Question

Dos triángulos equiláteros están contenidos en un cuadrado cuyo lado mide $2\sqrt 3$ . Las bases de estos triángulos son lados opuestos del cuadrado, y su intersección es un rombo. ¿Cuál es el área del rombo?

Two equilateral triangles are contained in a square whose side length is $2\sqrt 3.$ The bases of these triangles are opposite sides of the square, and their intersection is a rhombus. What is the area of the rhombus?

$\dfrac{3}{2}$

$\sqrt 3$

$2\sqrt 3 - 1$

$8\sqrt 3 - 12$

$\dfrac{4\sqrt 3}{3}$

Solución:

Este rombo se forma con dos triángulos equiláteros congruentes. Sea $s$ la longitud de su lado. Entonces el área de uno de ellos es $\dfrac{s^2 \sqrt 3}4$ , de modo que el área total es $\dfrac{s^2 \sqrt 3}2$ .

El lado del triángulo equilátero mayor es $2 \sqrt 3$ . Su altura es $3$ , ya que la altura es igual a $2 \sqrt 3 \sin(60^\circ)$ .

La mitad del cuadrado es $\sqrt 3$ , así que la altura del triángulo menor es $3 - \sqrt 3$ . Por lo tanto, la razón entre $s$ y $2 \sqrt 3$ es $\dfrac {3-\sqrt 3}3$ .

En consecuencia, $s = \dfrac{2 \sqrt 3(3-\sqrt 3)}3 = 2\sqrt 3-2 .$

Por lo tanto, el área combinada es $\begin{align*} \dfrac{s^2 \sqrt 3}2 &= \dfrac{(2\sqrt 3-2)^2 \sqrt 3 }2 \\&= \dfrac{(16-8\sqrt 3) \sqrt 3 }2 \\&= 8 \sqrt 3 - 12 \end{align*}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

This rhombus is created by placing two congruent equilateral triangles. Let the side length of it be $s.$ Then, the area of one of them is $\dfrac{s^2 \sqrt 3}4,$ making the total area $\dfrac{s^2 \sqrt 3}2.$

The side length of the larger equilateral triangle is $2 \sqrt 3.$ The height of it is $3$ since the height is equal to $2 \sqrt 3 \sin(60^\circ) .$

Half of the square is $\sqrt 3,$ so the height of the smaller triangle is $3 - \sqrt 3 .$ Thus, the ratio between $s$ and $2 \sqrt 3$ is $\dfrac {3-\sqrt 3}3 .$

As such, $s = \dfrac{2 \sqrt 3(3-\sqrt 3)}3 = 2\sqrt 3-2 .$

Therefore, the combined area is $\begin{align*} \dfrac{s^2 \sqrt 3}2 &= \dfrac{(2\sqrt 3-2)^2 \sqrt 3 }2 \\&= \dfrac{(16-8\sqrt 3) \sqrt 3 }2 \\&= 8 \sqrt 3 - 12 \end{align*}$

Thus, the correct answer is D .

2012 AMC 10B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años