Question

El número $25^{64} \cdot 64^{25}$ es el cuadrado de un entero positivo $N.$ En representación decimal, ¿cuál es la suma de las cifras de $N$ ?

The number $25^{64} \cdot 64^{25}$ is the square of a positive integer $N.$ In decimal representation, what is the sum of the digits of $N?$

$7$

$14$

$21$

$28$

$35$

Como $25 = 5^2$ y $64 = 2^6,$ tenemos $25^{64}\cdot 64^{25} = 5^{128}\cdot 2^{150},$ así que $N = \sqrt{5^{128}\cdot 2^{150}} = 5^{64}\cdot 2^{75}.$

Escribiendo $2^{75} = 2^{64}\cdot 2^{11},$ obtenemos $N = (5\cdot 2)^{64}\cdot 2^{11} = 10^{64}\cdot 2048.$

Así que $N$ es $2048$ seguido de $64$ ceros, y su suma de cifras es $2 + 0 + 4 + 8 = 14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $25 = 5^2$ and $64 = 2^6,$ we have $25^{64}\cdot 64^{25} = 5^{128}\cdot 2^{150},$ so $N = \sqrt{5^{128}\cdot 2^{150}} = 5^{64}\cdot 2^{75}.$

Writing $2^{75} = 2^{64}\cdot 2^{11},$ we get $N = (5\cdot 2)^{64}\cdot 2^{11} = 10^{64}\cdot 2048.$

So $N$ is $2048$ followed by $64$ zeros, and its digit sum is $2 + 0 + 4 + 8 = 14.$

Thus, the correct answer is B.