinct values the list holds at most $10 + 9(d-1)$ entries. We need $10 + 9(d-1) \ge 2018,$ so $d - 1 \ge 223.1,$ giving $d \ge 225.$ Therefore, the answer is D.

2018 AMC 10B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años