Question

¿De cuántas maneras se puede escribir $2016$ como suma de doses y treses, sin importar el orden? (Por ejemplo, $1008\cdot 2 + 0\cdot 3$ y $402\cdot 2 + 404\cdot 3$ son dos de esas maneras.)

How many ways are there to write $2016$ as the sum of twos and threes, ignoring order? (For example, $1008\cdot 2 + 0\cdot 3$ and $402\cdot 2 + 404\cdot 3$ are two such ways.)

$236$

$336$

$337$

$403$

$672$

Solución:

El problema se puede reescribir como una ecuación $2x + 3y = 2016,$ donde $x$ es el número de doses y $y$ es el número de treses.

El objetivo es contar cuántos múltiplos de $3$ se pueden restar de 2016 para obtener un número par.

Esto se logra con los pares desde $(1008, 0)$ hasta $(0, 672)$ , donde $y$ se incrementa en $2.$

Esto nos da $\dfrac{672}{2} + 1 = 337$ soluciones para $y$ y $x.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The problem can be rewritten as an equation $2x + 3y = 2016,$ where $x$ is the number of twos and $y$ is the number of threes.

The goal is to find the number of multiples of $3$ that can be subtracted from 2016 to result in an even number.

This can be achieved by the pairs of $(1008, 0)$ up to $(0, 672)$ with $y$ being incremented by $2.$

This gives us $\dfrac{672}{2} + 1 = 337$ solutions for $y$ and $x.$

Thus, the correct answer is C .

2016 AMC 10A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años