Question

El promedio de los números $1, 2, 3,\cdots, 98, 99,$ y $x$ es $100x.$ ¿Cuánto vale $x$ ?

The average of the numbers $1, 2, 3,\cdots, 98, 99,$ and $x$ is $100x.$ What is $x?$

$\dfrac{49}{101}$

$\dfrac{50}{101}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{51}{101}$

$\dfrac{50}{99}$

Solución:

Recuerda que la suma de los primeros $n$ enteros es $\dfrac{n(n + 1)}{2}.$

Entonces, tenemos que $\dfrac{\frac{99 \cdot 100}{2} + x}{100} = 100x,$ lo que se simplifica a $99 \cdot 50 = (100^2 - 1)x$ $= 101 \cdot 99x,$ por diferencia de cuadrados. Al dividir obtenemos $x = \dfrac{50}{101}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Recall that the sum of the first $n$ integers is $\dfrac{n(n + 1)}{2}.$

Then, we have that $\dfrac{\frac{99 \cdot 100}{2} + x}{100} = 100x,$ which simplifies to $99 \cdot 50 = (100^2 - 1)x$ $= 101 \cdot 99x,$ by difference of squares. Dividing gives us $x = \dfrac{50}{101}.$

Thus, B is the correct answer.

2010 AMC 10B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años