Question

Los números reales $x$ y $y$ satisfacen $x + y = 4$ y $x \cdot y = -2$ .

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? $x + \frac{x^3}{y^2} + \frac{y^3}{x^2} + y$

Real numbers $x$ and $y$ satisfy $x + y = 4$ and $x \cdot y = -2.$ What is the value of

$x + \frac{x^3}{y^2} + \frac{y^3}{x^2} + y?$

$360$

$400$

$420$

$440$

$480$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $S_k=x^k+y^k$ . Como $x+y=4$ y $xy=-2$ , los números $x$ y $y$ satisfacen $t^2-4t-2=0$ , así que $S_k=4S_{k-1}+2S_{k-2}$ .

Usando $S_0=2$ y $S_1=4$ , obtenemos $S_2=20$ , $S_3=88$ , $S_4=392$ y $S_5=1744$ . La expresión es $x+y+\dfrac{x^5+y^5}{x^2y^2}$ $=4+\dfrac{1744}{4}=440$ . Así, D es la respuesta correcta.

Let $S_k=x^k+y^k$ . Since $x+y=4$ and $xy=-2$ , the numbers $x$ and $y$ satisfy $t^2-4t-2=0$ , so $S_k=4S_{k-1}+2S_{k-2}$ .

Using $S_0=2$ and $S_1=4$ , we get $S_2=20$ , $S_3=88$ , $S_4=392$ , and $S_5=1744$ . The expression is $x+y+\dfrac{x^5+y^5}{x^2y^2}$ $=4+\dfrac{1744}{4}=440$ . Thus, D is the correct answer.

2020 AMC 10A Problema 14

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Solución escrita:

El Problema 14 en otros años