Question

Cada semana Roger paga una entrada de cine y un refresco con su mesada. La semana pasada, la mesada de Roger fue $A$ dólares. El costo de su entrada de cine fue $20\%$ de la diferencia entre $A$ y el costo de su refresco, mientras que el costo de su refresco fue $5\%$ de la diferencia entre $A$ y el costo de su entrada de cine. Al entero de porcentaje más cercano, ¿qué fracción de $A$ pagó Roger por su entrada de cine y su refresco?

Every week Roger pays for a movie ticket and a soda out of his allowance. Last week, Roger's allowance was $A$ dollars. The cost of his movie ticket was $20\%$ of the difference between $A$ and the cost of his soda, while the cost of his soda was $5\%$ of the difference between $A$ and the cost of his movie ticket. To the nearest whole percent, what fraction of $A$ did Roger pay for his movie ticket and soda?

$9\%$

$19\%$

$22\%$

$23\%$

$25\%$

Solución:

Sea $t$ el costo de la entrada y $s$ el costo del refresco. Entonces obtenemos las siguientes ecuaciones. $t = \dfrac{A - s}{5}$ $s = \dfrac{A - t}{20}$

Multiplicar en cruz la primera ecuación nos da $5t = A - s.$ Sustituyendo la expresión de $s$ se obtiene $5t = A - \dfrac{A - t}{20}.$ Resolviendo se obtiene $\begin{align*} 5t &= A - \dfrac{A - t}{20} \\ 100t &= 20A - A + t \\ 99t &= 19A \\ t &= \dfrac{19A}{99}. \end{align*}$

Esto también nos da $s = \dfrac{A - \frac{19A}{99}}{20} = \dfrac{4A}{99}.$

Sumando los costos se obtiene $\dfrac{19A}{99} + \dfrac{4A}{99} = \dfrac{23A}{99} \approx 23 \%.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $t$ be the cost of the ticket and $s$ be the cost of the soda. Then we get the following equations. $t = \dfrac{A - s}{5}$ $s = \dfrac{A - t}{20}$

Cross-multiplying the first equation gives us $5t = A - s.$ Substituting in the expression for $s$ yields $5t = A - \dfrac{A - t}{20}.$ Solving yields $\begin{align*} 5t &= A - \dfrac{A - t}{20} \\ 100t &= 20A - A + t \\ 99t &= 19A \\ t &= \dfrac{19A}{99}. \end{align*}$

This also gives us $s = \dfrac{A - \frac{19A}{99}}{20} = \dfrac{4A}{99}.$

Adding together the costs gives us $\dfrac{19A}{99} + \dfrac{4A}{99} = \dfrac{23A}{99} \approx 23 \%.$

Thus, D is the correct answer.

2017 AMC 10A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años