Soluciones del 2016 AMC 10A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de $\dfrac{11!-10!}{9!}$ ?

What is the value of $\dfrac{11!-10!}{9!}?$

$99$

$100$

$110$

$121$

$132$

Conceptos:factorial factorización

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Factoriza $10!$ o $9!$ del numerador.

Factor $10!$ or $9!$ from the numerator

Pista grande:

Usa $11!=11\cdot10\cdot9!$ .

Use $11!=11\cdot10\cdot9!$

Solución:

Podemos factorizar un $9!$ del numerador y simplificar. $\begin{aligned} \dfrac{9!(11 \cdot 10 - 10)}{9!} &=11 \cdot 10 - 10 \\&= 110 - 10 \\&= 100. \end{aligned}$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

We can factor a $9!$ out of the numerator and simplify. $\begin{aligned} \dfrac{9!(11 \cdot 10 - 10)}{9!} &=11 \cdot 10 - 10 \\&= 110 - 10 \\&= 100. \end{aligned}$ Thus, the correct answer is B .

2.

¿Para qué valor de $x$ se cumple que $10^{x} \cdot 100^{2x}=1000^{5}?$

For what value of $x$ does $10^{x} \cdot 100^{2x}=1000^{5}?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:exponente

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Escribe todo como una potencia de $10$ .

Write everything as a power of $10$

Pista grande:

El lado izquierdo se convierte en $10^{5x}$ .

The left side becomes $10^{5x}$

Solución:

Reescribimos todas las bases como potencias de $10$ : $\small 10^x\cdot100^{2x}=10^x\cdot(10^2)^{2x}=10^{5x},$ y $1000^5=(10^3)^5=10^{15}.$

Por lo tanto $5x=15$ , así que $x=3$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Rewrite all bases as powers of $10$ : $\small 10^x\cdot100^{2x}=10^x\cdot(10^2)^{2x}=10^{5x},$ and $1000^5=(10^3)^5=10^{15}.$

Therefore $5x=15$ , so $x=3$ .

Thus, the correct answer is C.

3.

Por cada dólar que Ben gastó en bagels, David gastó $25$ centavos menos. Ben pagó $\$12.50$ más que David. ¿Cuánto gastaron juntos en la tienda de bagels?

For every dollar Ben spent on bagels, David spent $25$ cents less. Ben paid $\$12.50$ more than David. How much did they spend in the bagel store together?

$\$37.50$

$\$50.00$

$\$87.50$

$\$90.00$

$\$92.50$

Conceptos:razón y proporción dinero

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

David gasta $75$ centavos por cada dólar que gasta Ben.

David spends $75$ cents for each dollar Ben spends

Pista grande:

La diferencia es una cuarta parte de lo que gasta Ben.

The difference is one quarter of Ben’s spending

Solución:

Por cada dólar que Ben gastó, David gastó $75$ centavos, así que la diferencia fue de $25$ centavos. La diferencia total $\$12.50$ es, por lo tanto, una cuarta parte de lo que gastó Ben.

Ben gastó $12.50\div0.25=50$ dólares, y David gastó $37.50$ dólares. Juntos gastaron $87.50$ dólares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For each dollar Ben spent, David spent $75$ cents, so the difference was $25$ cents. The total difference $\$12.50$ is therefore one quarter of Ben’s spending.

Ben spent $12.50\div0.25=50$ dollars, and David spent $37.50$ dollars. Together they spent $87.50$ dollars.

Thus, the correct answer is C.

4.

La función residuo se puede definir para todos los números reales $x$ y $y$ con $y \neq 0$ mediante $\operatorname{rem}(x,y)=x-y\left\lfloor\frac{x}{y}\right\rfloor,$ donde $\left \lfloor \frac{x}{y} \right \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $\frac{x}{y}$ . ¿Cuál es el valor de $\text{rem} \left(\frac{3}{8}, -\frac{2}{5} \right)$ ?

The remainder function can be defined for all real numbers $x$ and $y$ with $y \neq 0$ by $\operatorname{rem}(x,y)=x-y\left\lfloor\frac{x}{y}\right\rfloor,$ where $\left \lfloor \frac{x}{y} \right \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $\frac{x}{y}.$ What is the value of $\text{rem} \left(\frac{3}{8}, -\frac{2}{5} \right)?$

$-\dfrac{3}{8}$

$-\dfrac{1}{40}$

$0$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{31}{40}$

Conceptos:funciones piso y techo fracción

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Calcula $\frac{x}{y}$ antes de aplicar la función piso.

Compute $\frac{x}{y}$ before applying the floor function

Pista grande:

$\left\lfloor-\frac{15}{16}\right\rfloor=-1$ .

$\left\lfloor-\frac{15}{16}\right\rfloor=-1$

Solución:

Usando la fórmula, obtenemos $\begin{aligned} \text{rem} \left(\dfrac{3}{8}, -\dfrac{2}{5}\right) &= \dfrac{3}{8} \\ &{}+ \dfrac{2}{5} \left \lfloor \dfrac{\frac{3}{8}}{-\frac{2}{5}}\right \rfloor \\ &= \dfrac{3}{8} \\ &{}+ \dfrac{2}{5} \left \lfloor -\dfrac{15}{16} \right \rfloor \\ &= \dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{5} \cdot -1 \\ &= \dfrac{3}{8} - \dfrac{2}{5} \\ &= - \dfrac{1}{40} \end{aligned}$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Using the formula, we get $\begin{aligned} \text{rem} \left(\dfrac{3}{8}, -\dfrac{2}{5}\right) &= \dfrac{3}{8} \\ &{}+ \dfrac{2}{5} \left \lfloor \dfrac{\frac{3}{8}}{-\frac{2}{5}}\right \rfloor \\ &= \dfrac{3}{8} \\ &{}+ \dfrac{2}{5} \left \lfloor -\dfrac{15}{16} \right \rfloor \\ &= \dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{5} \cdot -1 \\ &= \dfrac{3}{8} - \dfrac{2}{5} \\ &= - \dfrac{1}{40} \end{aligned}$ Thus, the correct answer is B .

5.

Una caja rectangular tiene longitudes de lados enteras en la razón $1:3:4.$ ¿Cuál de las siguientes podría ser el volumen de la caja?

A rectangular box has integer side lengths in the ratio $1:3:4.$ Which of the following could be the volume of the box?

$48$

$56$

$64$

$96$

$144$

Conceptos:volumen razón y proporción

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Si los lados son $s,3s,4s$ , el volumen es $12s^3$ .

If the sides are $s,3s,4s$ , the volume is $12s^3$

Pista grande:

Comprueba cuál opción es $12$ veces un cubo.

Test which choice is $12$ times a cube

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado más pequeño, entonces los otros dos lados son $3s$ y $4s$ .

Por lo tanto, el volumen es $s \cdot 3s \cdot 4s = 12s^3.$ Probando valores de $s,$ vemos que si $s = 2,$ entonces $12s^3 = 96,$ que es una de las opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $s$ be the side length of the smallest side. Then the other two sides are $3s$ and $4s.$

The volume is therefore $s \cdot 3s \cdot 4s = 12s^3.$ Testing out values of $s,$ we see that if $s = 2,$ then $12s^3 = 96,$ which is an answer choice.

Thus, the correct answer is D .

6.

Ximena escribe los números enteros del $1$ al $30$ una vez cada uno. Emilio copia los números de Ximena, reemplazando cada aparición del dígito $2$ por el dígito $1.$ Ximena suma sus números y Emilio suma los suyos. ¿Cuánto mayor es la suma de Ximena que la de Emilio?

Ximena lists the whole numbers $1$ through $30$ once. Emilio copies Ximena’s numbers, replacing each occurrence of the digit $2$ by the digit $1.$ Ximena adds her numbers and Emilio adds his numbers. How much larger is Ximena’s sum than Emilio’s?

$13$

$26$

$102$

$103$

$110$

Conceptos:valor posicional dígitos

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Cambiar un dígito de las unidades $2$ por $1$ hace perder $1$ .

Changing a units digit $2$ to $1$ loses $1$

Pista grande:

Cambiar un dígito de las decenas $2$ por $1$ hace perder $10$ .

Changing a tens digit $2$ to $1$ loses $10$

Solución:

Cuando Emilio cambia un dígito de las unidades $2$ por $1$ , su número copiado es menor en $1$ . Esto ocurre en $2,12,22$ , para una pérdida de $3$ .

Cuando cambia un dígito de las decenas $2$ por $1$ , su número copiado es menor en $10$ . Esto ocurre para $20,21,\ldots,29$ , para una pérdida de $100$ .

Por lo tanto, la suma de Emilio es $103$ menor que la de Ximena, así que la suma de Ximena es $103$ mayor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

When Emilio changes a units digit $2$ to $1$ , his copied number is smaller by $1$ . This happens in $2,12,22$ , for a loss of $3$ .

When he changes a tens digit $2$ to $1$ , his copied number is smaller by $10$ . This happens for $20,21,\ldots,29$ , for a loss of $100$ .

Thus Emilio’s sum is $103$ less than Ximena’s sum, so Ximena’s sum is $103$ larger.

Thus, the correct answer is D.

7.

La media, la mediana y la moda de los $7$ valores $60, 100, x, 40, 50, 200, 90$ son todas iguales a $x$ . ¿Cuál es el valor de $x$ ?

The mean, median, and mode of the $7$ data values $60, 100, x, 40, 50, 200, 90$ are all equal to $x.$ What is the value of $x?$

$50$

$60$

$75$

$90$

$100$

Conceptos:media mediana (datos)moda

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Usa primero la condición de la media.

Use the mean condition first

Pista grande:

Después de hallar $x$ , verifica que la mediana y la moda también sean iguales a $x$ .

After finding $x$ , check that median and mode also equal $x$

Solución:

La suma de los siete valores es $540+x$ . Si la media es igual a $x$ , entonces $\frac{540+x}{7}=x,$ así que $540=6x$ y $x=90$ .

Con $x=90$ , el conjunto ordenado de datos es $40,50,60,90,90,100,200$ . Su mediana es $90$ , y su moda también es $90$ , así que el valor funciona.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The sum of the seven data values is $540+x$ . If the mean equals $x$ , then $\frac{540+x}{7}=x,$ so $540=6x$ and $x=90$ .

With $x=90$ , the ordered data set is $40,50,60,90,90,100,200$ . Its median is $90$ , and its mode is also $90$ , so the value works.

Thus, the correct answer is D.

8.

Trickster Rabbit acuerda con Foolish Fox duplicar el dinero de Fox cada vez que Fox cruza el puente junto a la casa de Rabbit, siempre que Fox pague $40$ monedas de peaje a Rabbit después de cada cruce. El pago se hace después de la duplicación. Fox está entusiasmado con su buena suerte hasta que descubre que se ha quedado sin dinero tras cruzar el puente tres veces. ¿Cuántas monedas tenía Fox al principio?

Trickster Rabbit agrees with Foolish Fox to double Fox’s money every time Fox crosses the bridge by Rabbit’s house, as long as Fox pays $40$ coins in toll to Rabbit after each crossing. The payment is made after the doubling. Fox is excited about his good fortune until he discovers that all his money is gone after crossing the bridge three times. How many coins did Fox have at the beginning?

$20$

$30$

$35$

$40$

$45$

Conceptos:trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Trabaja hacia atrás desde cero monedas después del tercer peaje.

Work backward from zero coins after the third toll

Pista grande:

Deshaz cada cruce sumando $40$ y luego dividiendo entre dos.

Undo each crossing by adding $40$ , then halving

Solución:

Sabemos que Fox tiene $0$ monedas al final, así que antes de pagar el último peaje tenía $40$ monedas.

Entonces tenía $40 \div 2 = 20$ monedas antes de la duplicación; y antes de pagar el peaje del segundo cruce tenía $20 + 40 = 60$ monedas.

Antes de la duplicación en el segundo cruce tenía $60 \div 2 = 30$ monedas; y antes del peaje del primer cruce Fox tenía $30 + 40 = 70$ monedas.

Finalmente, antes de la primera duplicación, Fox tenía $70 \div 2 = 35$ monedas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

We know that Fox has $0$ coins at the end. Then before paying the final toll, Fox had $40$ coins.

Then he had $40 \div 2 = 20$ coins before the doubling. Then before paying the toll for the second crossing, he had $20 + 40 = 60$ coins.

Before the doubling on the second crossing, he had $60 \div 2 = 30$ coins. On the first crossing before the toll, Fox had $30 + 40 = 70$ coins.

Finally, before the first doubling, Fox had $70 \div 2 = 35$ coins.

Thus, the correct answer is C .

9.

Un arreglo triangular de $2016$ monedas tiene $1$ moneda en la primera fila, $2$ monedas en la segunda fila, $3$ monedas en la tercera fila, y así sucesivamente hasta $N$ monedas en la fila $N$ . ¿Cuál es la suma de los dígitos de $N$ ?

A triangular array of $2016$ coins has $1$ coin in the first row, $2$ coins in the second row, $3$ coins in the third row, and so on up to $N$ coins in the $N$ th row. What is the sum of the digits of $N?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Conceptos:número triangular factorización dígitos

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Resuelve la ecuación $\frac{N(N+1)}{2}=2016$ .

Solve $\frac{N(N+1)}{2}=2016$

Pista grande:

Busca factores consecutivos de $4032$ .

Look for consecutive factors of $4032$

Solución:

Recuerda que la suma de los primeros $N$ números es $\dfrac{N(N + 1)}{2}$ .

Queremos hallar $N$ tal que $\dfrac{N(N + 1)}{2} = 2016.$ Multiplicando en cruz y simplificando obtenemos $N^2 + N - 4032 = 0.$ Factorizando obtenemos $(N - 63)(N + 64) = 0.$ Queremos el valor positivo, así que $N = 63$ . Sumando los dígitos obtenemos $9$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Recall that the sum of the first $N$ numbers is $\dfrac{N(N + 1)}{2}.$

We want to find $N$ such that $\dfrac{N(N + 1)}{2} = 2016.$ Cross-multiplying and simplifying gives us $N^2 + N - 4032 = 0.$ Factoring gives us $(N - 63)(N + 64) = 0.$ We want the positive value so $N = 63.$ Adding together the digits gives us $9.$

Thus, the correct answer is D .

10.

Una alfombra está hecha con tres colores diferentes, como se muestra. Las áreas de las tres regiones de distinto color forman una progresión aritmética. El rectángulo interior mide un pie de ancho, y cada una de las dos regiones exteriores mide $1$ pie de ancho en los cuatro lados. ¿Cuál es la longitud en pies del rectángulo interior?

A rug is made with three different colors as shown. The areas of the three differently colored regions form an arithmetic progression. The inner rectangle is one foot wide, and each of the two shaded regions is $1$ foot wide on all four sides. What is the length in feet of the inner rectangle?

$1$

$2$

$4$

$6$

$8$

Conceptos:área sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Sea $l$ la longitud del rectángulo interior.

Let the inner rectangle have length $l$

Pista grande:

Las áreas de las tres regiones son $l,2l+6,2l+14$ .

The three region areas are $l,2l+6,2l+14$

Solución:

Sea $l$ la longitud del rectángulo interior, entonces el área del rectángulo interior es $l$ .

El área de la región intermedia será $(l + 2) \cdot 3 - l = 2l + 6.$ El área de la región exterior es $(l + 4) \cdot 5 - (l + 2) \cdot 3 = 2l + 14.$

Estos $3$ valores forman una progresión aritmética, así que $\begin{aligned} l + 2l + 14 &= 2(2l + 6) \\ 3l + 14 &= 4l + 12 \\ l &= 2\end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $l$ be the length of the inner rectangle. Then the area of the inner rectangle is $l.$

The area of the middle region is going to be $(l + 2) \cdot 3 - l = 2l + 6.$ The area of the outer region is $(l + 4) \cdot 5 - (l + 2) \cdot 3 = 2l + 14.$

We know that these $3$ values form an arithmetic sequence. That means that $\begin{aligned} l + 2l + 14 &= 2(2l + 6) \\ 3l + 14 &= 4l + 12 \\ l &= 2\end{aligned}$

Thus, the correct answer is B .

11.

¿Cuál es el área de la región sombreada del rectángulo dado de $8\times5$ ?

What is the area of the shaded region of the given $8\times5$ rectangle?

$4\dfrac{3}{5}$

$5$

$5\dfrac{1}{4}$

$6\dfrac{1}{2}$

$8$

Conceptos:descomposición de áreas área del triángulo

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Divide la región sombreada en cuatro triángulos.

Split the shaded region into four triangles

Pista grande:

Usa bases de longitud $1$ con alturas $4$ y $\frac{5}{2}$ .

Use bases of length $1$ with heights $4$ and $\frac{5}{2}$

Solución:

Podemos dividir la región en $4$ triángulos con bases de longitud $1.$

Los cuatro triángulos tienen base $1.$ Dos tienen altura $8\div2=4,$ y los otros dos tienen altura $5\div2=\dfrac52.$

La suma de sus áreas es $\begin{aligned} &2 \cdot \dfrac{1}{2} \left(1 \cdot \dfrac{5}{2}\right) \\ &\quad {}+ 2 \cdot \dfrac{1}{2} \left(1 \cdot 4\right) = 6\dfrac{1}{2} \end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es D.

We can split the region into $4$ triangles with bases of $1.$

All four triangles have base $1.$ Two have height $8\div2=4,$ and the other two have height $5\div2=\dfrac52.$

The sum of the areas of the triangles is $\begin{aligned} &2 \cdot \dfrac{1}{2} \left(1 \cdot \dfrac{5}{2}\right) \\ &\quad {}+ 2 \cdot \dfrac{1}{2} \left(1 \cdot 4\right) = 6\dfrac{1}{2} \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D .

12.

Se seleccionan al azar tres enteros distintos entre $1$ y $2016,$ inclusive. ¿Cuál de las siguientes es una afirmación correcta sobre la probabilidad $p$ de que el producto de los tres enteros sea impar?

Three distinct integers are selected at random between $1$ and $2016,$ inclusive. Which of the following is a correct statement about the probability $p$ that the product of the three integers is odd?

$p \lt \dfrac{1}{8}$

$p = \dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{8} \lt p \lt \dfrac{1}{3}$

$p = \dfrac{1}{3}$

$p \gt \dfrac{1}{3}$

Conceptos:probabilidad básica paridad muestreo sin reemplazo

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

El producto es impar solo si los tres enteros seleccionados son impares.

The product is odd only if all three selected integers are odd

Pista grande:

El muestreo sin reemplazo hace que la probabilidad sea ligeramente menor que $(\frac{1}{2})^3$ .

Sampling without replacement makes the probability slightly less than $(\frac{1}{2})^3$

Solución:

El producto es impar exactamente cuando los tres enteros seleccionados son impares. Hay $1008$ enteros impares y $1008$ pares desde $1$ hasta $2016$ .

Como los enteros se seleccionan sin reemplazo, $p=\frac{1008}{2016}\cdot\frac{1007}{2015}\cdot\frac{1006}{2014}.$ El primer factor es $\frac12$ , y cada uno de los dos factores siguientes es ligeramente menor que $\frac12$ . Por lo tanto $p<\frac18$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The product is odd exactly when all three selected integers are odd. There are $1008$ odd and $1008$ even integers from $1$ to $2016$ .

Because the integers are selected without replacement, $p=\frac{1008}{2016}\cdot\frac{1007}{2015}\cdot\frac{1006}{2014}.$ The first factor is $\frac12$ , and each of the next two factors is slightly less than $\frac12$ . Therefore $p<\frac18$ .

Thus, the correct answer is A.

13.

Cinco amigos se sentaron en una fila de un cine con $5$ asientos, numerados del $1$ al $5$ de izquierda a derecha. (Las direcciones “izquierda” y “derecha” son desde el punto de vista de las personas sentadas en los asientos.)

Durante la película, Ada fue al vestíbulo a comprar palomitas. Cuando regresó, encontró que Bea se había movido dos asientos a la derecha, Ceci se había movido un asiento a la izquierda, y Dee y Edie habían intercambiado asientos, dejando un asiento del extremo para Ada. ¿En qué asiento estaba sentada Ada antes de levantarse?

Five friends sat in a movie theater in a row containing $5$ seats, numbered $1$ to $5$ from left to right. (The directions “left” and “right” are from the point of view of the people as they sit in the seats.)

During the movie Ada went to the lobby to get some popcorn. When she returned, she found that Bea had moved two seats to the right, Ceci had moved one seat to the left, and Dee and Edie had switched seats, leaving an end seat for Ada. In which seat had Ada been sitting before she got up?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:deducción lógica invariante

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Sigue el desplazamiento neto de los asientos ocupados.

Track net displacement of the occupied seats

Pista grande:

Bea se mueve dos a la derecha y Ceci se mueve uno a la izquierda.

Bea moves two right and Ceci moves one left

Solución:

La suma de los números de los asientos ocupados es $1+2+3+4+5=15$ tanto antes como después de los movimientos. Dee y Edie simplemente intercambian sus asientos, así que su desplazamiento combinado es $0.$ El desplazamiento de Bea es $+2,$ y el de Ceci es $-1.$ Por tanto, el desplazamiento de Ada debe ser $-1$ para que el desplazamiento total sea $0.$

Ada vuelve a un asiento del extremo. Como se mueve un asiento hacia la izquierda, debe pasar del asiento $2$ al asiento $1.$

Así, la respuesta correcta es B.

The sum of the occupied seat numbers is $1+2+3+4+5=15$ both before and after the moves. Dee and Edie merely switch seats, so their combined displacement is $0.$ Bea’s displacement is $+2,$ and Ceci’s is $-1.$ Therefore Ada’s displacement must be $-1$ so that the total displacement is $0.$

Ada returns to an end seat. Since she moves one seat left, she must move from seat $2$ to seat $1.$

Thus, the correct answer is B .

14.

¿De cuántas maneras se puede escribir $2016$ como suma de doses y treses, sin importar el orden? (Por ejemplo, $1008\cdot 2 + 0\cdot 3$ y $402\cdot 2 + 404\cdot 3$ son dos de esas maneras.)

How many ways are there to write $2016$ as the sum of twos and threes, ignoring order? (For example, $1008\cdot 2 + 0\cdot 3$ and $402\cdot 2 + 404\cdot 3$ are two such ways.)

$236$

$336$

$337$

$403$

$672$

Conceptos:Ecuación diofántica paridad

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Escribe la ecuación $2x+3y=2016$ .

Write $2x+3y=2016$

Pista grande:

$y$ debe ser par desde $0$ hasta $672$ .

$y$ must be even from $0$ through $672$

Solución:

El problema se puede reescribir como una ecuación $2x + 3y = 2016,$ donde $x$ es el número de doses y $y$ es el número de treses.

El objetivo es contar cuántos múltiplos de $3$ se pueden restar de $2016$ para obtener un número par.

Esto se logra con los pares desde $(1008, 0)$ hasta $(0, 672)$ , donde $y$ se incrementa en $2.$

Esto nos da $\dfrac{672}{2} + 1 = 337$ soluciones para $y$ y $x.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The problem can be rewritten as an equation $2x + 3y = 2016,$ where $x$ is the number of twos and $y$ is the number of threes.

The goal is to find the number of multiples of $3$ that can be subtracted from $2016$ to result in an even number.

This can be achieved by the pairs of $(1008, 0)$ up to $(0, 672)$ with $y$ being incremented by $2.$

This gives us $\dfrac{672}{2} + 1 = 337$ solutions for $y$ and $x.$

Thus, the correct answer is C .

15.

Se cortan siete galletas de radio $1$ pulgada de un círculo de masa de galleta, como se muestra. Las galletas vecinas son tangentes, y todas excepto la galleta central son tangentes al borde de la masa. La sobra restante se remodela para formar otra galleta del mismo grosor. ¿Cuál es el radio en pulgadas de la galleta hecha con la sobra?

Seven cookies of radius $1$ inch are cut from a circle of cookie dough, as shown. Neighboring cookies are tangent, and all except the center cookie are tangent to the edge of the dough. The leftover scrap is reshaped to form another cookie of the same thickness. What is the radius in inches of the scrap cookie?

$\sqrt{2}$

$1.5$

$\sqrt{\pi}$

$\sqrt{2\pi}$

$\pi$

Conceptos:área del círculo circunferencias tangentes

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

El círculo grande tiene radio $3$ .

The large circle has radius $3$

Pista grande:

Resta el área total de las siete galletas unitarias.

Subtract the total area of the seven unit cookies

Solución:

El círculo de masa tiene un radio de $3$ pulgadas, ya que equivale al diámetro más el radio de una galleta.

El área de la masa es $3^2\pi = 9\pi,$ y las galletas tienen un área de $7 \cdot 1^2\pi = 7\pi.$

Por lo tanto, el área de la sobra es $9\pi - 7\pi = 2\pi.$ Esto significa que su radio es $\sqrt{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The circle of cookie dough has a radius of $3$ inches since it is the same as the diameter plus the radius of a cookie.

The area of the cookie dough is $3^2\pi = 9\pi,$ and the cookies have an area of $7 \cdot 1^2\pi = 7\pi.$

The area of the leftover scrap is therefore $9\pi - 7\pi = 2\pi.$ This means that its radius is $\sqrt{2}.$

Thus, the correct answer is A .

16.

Un triángulo con vértices $A(0, 2),$ $B(-3, 2),$ y $C(-3, 0)$ se refleja respecto al eje $x$ , luego la imagen $\triangle A'B'C'$ se rota $90^{\circ}$ en sentido antihorario alrededor del origen, para producir $\triangle A''B''C''.$ ¿Cuál de las siguientes transformaciones devolverá $\triangle A''B''C''$ a $\triangle ABC$ ?

A triangle with vertices $A(0, 2),$ $B(-3, 2),$ and $C(-3, 0)$ is reflected about the $x$ -axis, then the image $\triangle A'B'C'$ is rotated counterclockwise about the origin by $90^{\circ}$ to produce $\triangle A''B''C''.$ Which of the following transformations will return $\triangle A''B''C''$ to $\triangle ABC?$

rotación de $90^{\circ}$ en sentido antihorario alrededor del origen

counterclockwise rotation about the origin by $90^{\circ}$

rotación de $90^{\circ}$ en sentido horario alrededor del origen

clockwise rotation about the origin by $90^{\circ}$

reflexión respecto al eje $x$

reflection about the $x$ -axis

reflexión respecto a la recta $y = x$

reflection about the line $y = x$

reflexión respecto al eje $y$

reflection about the $y$ -axis

Conceptos:transformación geometría analítica

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Sigue un punto genérico $(x,y)$ a través de las dos transformaciones.

Follow a generic point $(x,y)$ through the two transformations

Pista grande:

El punto imagen es $(y,x)$ .

The image point is $(y,x)$

Solución:

Para descubrir cómo revertir las transformaciones, podemos analizar un solo punto y ver qué le sucede.

Sea $(x, y)$ el punto. Después de reflejarlo respecto al eje $x$ , el punto iría a $(x, -y).$

Al rotarlo en sentido antihorario, quedaría en $(y, x).$ La única transformación que lo devuelve a $(x, y)$ es la reflexión respecto a $y = x.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

To figure out how to reverse the transformations, we can analyze a single point and see what happens to it.

Let $(x, y)$ be the point. After being reflected about the $x$ -axis, the point would go to $(x, -y).$

Rotating this counterclockwise would put it at $(y, x).$ The only transformation that puts this back at $(x, y)$ is reflection about $y = x.$

Thus, the correct answer is D .

17.

Sea $N$ un múltiplo positivo de $5.$ Una bola roja y $N$ bolas verdes se colocan en una línea en orden aleatorio. Sea $P(N)$ la probabilidad de que al menos $\frac{3}{5}$ de las bolas verdes estén del mismo lado de la bola roja. Observa que $P(5)=1$ y que $P(N)$ se aproxima a $\frac{4}{5}$ cuando $N$ crece. ¿Cuál es la suma de los dígitos del menor valor de $N$ tal que $P(N) < \dfrac{321}{400}$ ?

Let $N$ be a positive multiple of $5.$ One red ball and $N$ green balls are arranged in a line in random order. Let $P(N)$ be the probability that at least $\frac{3}{5}$ of the green balls are on the same side of the red ball. Observe that $P(5)=1$ and that $P(N)$ approaches $\frac{4}{5}$ as $N$ grows large. What is the sum of the digits of the least value of $N$ such that $P(N) < \dfrac{321}{400}?$

$12$

$14$

$16$

$18$

$20$

Conceptos:probabilidad básica desigualdad

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Coloca la bola roja en uno de los $N+1$ espacios entre las bolas verdes.

Place the red ball in one of the $N+1$ gaps among the green balls

Pista grande:

Los espacios malos tienen entre $\frac{2N}{5}$ y $\frac{3N}{5}$ bolas verdes a la izquierda.

The bad gaps have between $\frac{2N}{5}$ and $\frac{3N}{5}$ green balls on the left

Solución:

Piensa primero en ordenar las $N$ bolas verdes, y luego colocar la bola roja en uno de los $N+1$ espacios. Si hay $k$ bolas verdes a la izquierda de la bola roja, entonces hay $N-k$ a su derecha.

Al menos $\frac35N$ bolas verdes están de un lado exactamente cuando $k\le\frac25N$ o $k\ge\frac35N$ . Así que los espacios malos son $\frac25N+1,\frac25N+2,\ldots,\frac35N-1,$ un total de $\frac15N-1$ espacios.

Por lo tanto $\begin{aligned} P(N) &= 1-\frac{\frac{N}{5}-1}{N+1} \\ &= \frac{4N+10}{5N+5}. \end{aligned}$ Al resolver $\frac{4N+10}{5N+5}<\frac{321}{400}$ obtenemos $N>479$ . El menor múltiplo positivo de $5$ es $480$ , cuya suma de dígitos es $12$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Think of first arranging the $N$ green balls, then placing the red ball in one of the $N+1$ gaps. If $k$ green balls are to the left of the red ball, then $N-k$ are to its right.

At least $\frac35N$ green balls are on one side exactly when $k\le\frac25N$ or $k\ge\frac35N$ . Thus the bad gaps are $\frac25N+1,\frac25N+2,\ldots,\frac35N-1,$ a total of $\frac15N-1$ gaps.

Therefore $\begin{aligned} P(N) &= 1-\frac{\frac{N}{5}-1}{N+1} \\ &= \frac{4N+10}{5N+5}. \end{aligned}$ Solving $\frac{4N+10}{5N+5}<\frac{321}{400}$ gives $N>479$ . The least positive multiple of $5$ is $480$ , whose digit sum is $12$ .

Thus, the correct answer is A.

18.

Cada vértice de un cubo debe etiquetarse con un entero del $1$ al $8,$ usando cada entero una vez, de modo que la suma de los cuatro números en los vértices de una cara sea la misma para cada cara. Los arreglos que se pueden obtener uno de otro mediante rotaciones del cubo se consideran iguales. ¿Cuántos arreglos diferentes son posibles?

Each vertex of a cube is to be labeled with an integer $1$ through $8,$ with each integer being used once, in such a way that the sum of the four numbers on the vertices of a face is the same for each face. Arrangements that can be obtained from each other through rotations of the cube are considered to be the same. How many different arrangements are possible?

$1$

$3$

$6$

$12$

$24$

Conceptos:geometría del cubo análisis por casos simetría

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Cada par de caras opuestas debe sumar la mitad de $1+2+\cdots+8$ .

Opposite faces must each sum to half of $1+2+\cdots+8$

Pista grande:

Elige los tres vecinos de $1$ y determina los vértices opuestos.

Choose the three neighbors of $1$ and force the opposite vertices

Solución:

Dos caras opuestas juntas usan las ocho etiquetas, cuya suma es $36$ , así que cada cara debe sumar $18$ .

Coloca la etiqueta $1$ en un vértice, y sean $a,b,c$ las tres etiquetas adyacentes. Los tres vértices adyacentes a esos, a través de las caras, quedan forzados a ser $\begin{gathered} 17-a-b, \\ \quad 17-a-c, \\ \quad 17-b-c, \end{gathered}$ y el vértice opuesto es $a+b+c-16$ .

Supón que las tres etiquetas vecinas se listan en orden creciente. Al sustituir ternas de $2,3,\ldots,8$ en las cuatro expresiones forzadas anteriores se obtiene exactamente $\begin{array}{c|c} \{a,b,c\} & \text{cuatro etiquetas forzadas} \\ \hline \{4,6,8\} & \{7,5,3,2\} \\ \{4,7,8\} & \{6,5,2,3\} \\ \{6,7,8\} & \{4,3,2,5\} \end{array}$ Para cada conjunto de vecinas, los seis órdenes alrededor del vértice se reparten en dos grupos de tres bajo las rotaciones de $120^\circ$ en torno a la diagonal que pasa por ese vértice. Así, cada conjunto da dos arreglos no equivalentes por rotación, para un total de $3\cdot2=6$ arreglos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Opposite faces together use all eight labels, whose sum is $36$ , so every face must have sum $18$ .

Put label $1$ at one vertex, and let the three adjacent labels be $a,b,c$ . The three vertices adjacent to those across faces are then forced to be $\begin{gathered} 17-a-b, \\ \quad 17-a-c, \\ \quad 17-b-c, \end{gathered}$ and the opposite vertex is $a+b+c-16$ .

Assume the three neighbor labels are listed in increasing order. Substituting triples from $2,3,\ldots,8$ into the four forced expressions above gives exactly $\begin{array}{c|c} \{a,b,c\} & \text{four forced labels} \\ \hline \{4,6,8\} & \{7,5,3,2\} \\ \{4,7,8\} & \{6,5,2,3\} \\ \{6,7,8\} & \{4,3,2,5\} \end{array}$ For each neighbor set, the six orders around the vertex fall into two groups of three under the $120^\circ$ rotations about the diagonal through that vertex. Thus each set gives two non-rotationally equivalent arrangements, for $3\cdot2=6$ arrangements in all.

Thus, the correct answer is C.

19.

En el rectángulo $ABCD,$ $AB=6$ y $BC=3.$ El punto $E$ está entre $B$ y $C,$ y el punto $F$ está entre $E$ y $C$ de modo que $BE=EF=FC.$ Los segmentos $\overline{AE}$ y $\overline{AF}$ cortan a $\overline{BD}$ en $P$ y $Q,$ respectivamente.

La razón $BP:PQ:QD$ se puede escribir como $r:s:t$ , donde el máximo común divisor de $r,$ $s,$ y $t$ es $1.$ ¿Cuánto vale $r+s+t$ ?

In rectangle $ABCD,$ $AB=6$ and $BC=3.$ Point $E$ between $B$ and $C,$ and point $F$ between $E$ and $C$ are such that $BE=EF=FC.$ Segments $\overline{AE}$ and $\overline{AF}$ intersect $\overline{BD}$ at $P$ and $Q,$ respectively.

The ratio $BP:PQ:QD$ can be written as $r:s:t$ where the greatest common factor of $r,$ $s,$ and $t$ is $1.$ What is $r+s+t?$

$7$

$9$

$12$

$15$

$20$

Conceptos:semejanza rectángulo

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Usa triángulos semejantes en las dos cevianas desde $A$ .

Use similar triangles on the two cevians from $A$

Pista grande:

Convierte $BP, PQ, QD$ en fracciones de $BD$ .

Convert $BP, PQ, QD$ into fractions of $BD$

Solución:

Como $BC=3$ y $BE=EF=FC$ , tenemos $BE=1$ y $BF=2$ . Además $AD=3$ .

De $\triangle APD\sim\triangle EPB$ , $\frac{BP}{BD}=\frac{BE}{AD+BE}=\frac14.$ De $\triangle AQD\sim\triangle FQB$ , $\frac{BQ}{BD}=\frac{BF}{AD+BF}=\frac25.$

Por lo tanto $BP=\frac14BD$ , $PQ=\left(\frac25-\frac14\right)BD=\frac3{20}BD$ , y $QD=\frac35BD$ . Así $\begin{aligned} BP:PQ:QD &= \frac14:\frac3{20}:\frac35 \\ &= 5:3:12. \end{aligned}$ La suma es $5+3+12=20$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $BC=3$ and $BE=EF=FC$ , we have $BE=1$ and $BF=2$ . Also $AD=3$ .

From $\triangle APD\sim\triangle EPB$ , $\frac{BP}{BD}=\frac{BE}{AD+BE}=\frac14.$ From $\triangle AQD\sim\triangle FQB$ , $\frac{BQ}{BD}=\frac{BF}{AD+BF}=\frac25.$

Therefore $BP=\frac14BD$ , $PQ=\left(\frac25-\frac14\right)BD=\frac3{20}BD$ , and $QD=\frac35BD$ . Thus $\begin{aligned} BP:PQ:QD &= \frac14:\frac3{20}:\frac35 \\ &= 5:3:12. \end{aligned}$ The sum is $5+3+12=20$ .

Thus, the correct answer is E.

20.

Para cierto valor de $N,$ al expandir $(a+b+c+d+1)^N$ y combinar los términos semejantes, la expresión resultante contiene exactamente $1001$ términos que incluyen las cuatro variables $a,$ $b,$ $c,$ y $d,$ cada una a alguna potencia positiva. ¿Cuánto vale $N$ ?

For some particular value of $N,$ when $(a+b+c+d+1)^N$ is expanded and like terms are combined, the resulting expression contains exactly $1001$ terms that include all four variables $a,$ $b,$ $c,$ and $d,$ each to some positive power. What is $N?$

$9$

$14$

$16$

$17$

$19$

Conceptos:estrellas y barras combinaciones

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Cuenta las opciones de exponentes para los términos que contienen las cuatro variables.

Count exponent choices for terms containing all four variables

Pista grande:

El método de estrellas y barras da $\binom N4=1001$ .

Stars and bars gives $\binom N4=1001$

Solución:

Un término que incluye las cuatro variables tiene la forma $a^vb^wc^xd^y$ , con $v,w,x,y\ge1$ , multiplicado por alguna potencia de $1$ . Si esa potencia es $z$ , entonces $v+w+x+y+z=N.$

Después de restar $1$ a cada uno de $v,w,x,y$ , esto se convierte en un conteo de estrellas y barras no negativo con $5$ variables cuya suma es $N-4$ . El número de tales términos es $\binom{N}{4}.$

Como $\binom{14}{4}=1001$ , obtenemos $N=14$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

A term that includes all four variables has form $a^vb^wc^xd^y$ , with $v,w,x,y\ge1$ , multiplied by some power of $1$ . If that power is $z$ , then $v+w+x+y+z=N.$

After subtracting $1$ from each of $v,w,x,y$ , this becomes a nonnegative stars-and-bars count with $5$ variables summing to $N-4$ . The number of such terms is $\binom{N}{4}.$

Since $\binom{14}{4}=1001$ , we get $N=14$ .

Thus, the correct answer is B.

21.

Los círculos con centros $P,$ $Q$ y $R,$ de radios $1,$ $2$ y $3,$ respectivamente, están del mismo lado de la recta $l$ y son tangentes a $l$ en $P',$ $Q'$ y $R',$ respectivamente, con $Q'$ entre $P'$ y $R'.$ El círculo con centro $Q$ es tangente exteriormente a cada uno de los otros dos círculos. ¿Cuál es el área del triángulo $\triangle PQR$ ?

Circles with centers $P,$ $Q$ and $R,$ having radii $1,$ $2$ and $3,$ respectively, lie on the same side of line $l$ and are tangent to $l$ at $P',$ $Q'$ and $R',$ respectively, with $Q'$ between $P'$ and $R'.$ The circle with center $Q$ is externally tangent to each of the other two circles. What is the area of $\triangle PQR?$

$0$

$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$

$1$

$\sqrt{6}-\sqrt{2}$

$\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

Conceptos:circunferencias tangentes Teorema de Pitágoras geometría analítica

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Usa las distancias horizontales entre los puntos de tangencia.

Use horizontal distances between tangent points

Pista grande:

Usa esas distancias horizontales en una fórmula del área mediante coordenadas.

Use those horizontal distances in a coordinate-area formula

Solución:

Coloquemos la recta tangente sobre el eje $x$ y tomemos $P=(0,1).$ Como $PQ=1+2=3$ y las alturas de los centros difieren en $1,$ la distancia horizontal de $P$ a $Q$ es $\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt2.$ Del mismo modo, $QR=2+3=5$ y las alturas de sus centros también difieren en $1,$ así que su distancia horizontal es $2\sqrt6.$

Por tanto, podemos usar $\begin{aligned} P&=(0,1),\qquad Q=(2\sqrt2,2), \\ R&=(2\sqrt2+2\sqrt6,3). \end{aligned}$ La fórmula del área mediante coordenadas da $\begin{aligned} [PQR] &=\frac12\left|4\sqrt2-(2\sqrt2+2\sqrt6)\right| \\ &=\sqrt6-\sqrt2. \end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es D.

Put the tangent line on the $x$ -axis and take $P=(0,1).$ Because $PQ=1+2=3$ and the centers differ in height by $1,$ the horizontal distance from $P$ to $Q$ is $\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt2.$ Similarly, $QR=2+3=5$ and its centers also differ in height by $1,$ so their horizontal distance is $2\sqrt6.$

Thus we may use $\begin{aligned} P&=(0,1),\qquad Q=(2\sqrt2,2), \\ R&=(2\sqrt2+2\sqrt6,3). \end{aligned}$ The coordinate-area formula gives $\begin{aligned} [PQR] &=\frac12\left|4\sqrt2-(2\sqrt2+2\sqrt6)\right| \\ &=\sqrt6-\sqrt2. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D .

22.

Para cierto entero positivo $n,$ el número $110n^3$ tiene $110$ divisores enteros positivos, incluyendo $1$ y el propio número $110n^3.$ ¿Cuántos divisores enteros positivos tiene el número $81n^4$ ?

For some positive integer $n,$ the number $110n^3$ has $110$ positive integer divisors, including $1$ and the number $110n^3.$ How many positive integer divisors does the number $81n^4$ have?

$110$

$191$

$261$

$325$

$425$

Conceptos:conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

El conteo de divisores $110=2\cdot5\cdot11$ obliga a que los exponentes sean $1,4,10$ .

The divisor count $110=2\cdot5\cdot11$ forces exponents $1,4,10$

Pista grande:

Esos exponentes son todos $1\pmod3$ , así que pueden provenir de $110n^3$ .

Those exponents are all $1\pmod3$ , so they can come from $110n^3$

Solución:

La factorización en primos es $110=2\cdot5\cdot11$ . Si $110n^3$ tiene $110=2\cdot5\cdot11$ divisores, entonces tiene exactamente tres factores primos, con exponentes $1,4,10$ en algún orden.

Para cada uno de los primos $2,5,11$ , su exponente en $110n^3$ es $1$ más que un múltiplo de $3$ . Los exponentes $1,4,10$ tienen todos esta forma, así que los exponentes correspondientes en $n$ son $0,1,3$ en algún orden.

En $81n^4=3^4n^4$ , los exponentes provenientes de $n^4$ son, por lo tanto, $0,4,12$ , en algún orden, junto con el exponente $4$ del primo $3$ . Por lo tanto, el conteo de divisores es $\begin{aligned} &(0+1)\cdot(4+1)\cdot(12+1) \\ &\quad {}\cdot(4+1)=325. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The prime factorization is $110=2\cdot5\cdot11$ . If $110n^3$ has $110=2\cdot5\cdot11$ divisors, then it has exactly three prime factors, with exponents $1,4,10$ in some order.

For each of the primes $2,5,11$ , its exponent in $110n^3$ is $1$ more than a multiple of $3$ . The exponents $1,4,10$ all have this form, so the corresponding exponents in $n$ are $0,1,3$ in some order.

In $81n^4=3^4n^4$ , the exponents from $n^4$ are therefore $0,4,12$ , in some order, along with the exponent $4$ on prime $3$ . Hence the divisor count is $\begin{aligned} &(0+1)\cdot(4+1)\cdot(12+1) \\ &\quad {}\cdot(4+1)=325. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

23.

Una operación binaria $\diamondsuit$ tiene las propiedades de que $a\,\diamondsuit\, (b\,\diamondsuit \,c) = (a\,\diamondsuit \,b)\cdot c$ y de que $a\,\diamondsuit \,a=1$ para todos los números reales no nulos $a,$ $b,$ y $c.$ (Aquí el punto $\cdot$ representa la operación de multiplicación usual.) La solución de la ecuación $2016 \,\diamondsuit\, (6\,\diamondsuit\, x)=100$ se puede escribir como $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $p+q$ ?

A binary operation $\diamondsuit$ has the properties that $a\,\diamondsuit\, (b\,\diamondsuit \,c) = (a\,\diamondsuit \,b)\cdot c$ and that $a\,\diamondsuit \,a=1$ for all nonzero real numbers $a,$ $b,$ and $c.$ (Here the dot $\cdot$ represents the usual multiplication operation.) The solution to the equation $2016 \,\diamondsuit\, (6\,\diamondsuit\, x)=100$ can be written as $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. What is $p+q?$

$109$

$201$

$301$

$3049$

$33{,}601$

Conceptos:operación personalizada ecuación funcional

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Primero demuestra que $a\diamondsuit b=\frac{a}{b}$ .

First prove $a\diamondsuit b=\frac{a}{b}$

Pista grande:

Luego calcula $2016\diamondsuit(6\diamondsuit x)$ .

Then compute $2016\diamondsuit(6\diamondsuit x)$

Solución:

Como $a\diamondsuit a=1$ , sustituir $b=c$ en $a\diamondsuit(b\diamondsuit c)=(a\diamondsuit b)c$ da $a\diamondsuit1=(a\diamondsuit b)b$ . Además, usando $a\diamondsuit(a\diamondsuit a)=(a\diamondsuit a)a$ obtenemos $a\diamondsuit1=a$ . Por lo tanto $a\diamondsuit b=\frac ab$ .

Así, la ecuación se convierte en $\begin{aligned} 2016\diamondsuit(6\diamondsuit x) &= 2016\diamondsuit\frac6x \\ &= \frac{2016}{\frac{6}{x}} \\ &= 336x \\ &= 100. \end{aligned}$ Así que $x=\frac{25}{84}$ , $p+q=25+84=109$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $a\diamondsuit a=1$ , substituting $b=c$ in $a\diamondsuit(b\diamondsuit c)=(a\diamondsuit b)c$ gives $a\diamondsuit1=(a\diamondsuit b)b$ . Also, using $a\diamondsuit(a\diamondsuit a)=(a\diamondsuit a)a$ gives $a\diamondsuit1=a$ . Therefore $a\diamondsuit b=\frac ab$ .

The equation becomes $\begin{aligned} 2016\diamondsuit(6\diamondsuit x) &= 2016\diamondsuit\frac6x \\ &= \frac{2016}{\frac{6}{x}} \\ &= 336x \\ &= 100. \end{aligned}$ Thus $x=\frac{25}{84}$ , so $p+q=25+84=109$ .

Thus, the correct answer is A.

24.

Un cuadrilátero está inscrito en un círculo de radio $200\sqrt{2}.$ Tres de los lados de este cuadrilátero tienen longitud $200.$ ¿Cuál es la longitud del cuarto lado?

A quadrilateral is inscribed in a circle of radius $200\sqrt{2}.$ Three of the sides of this quadrilateral have length $200.$ What is the length of the fourth side?

$200$

$200\sqrt{2}$

$200\sqrt{3}$

$300\sqrt{2}$

$500$

Conceptos:cuadrilátero cíclico cuerda triple-angle identity

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Cuerdas iguales corresponden a ángulos centrales iguales.

Equal chords give equal central angles

Pista grande:

Si una cuerda de $200$ unidades subtiende un ángulo $2\theta$ , usa la fórmula de la cuerda y $\sin(3\theta)$

If a $200$ -unit chord subtends angle $2\theta$ , use the chord formula and $\sin(3\theta)$

Solución:

Llama $ABCD$ al cuadrilátero, con $AB=BC=CD=200$ . Sea $2\theta$ el ángulo central que subtiende cada una de estas cuerdas iguales. La fórmula de la cuerda da $200=2(200\sqrt2)\sin\theta,$ así que $\sin\theta=\frac{1}{2\sqrt2}$ . En particular, $\theta<30^\circ$ , por lo que el menor ángulo central subtendido por $AD$ es $6\theta<180^\circ$ .

Por lo tanto, un nuevo uso de la fórmula de la cuerda da $AD=2(200\sqrt2)\sin(3\theta).$ Usando $\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ , obtenemos $\begin{aligned} \sin(3\theta) &=\frac{3}{2\sqrt2}-\frac{1}{4\sqrt2} \\ &=\frac{5}{4\sqrt2}. \end{aligned}$

Por lo tanto $AD=400\sqrt2\cdot\frac{5}{4\sqrt2}=500.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Label the quadrilateral $ABCD$ , with $AB=BC=CD=200$ . Let each of these equal chords subtend central angle $2\theta$ . The chord formula gives $200=2(200\sqrt2)\sin\theta,$ so $\sin\theta=\frac{1}{2\sqrt2}$ . In particular, $\theta<30^\circ$ , so the smaller central angle subtended by $AD$ is $6\theta<180^\circ$ .

Therefore another use of the chord formula gives $AD=2(200\sqrt2)\sin(3\theta).$ Using $\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ , we obtain $\begin{aligned} \sin(3\theta) &=\frac{3}{2\sqrt2}-\frac{1}{4\sqrt2} \\ &=\frac{5}{4\sqrt2}. \end{aligned}$

Hence $AD=400\sqrt2\cdot\frac{5}{4\sqrt2}=500.$

Thus, the correct answer is E.

25.

¿Cuántas ternas ordenadas $(x,y,z)$ de enteros positivos satisfacen $\text{lcm}(x,y) = 72,$ $\text{lcm}(x,z) = 600,$ y $\text{lcm}(y,z)=900?$

How many ordered triples $(x,y,z)$ of positive integers satisfy $\text{lcm}(x,y) = 72,$ $\text{lcm}(x,z) = 600,$ and $\text{lcm}(y,z)=900?$

$15$

$16$

$24$

$27$

$64$

Conceptos:mínimo común múltiplo factorización en primos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Trata cada exponente primo de forma independiente.

Treat each prime exponent independently

Pista grande:

Las potencias de $3$ y de $2$ dejan cada una un pequeño conteo de condición de máximo.

The powers of $3$ and $2$ each leave a small max-condition count

Solución:

Factoriza los mínimos comunes múltiplos dados: $\begin{gathered} 72=2^3\cdot3^2, \\ \quad 600=2^3\cdot3\cdot5^2, \\ \quad 900=2^2\cdot3^2\cdot5^2. \end{gathered}$ Como $\operatorname{lcm}(x,y)$ no tiene factor $5$ , ni $x$ ni $y$ tienen factor $5$ , y $z$ debe contener $5^2$ .

Escribe $x=2^a3^b$ , $y=2^c3^d$ , y $z=2^e3^f5^2$ . La potencia de $3$ en $\operatorname{lcm}(y,z)$ obliga a $d=2$ , y la potencia de $2$ en $\operatorname{lcm}(x,z)$ obliga a $a=3$ .

Las condiciones independientes restantes son $\max(b,f)=1$ y $\max(c,e)=2$ . Estas tienen $3$ y $5$ opciones ordenadas, respectivamente, así que hay $3\cdot5=15$ ternas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Factor the given least common multiples: $\begin{gathered} 72=2^3\cdot3^2, \\ \quad 600=2^3\cdot3\cdot5^2, \\ \quad 900=2^2\cdot3^2\cdot5^2. \end{gathered}$ Since $\operatorname{lcm}(x,y)$ has no factor of $5$ , neither $x$ nor $y$ has a factor of $5$ , and $z$ must contain $5^2$ .

Write $x=2^a3^b$ , $y=2^c3^d$ , and $z=2^e3^f5^2$ . The power of $3$ in $\operatorname{lcm}(y,z)$ forces $d=2$ , and the power of $2$ in $\operatorname{lcm}(x,z)$ forces $a=3$ .

The remaining independent conditions are $\max(b,f)=1$ and $\max(c,e)=2$ . These have $3$ and $5$ ordered choices, respectively, so there are $3\cdot5=15$ triples.

Thus, the correct answer is A.