Question

Los números reales

x

y

y

satisfacen

x + y = 4

y

x \cdot y = -2.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

x + \frac{x^3}{y^2} + \frac{y^3}{x^2} + y?

Real numbers

x

and

y

satisfy

x + y = 4

and

x \cdot y = -2.

What is the value of

x + \frac{x^3}{y^2} + \frac{y^3}{x^2} + y?

360

400

420

440

480

Respuesta: D

Conceptos:Sumas de Newton Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Usa las sumas de potencias

S_k=x^k+y^k

.

Use power sums

S_k=x^k+y^k

Pista grande:

La relación

t^2-4t-2=0

da una recurrencia para

S_k

.

The relation

t^2-4t-2=0

gives a recurrence for

S_k

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea

S_k=x^k+y^k

. Como

x+y=4

y

xy=-2

, los números

x

y

y

satisfacen

t^2-4t-2=0

, así que

S_k=4S_{k-1}+2S_{k-2}

.

Usando

S_0=2

y

S_1=4

, obtenemos

S_2=20

,

S_3=88

,

S_4=392

y

S_5=1744

. La expresión es

x+y+\dfrac{x^5+y^5}{x^2y^2}

=4+\dfrac{1744}{4}=440

. Así, D es la respuesta correcta.

Let

S_k=x^k+y^k

. Since

x+y=4

and

xy=-2

, the numbers

x

and

y

satisfy

t^2-4t-2=0

, so

S_k=4S_{k-1}+2S_{k-2}

.

Using

S_0=2

and

S_1=4

, we get

S_2=20

,

S_3=88

,

S_4=392

, and

S_5=1744

. The expression is

x+y+\dfrac{x^5+y^5}{x^2y^2}

=4+\dfrac{1744}{4}=440

. Thus, D is the correct answer.

2020 AMC 10A Problema 14