Soluciones del 2002 AMC 10B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de la razón

$\dfrac{2^{2001} \cdot 3^{2003}}{6^{2002}}$ ?

What is the value of the ratio

$\dfrac{2^{2001} \cdot 3^{2003}}{6^{2002}}?$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{2}$

Conceptos:exponente

Nivel de dificultad: 770

Solución:

Como $6^{2002} = 2^{2002}\cdot 3^{2002},$ la razón se convierte en $\dfrac{2^{2001}\cdot 3^{2003}}{2^{2002}\cdot 3^{2002}} = \dfrac{3}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $6^{2002} = 2^{2002}\cdot 3^{2002},$ the ratio becomes $\dfrac{2^{2001}\cdot 3^{2003}}{2^{2002}\cdot 3^{2002}} = \dfrac{3}{2}.$

Thus, the correct answer is E.

2.

Para los números no nulos $a,$ $b,$ y $c,$ se define $(a, b, c) = \dfrac{abc}{a+b+c}.$ ¿Cuánto vale $(2, 4, 6)$ ?

For the nonzero numbers $a,$ $b,$ and $c,$ define $(a, b, c) = \dfrac{abc}{a+b+c}.$ What is $(2, 4, 6)?$

$1$

$2$

$4$

$6$

$24$

Conceptos:operación personalizada fracción

Nivel de dificultad: 720

Solución:

Sustituyendo directamente, $(2, 4, 6) = \dfrac{2\cdot4\cdot6}{2+4+6} = \dfrac{48}{12} = 4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Substituting directly, $(2, 4, 6) = \dfrac{2\cdot4\cdot6}{2+4+6} = \dfrac{48}{12} = 4.$

Thus, the correct answer is C.

3.

La media aritmética de los nueve números del conjunto $\{9, 99, 999, 9999, \ldots, 999999999\}$ es un número de $9$ cifras $M,$ cuyas cifras son todas distintas. ¿Qué cifra no contiene el número $M$ ?

The arithmetic mean of the nine numbers in the set $\{9, 99, 999, 9999, \ldots, 999999999\}$ is a $9$ -digit number $M,$ all of whose digits are distinct. Which digit does the number $M$ not contain?

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Conceptos:media dígitos valor posicional

Nivel de dificultad: 960

Solución:

La media es $\begin{aligned} &\dfrac{1}{9} \\ &\quad {}\cdot \small \left(9 + 99 + 999 + \cdots + 999999999\right) \\ &= 1 + 11 + 111 + \cdots \\ &\quad {}+ 111111111. \end{aligned}$

Sumando estos nueve números formados solo por unos columna por columna se obtiene $M = 123456789.$

La única cifra que le falta a $M$ es $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The mean is $\begin{aligned} &\dfrac{1}{9} \\ &\quad {}\cdot \small \left(9 + 99 + 999 + \cdots + 999999999\right) \\ &= 1 + 11 + 111 + \cdots \\ &\quad {}+ 111111111. \end{aligned}$

Adding these nine repunits column by column gives $M = 123456789.$

The only digit missing from $M$ is $0.$

Thus, the correct answer is A.

4.

¿Cuál es el valor de $\begin{aligned} &(3x - 2)(4x + 1) \\ &\quad {}- (3x - 2)4x + 1 \end{aligned}$ cuando $x = 4$ ?

What is the value of $\begin{aligned} &(3x - 2)(4x + 1) \\ &\quad {}- (3x - 2)4x + 1 \end{aligned}$ when $x = 4?$

$0$

$1$

$10$

$11$

$12$

Conceptos:propiedad distributiva factorización

Nivel de dificultad: 900

Solución:

Factorizando $3x-2$ en los dos primeros términos, $\begin{aligned} &(3x - 2)\big[(4x + 1) - 4x\big] + 1 \\ &= (3x - 2)(1) + 1 \\ &= 3x - 1. \end{aligned}$

En $x = 4,$ esto es igual a $3\cdot4 - 1 = 11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Factoring $3x-2$ from the first two terms, $\begin{aligned} &(3x - 2)\big[(4x + 1) - 4x\big] + 1 \\ &= (3x - 2)(1) + 1 \\ &= 3x - 1. \end{aligned}$

At $x = 4,$ this equals $3\cdot4 - 1 = 11.$

Thus, the correct answer is D.

5.

Dos circunferencias de radios $2$ y $3$ son tangentes exteriormente y están circunscritas por una tercera circunferencia, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

Circles of radius $2$ and $3$ are externally tangent and are circumscribed by a third circle, as shown in the figure. What is the area of the shaded region?

$3\pi$

$4\pi$

$6\pi$

$9\pi$

$12\pi$

Conceptos:circunferencias tangentes área del círculo

Nivel de dificultad: 1020

Solución:

Las dos circunferencias pequeñas se alinean sobre un diámetro de la circunferencia grande, de modo que ese diámetro mide $2\cdot3 + 2\cdot2 = 10$ y el radio grande es $5.$

La región sombreada es el disco grande al que se le quitan los dos discos pequeños: $\begin{aligned} &\pi(5^2) - \pi(3^2) - \pi(2^2) \\ &= \pi(25 - 9 - 4) \\ &= 12\pi. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The two small circles line up along a diameter of the big circle, so that diameter is $2\cdot3 + 2\cdot2 = 10$ and the large radius is $5.$

The shaded region is the large disk with the two small disks removed: $\begin{aligned} &\pi(5^2) - \pi(3^2) - \pi(2^2) \\ &= \pi(25 - 9 - 4) \\ &= 12\pi. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

6.

¿Para cuántos enteros positivos $n$ el número $n^2 - 3n + 2$ es primo?

For how many positive integers $n$ is $n^2 - 3n + 2$ a prime number?

ninguno

none

uno

one

dos

two

más de dos, pero un número finito

more than two, but finitely many

infinitos

infinitely many

Conceptos:factorización primo

Nivel de dificultad: 1070

Solución:

Factoriza como $n^2 - 3n + 2 = (n-1)(n-2).$

Para $n \ge 4,$ ambos factores superan $1,$ así que el producto es compuesto. Para $n = 1$ y $n = 2$ el valor es $0,$ y para $n = 3$ el valor es $(2)(1) = 2,$ que es primo.

Así que exactamente un valor de $n$ funciona.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Factor as $n^2 - 3n + 2 = (n-1)(n-2).$

For $n \ge 4,$ both factors exceed $1,$ so the product is composite. For $n = 1$ and $n = 2$ the value is $0,$ and for $n = 3$ the value is $(2)(1) = 2,$ which is prime.

So exactly one value of $n$ works.

Thus, the correct answer is B.

7.

Sea $n$ un entero positivo tal que $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 + \dfrac1n$ es un entero. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es cierta?

Let $n$ be a positive integer such that $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 + \dfrac1n$ is an integer. Which of the following statements is not true?

$2$ divide a $n$

$2$ divides $n$

$3$ divide a $n$

$3$ divides $n$

$6$ divide a $n$

$6$ divides $n$

$7$ divide a $n$

$7$ divides $n$

$n \gt 84$

Conceptos:fracción divisibilidad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

La suma $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 + \dfrac1n$ es mayor que $0$ y menor que $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 + 1 \lt 2,$ así que como entero debe ser igual a $1.$

Como $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 = \dfrac{41}{42},$ necesitamos $\dfrac1n = \dfrac{1}{42},$ así que $n = 42.$

Entonces $2,$ $3,$ $6,$ y $7$ dividen todos a $42,$ pero $n = 42$ no es mayor que $84.$ Así que la afirmación falsa es $n \gt 84.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The sum $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 + \dfrac1n$ is greater than $0$ and less than $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 + 1 \lt 2,$ so as an integer it must equal $1.$

Since $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 = \dfrac{41}{42},$ we need $\dfrac1n = \dfrac{1}{42},$ so $n = 42.$

Then $2,$ $3,$ $6,$ and $7$ all divide $42,$ but $n = 42$ is not greater than $84.$ So the false statement is $n \gt 84.$

Thus, the correct answer is E.

8.

Supongamos que julio del año $N$ tiene cinco lunes. ¿Cuál de los siguientes días debe ocurrir cinco veces en agosto del año $N$ ? (Nota: ambos meses tienen $31$ días.)

Suppose July of year $N$ has five Mondays. Which of the following must occur five times in August of year $N?$ (Note: both months have $31$ days.)

lunes

Monday

martes

Tuesday

miércoles

Wednesday

jueves

Thursday

viernes

Friday

Conceptos:fecha y hora aritmética modular análisis por casos

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

Un mes de $31$ días son $4$ semanas más $3$ días extra, así que los días de la semana del día $1$ , del día $2$ y del día $3$ del mes ocurren exactamente cinco veces.

Para que julio tenga cinco lunes, el lunes debe caer en el $1,$ $2,$ o $3$ de julio. En los tres casos, el $1$ de agosto cae en miércoles, jueves o viernes, y el día de la semana común entre los días que ocurren cinco veces es el jueves.

Más directamente, como julio tiene $31$ días, el $1$ de agosto es el mismo día de la semana que el $4$ de julio. Con el lunes en el $1,$ $2,$ o $3$ de julio, los tres días de la semana que ocurren cinco veces en agosto siempre incluyen el jueves.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A $31$ -day month is $4$ weeks plus $3$ extra days, so exactly the weekdays of the $1$ st, $2$ nd, and $3$ rd of the month occur five times.

For July to have five Mondays, Monday must be one of July $1,$ $2,$ or $3.$ In all three cases August $1$ lands on a Wednesday, Thursday, or Friday, and the common weekday among the resulting five-time days is Thursday.

More directly, since July has $31$ days, August $1$ is the same weekday as July $4.$ With Monday on July $1,$ $2,$ or $3,$ the three five-time weekdays of August always include Thursday.

Thus, the correct answer is D.

9.

Con las letras $A,$ $M,$ $O,$ $S,$ y $U,$ podemos formar $120$ “palabras” de cinco letras. Si estas “palabras” se ordenan alfabéticamente, ¿qué posición ocupa la “palabra” $USAMO$ ?

Using the letters $A,$ $M,$ $O,$ $S,$ and $U,$ we can form $120$ five-letter “words.” If these “words” are arranged in alphabetical order, then the “word” $USAMO$ occupies which position?

$112$

$113$

$114$

$115$

$116$

Conceptos:permutaciones enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

El orden alfabético de las letras es $A, M, O, S, U.$ Las palabras que empiezan con $A,$ $M,$ $O,$ o $S$ ocupan las posiciones $1$ a $96$ (cuatro opciones para la primera letra, $24$ cada una).

Las palabras que empiezan con $U$ ocupan las posiciones $97$ – $120.$ Ordenándolas alfabéticamente, $USAMO$ es la $19$ .ª de ellas, así que ocupa la posición $96 + 19 = 115.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The alphabetical order of the letters is $A, M, O, S, U.$ Words beginning with $A,$ $M,$ $O,$ or $S$ fill positions $1$ through $96$ (four choices of first letter, $24$ each).

Words beginning with $U$ occupy positions $97$ – $120.$ Listing them alphabetically, $USAMO$ is the $19$ th such word, so it occupies position $96 + 19 = 115.$

Thus, the correct answer is D.

10.

Supongamos que $a$ y $b$ son números reales no nulos, y que la ecuación $x^2 + ax + b = 0$ tiene como soluciones $a$ y $b.$ ¿Cuál es el par $(a, b)$ ?

Suppose that $a$ and $b$ are nonzero real numbers, and that the equation $x^2 + ax + b = 0$ has solutions $a$ and $b.$ What is the pair $(a, b)?$

$(-2, 1)$

$(-1, 2)$

$(1, -2)$

$(2, -1)$

$(4, 4)$

Conceptos:Fórmulas de Vieta sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

Como las raíces son $a$ y $b,$ las fórmulas de Vieta dan $a + b = -a$ y $ab = b.$

De $ab = b$ con $b \ne 0,$ obtenemos $a = 1.$ Entonces $a + b = -a$ da $1 + b = -1,$ así que $b = -2.$

Por lo tanto $(a, b) = (1, -2),$ y la respuesta correcta es C.

Since the roots are $a$ and $b,$ Vieta's formulas give $a + b = -a$ and $ab = b.$

From $ab = b$ with $b \ne 0,$ we get $a = 1.$ Then $a + b = -a$ gives $1 + b = -1,$ so $b = -2.$

Thus $(a, b) = (1, -2),$ and the correct answer is C.

11.

El producto de tres enteros positivos consecutivos es $8$ veces su suma. ¿Cuál es la suma de sus cuadrados?

The product of three consecutive positive integers is $8$ times their sum. What is the sum of their squares?

$50$

$77$

$110$

$149$

$194$

Conceptos:manipulación algebraica cuadrática

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

Sean los enteros $n - 1,$ $n,$ $n + 1.$ Su producto es $n(n^2 - 1)$ y su suma es $3n,$ así que $n(n^2 - 1) = 8(3n) = 24n.$

Como $n \ne 0,$ obtenemos $n^2 - 1 = 24,$ así que $n^2 = 25$ y $n = 5.$

Los tres enteros son $4, 5, 6,$ y $4^2 + 5^2 + 6^2 = 16 + 25 + 36$ $= 77.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the integers be $n - 1,$ $n,$ $n + 1.$ Their product is $n(n^2 - 1)$ and their sum is $3n,$ so $n(n^2 - 1) = 8(3n) = 24n.$

Since $n \ne 0,$ we get $n^2 - 1 = 24,$ so $n^2 = 25$ and $n = 5.$

The three integers are $4, 5, 6,$ and $4^2 + 5^2 + 6^2 = 16 + 25 + 36$ $= 77.$

Thus, the correct answer is B.

12.

¿Para cuál de los siguientes valores de $k$ la ecuación $\dfrac{x - 1}{x - 2} = \dfrac{x - k}{x - 6}$ no tiene solución para $x$ ?

For which of the following values of $k$ does the equation $\dfrac{x - 1}{x - 2} = \dfrac{x - k}{x - 6}$ have no solution for $x?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:ecuación racional ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Multiplicando en cruz se obtiene $(x - 1)(x - 6) = (x - 2)(x - k),$ que se desarrolla como $\begin{aligned} x^2 - 7x + 6 &= x^2 - (2 + k)x \\ &\quad {}+ 2k. \end{aligned}$

Al cancelar $x^2$ queda $(k - 5)x = 2k - 6,$ así que $x = \dfrac{2k - 6}{k - 5}.$ Esto no tiene solución exactamente cuando $k = 5,$ ya que entonces el coeficiente de $x$ es $0$ mientras que el lado derecho no es nulo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Cross multiplying gives $(x - 1)(x - 6) = (x - 2)(x - k),$ which expands to $\begin{aligned} x^2 - 7x + 6 &= x^2 - (2 + k)x \\ &\quad {}+ 2k. \end{aligned}$

Cancelling $x^2$ leaves $(k - 5)x = 2k - 6,$ so $x = \dfrac{2k - 6}{k - 5}.$ This has no solution exactly when $k = 5,$ since then the coefficient of $x$ is $0$ while the right side is nonzero.

Thus, the correct answer is E.

13.

¿Qué valor de $x$ hace que $8xy - 12y + 2x - 3 = 0$ sea cierto para todos los valores de $y$ ?

What value of $x$ makes $8xy - 12y + 2x - 3 = 0$ true for all values of $y?$

$\dfrac23$

$\dfrac32$ o $-\dfrac14$

$\dfrac32$ or $-\dfrac14$

$-\dfrac23$ o $-\dfrac14$

$-\dfrac23$ or $-\dfrac14$

$\dfrac32$

$-\dfrac32$ o $-\dfrac14$

$-\dfrac32$ or $-\dfrac14$

Conceptos:factorización manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1220

Solución:

Agrupando y factorizando, $\begin{aligned} &8xy - 12y + 2x - 3 \\ &= 4y(2x - 3) + (2x - 3) \\ &= (4y + 1)(2x - 3). \end{aligned}$

Para que esto sea igual a $0$ para todo $y,$ el factor que depende de $y$ no puede forzarse a cero, así que necesitamos $2x - 3 = 0,$ lo que da $x = \dfrac32.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Grouping and factoring, $\begin{aligned} &8xy - 12y + 2x - 3 \\ &= 4y(2x - 3) + (2x - 3) \\ &= (4y + 1)(2x - 3). \end{aligned}$

For this to equal $0$ for all $y,$ the factor that depends on $y$ cannot be forced to zero, so we need $2x - 3 = 0,$ giving $x = \dfrac32.$

Thus, the correct answer is D.

14.

El número $25^{64} \cdot 64^{25}$ es el cuadrado de un entero positivo $N.$ En representación decimal, ¿cuál es la suma de las cifras de $N$ ?

The number $25^{64} \cdot 64^{25}$ is the square of a positive integer $N.$ In decimal representation, what is the sum of the digits of $N?$

$7$

$14$

$21$

$28$

$35$

Conceptos:exponente dígitos

Nivel de dificultad: 1420

Solución:

Como $25 = 5^2$ y $64 = 2^6,$ tenemos $25^{64}\cdot 64^{25} = 5^{128}\cdot 2^{150},$ así que $N = \sqrt{5^{128}\cdot 2^{150}} = 5^{64}\cdot 2^{75}.$

Escribiendo $2^{75} = 2^{64}\cdot 2^{11},$ obtenemos $N = (5\cdot 2)^{64}\cdot 2^{11} = 10^{64}\cdot 2048.$

Así que $N$ es $2048$ seguido de $64$ ceros, y su suma de cifras es $2 + 0 + 4 + 8 = 14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $25 = 5^2$ and $64 = 2^6,$ we have $25^{64}\cdot 64^{25} = 5^{128}\cdot 2^{150},$ so $N = \sqrt{5^{128}\cdot 2^{150}} = 5^{64}\cdot 2^{75}.$

Writing $2^{75} = 2^{64}\cdot 2^{11},$ we get $N = (5\cdot 2)^{64}\cdot 2^{11} = 10^{64}\cdot 2048.$

So $N$ is $2048$ followed by $64$ zeros, and its digit sum is $2 + 0 + 4 + 8 = 14.$

Thus, the correct answer is B.

15.

Los enteros positivos $A,$ $B,$ $A - B,$ y $A + B$ son todos números primos. La suma de estos cuatro primos es

The positive integers $A,$ $B,$ $A - B,$ and $A + B$ are all prime numbers. The sum of these four primes is

par

even

divisible entre $3$

divisible by $3$

divisible entre $5$

divisible by $5$

divisible entre $7$

divisible by $7$

primo

prime

Conceptos:primo paridad

Nivel de dificultad: 1480

Solución:

Los números $A - B$ y $A + B$ difieren en $2B,$ así que tienen la misma paridad. Al ser primos, ambos deben ser impares, lo que obliga a que $A$ y $B$ tengan paridad opuesta.

Como $2$ es el único primo par, $B = 2.$ Entonces $A - 2,$ $A,$ $A + 2$ son tres primos que forman una progresión aritmética de números impares, que debe ser $3, 5, 7.$

Los cuatro primos son $2, 3, 5, 7,$ y su suma es $17,$ que es primo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The numbers $A - B$ and $A + B$ differ by $2B,$ so they have the same parity. Being prime, they must both be odd, which forces $A$ and $B$ to have opposite parity.

Since $2$ is the only even prime, $B = 2.$ Then $A - 2,$ $A,$ $A + 2$ are three primes forming an arithmetic progression of odd numbers, which must be $3, 5, 7.$

The four primes are $2, 3, 5, 7,$ and their sum is $17,$ which is prime.

Thus, the correct answer is E.

16.

¿Para cuántos enteros $n$ el número $\dfrac{n}{20 - n}$ es el cuadrado de un entero?

For how many integers $n$ is $\dfrac{n}{20 - n}$ the square of an integer?

$1$

$2$

$3$

$4$

$10$

Conceptos:Ecuación diofántica divisibilidad cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1580

Solución:

Supongamos que $\dfrac{n}{20 - n} = k^2$ para algún entero $k \ge 0.$ Despejando, $n = \dfrac{20k^2}{k^2 + 1}.$

Como $k^2$ y $k^2 + 1$ no comparten factor común, $k^2 + 1$ debe dividir a $20.$ Esto ocurre solo para $k = 0, 1, 2, 3,$ dando $k^2 + 1 = 1, 2, 5, 10.$

Los valores correspondientes $n = 0, 10, 16, 18$ son todos enteros, así que hay $4$ tales $n.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Suppose $\dfrac{n}{20 - n} = k^2$ for some integer $k \ge 0.$ Solving, $n = \dfrac{20k^2}{k^2 + 1}.$

Since $k^2$ and $k^2 + 1$ share no common factor, $k^2 + 1$ must divide $20.$ This happens only for $k = 0, 1, 2, 3,$ giving $k^2 + 1 = 1, 2, 5, 10.$

The corresponding values $n = 0, 10, 16, 18$ are all integers, so there are $4$ such $n.$

Thus, the correct answer is D.

17.

Un octágono regular $ABCDEFGH$ tiene lados de longitud dos. ¿Cuál es el área de $\triangle ADG$ ?

A regular octagon $ABCDEFGH$ has sides of length two. What is the area of $\triangle ADG?$

$4 + 2\sqrt{2}$

$6 + \sqrt{2}$

$4 + 3\sqrt{2}$

$3 + 4\sqrt{2}$

$8 + \sqrt{2}$

Conceptos:polígono regular geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Coloca el octágono sobre ejes coordenados con los lados alineados a los ejes de longitud $2$ y cada lado inclinado abarcando $\sqrt2$ en horizontal y $\sqrt2$ en vertical. Entonces $\begin{aligned} A &= (\sqrt2, 0), \\ D &= (2 + 2\sqrt2, 2 + \sqrt2), \\ G &= (0, 2 + \sqrt2). \end{aligned}$

Como $D$ y $G$ comparten la altura $2 + \sqrt2,$ el segmento $DG$ es horizontal con longitud $2 + 2\sqrt2,$ y la altura desde $A$ hasta ese nivel es $2 + \sqrt2.$

Por lo tanto $\begin{aligned} [\triangle ADG] &= \tfrac12(2 + 2\sqrt2)(2 + \sqrt2) \\ &= (1 + \sqrt2)(2 + \sqrt2) \\ &= 4 + 3\sqrt2. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Set the octagon on coordinate axes with the axis-aligned sides of length $2$ and each slanted side spanning $\sqrt2$ horizontally and $\sqrt2$ vertically. Then $\begin{aligned} A &= (\sqrt2, 0), \\ D &= (2 + 2\sqrt2, 2 + \sqrt2), \\ G &= (0, 2 + \sqrt2). \end{aligned}$

Since $D$ and $G$ share the height $2 + \sqrt2,$ segment $DG$ is horizontal with length $2 + 2\sqrt2,$ and the height from $A$ up to that level is $2 + \sqrt2.$

Therefore $\begin{aligned} [\triangle ADG] &= \tfrac12(2 + 2\sqrt2)(2 + \sqrt2) \\ &= (1 + \sqrt2)(2 + \sqrt2) \\ &= 4 + 3\sqrt2. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

18.

Se dibujan cuatro circunferencias distintas en un plano. ¿Cuál es el número máximo de puntos donde se cortan al menos dos de las circunferencias?

Four distinct circles are drawn in a plane. What is the maximum number of points where at least two of the circles intersect?

$8$

$9$

$10$

$12$

$16$

Conceptos:conteo de intersecciones conteo de pares

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

Dos circunferencias distintas cualesquiera se cortan en a lo sumo $2$ puntos. Hay $\binom{4}{2} = 6$ pares de circunferencias, lo que da a lo sumo $6\cdot 2 = 12$ puntos de intersección.

Este máximo se alcanza con una configuración donde cada par de circunferencias se cruza dos veces, así que la respuesta es $12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Any two distinct circles intersect in at most $2$ points. There are $\binom{4}{2} = 6$ pairs of circles, giving at most $6\cdot 2 = 12$ intersection points.

This maximum is achievable by a configuration where every pair of circles crosses twice, so the answer is $12.$

Thus, the correct answer is D.

19.

Supongamos que $\{a_n\}$ es una sucesión aritmética con $a_1 + a_2 + \cdots + a_{100} = 100$ y $a_{101} + a_{102} + \cdots + a_{200} = 200.$ ¿Cuál es el valor de $a_2 - a_1$ ?

Suppose that $\{a_n\}$ is an arithmetic sequence with $a_1 + a_2 + \cdots + a_{100} = 100$ and $a_{101} + a_{102} + \cdots + a_{200} = 200.$ What is the value of $a_2 - a_1?$

$0.0001$

$0.001$

$0.01$

$0.1$

$1$

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1460

Solución:

Sea $d = a_2 - a_1.$ Entonces $a_{k+100} = a_k + 100d,$ así que la suma del segundo bloque es la del primero más $100\cdot 100 d:$ $\begin{aligned} &a_{101} + \cdots + a_{200} \\ &= (a_1 + \cdots + a_{100}) \\ &\quad {}+ 10000d. \end{aligned}$

Por lo tanto $200 = 100 + 10000d,$ lo que da $d = \dfrac{100}{10000} = 0.01.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $d = a_2 - a_1.$ Then $a_{k+100} = a_k + 100d,$ so the second block sum is the first plus $100\cdot 100 d:$ $\begin{aligned} &a_{101} + \cdots + a_{200} \\ &= (a_1 + \cdots + a_{100}) \\ &\quad {}+ 10000d. \end{aligned}$

Therefore $200 = 100 + 10000d,$ giving $d = \dfrac{100}{10000} = 0.01.$

Thus, the correct answer is C.

20.

Sean $a,$ $b,$ y $c$ números reales tales que $a - 7b + 8c = 4$ y $8a + 4b - c = 7.$ ¿Cuánto vale $a^2 - b^2 + c^2$ ?

Let $a,$ $b,$ and $c$ be real numbers such that $a - 7b + 8c = 4$ and $8a + 4b - c = 7.$ What is $a^2 - b^2 + c^2?$

$0$

$1$

$4$

$7$

$8$

Conceptos:manipulación algebraica sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1790

Solución:

Reescribe las ecuaciones como $a + 8c = 4 + 7b$ y $8a - c = 7 - 4b.$ Elevando al cuadrado ambas y sumando, $\begin{aligned} &(a + 8c)^2 + (8a - c)^2 \\ &= (4 + 7b)^2 \\ &\quad {}+ (7 - 4b)^2. \end{aligned}$

El lado izquierdo se desarrolla como $65a^2 + 65c^2$ (los términos $ac$ se cancelan), y el lado derecho se desarrolla como $65 + 65b^2$ (los términos $b$ se cancelan). Así que $65(a^2 + c^2) = 65(1 + b^2),$ lo que da $a^2 - b^2 + c^2 = 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Rewrite the equations as $a + 8c = 4 + 7b$ and $8a - c = 7 - 4b.$ Squaring both and adding, $\begin{aligned} &(a + 8c)^2 + (8a - c)^2 \\ &= (4 + 7b)^2 \\ &\quad {}+ (7 - 4b)^2. \end{aligned}$

The left side expands to $65a^2 + 65c^2$ (the $ac$ terms cancel), and the right side expands to $65 + 65b^2$ (the $b$ terms cancel). So $65(a^2 + c^2) = 65(1 + b^2),$ giving $a^2 - b^2 + c^2 = 1.$

Thus, the correct answer is B.

21.

El césped de Andy tiene el doble de área que el de Beth y el triple de área que el de Carlos. La cortadora de Carlos corta a la mitad de velocidad que la de Beth y a un tercio de la velocidad que la de Andy. Si todos empiezan a cortar sus céspedes al mismo tiempo, ¿quién terminará primero?

Andy's lawn has twice as much area as Beth's lawn and three times as much area as Carlos' lawn. Carlos' lawn mower cuts half as fast as Beth's mower and one third as fast as Andy's mower. If they all start to mow their lawns at the same time, who will finish first?

Andy

Beth

Carlos

Andy y Carlos empatan en el primer lugar.

Andy and Carlos tie for first.

Los tres empatan.

All three tie.

Conceptos:tasa razón y proporción

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Sea $A$ el área del césped de Andy, así que el de Beth es $\dfrac{A}{2}$ y el de Carlos es $\dfrac{A}{3}.$ Carlos corta a velocidad $R,$ así que Beth corta a $2R$ y Andy a $3R.$

Los tiempos son $\begin{aligned} &\text{Andy: } \dfrac{A}{3R}, \\ &\text{Beth: } \dfrac{A/2}{2R} = \dfrac{A}{4R}, \\ &\text{Carlos: } \dfrac{A/3}{R} = \dfrac{A}{3R}. \end{aligned}$

Como $\dfrac{A}{4R}$ es el menor, Beth termina primero.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let Andy's lawn have area $A,$ so Beth's is $\dfrac{A}{2}$ and Carlos' is $\dfrac{A}{3}.$ Let Carlos mow at rate $R,$ so Beth mows at $2R$ and Andy at $3R.$

The times are $\begin{aligned} &\text{Andy: } \dfrac{A}{3R}, \\ &\text{Beth: } \dfrac{A/2}{2R} = \dfrac{A}{4R}, \\ &\text{Carlos: } \dfrac{A/3}{R} = \dfrac{A}{3R}. \end{aligned}$

Since $\dfrac{A}{4R}$ is the smallest, Beth finishes first.

Thus, the correct answer is B.

22.

Sea $\triangle XOY$ un triángulo rectángulo con $m\angle XOY = 90^\circ.$ Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los catetos $OX$ y $OY,$ respectivamente. Dado que $XN = 19$ y $YM = 22,$ ¿cuánto vale $XY$ ?

Let $\triangle XOY$ be a right-angled triangle with $m\angle XOY = 90^\circ.$ Let $M$ and $N$ be the midpoints of legs $OX$ and $OY,$ respectively. Given that $XN = 19$ and $YM = 22,$ what is $XY?$

$24$

$26$

$28$

$30$

$32$

Conceptos:Teorema de Pitágoras mediana (geometría)sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1690

Solución:

Sea $OM = a$ y $ON = b,$ así que $OX = 2a$ y $OY = 2b.$ El ángulo recto en $O$ da $19^2 = (2a)^2 + b^2$ $22^2 = a^2 + (2b)^2.$

Sumando estas, $5(a^2 + b^2) = 19^2 + 22^2 = 845,$ así que $a^2 + b^2 = 169$ y $MN = \sqrt{a^2 + b^2} = 13.$

Como $\triangle XOY \sim \triangle MON$ con razón $2,$ tenemos $XY = 2\cdot MN = 26.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $OM = a$ and $ON = b,$ so $OX = 2a$ and $OY = 2b.$ The right angle at $O$ gives $19^2 = (2a)^2 + b^2$ and $22^2 = a^2 + (2b)^2.$

Adding these, $5(a^2 + b^2) = 19^2 + 22^2 = 845,$ so $a^2 + b^2 = 169$ and $MN = \sqrt{a^2 + b^2} = 13.$

Since $\triangle XOY \sim \triangle MON$ with ratio $2,$ we have $XY = 2\cdot MN = 26.$

Thus, the correct answer is B.

23.

Sea $\{a_k\}$ una sucesión de enteros tal que $a_1 = 1$ y $a_{m+n} = a_m + a_n + mn$ para todos los enteros positivos $m$ y $n.$ ¿Cuánto vale $a_{12}$ ?

Let $\{a_k\}$ be a sequence of integers such that $a_1 = 1$ and $a_{m+n} = a_m + a_n + mn$ for all positive integers $m$ and $n.$ What is $a_{12}?$

$45$

$56$

$67$

$78$

$89$

Conceptos:ecuación funcional telescópica número triangular

Nivel de dificultad: 1510

Solución:

Poniendo $n = 1,$ obtenemos $a_{m+1} = a_m + a_1 + m$ $= a_m + (m + 1),$ así que $a_{m+1} - a_m = m + 1.$

Sumando desde $m = 1$ hasta $11,$ $\begin{aligned} a_{12} - a_1 &= 2 + 3 + \cdots + 12 \\ &= \dfrac{12\cdot 13}{2} - 1 \\ &= 77. \end{aligned}$

Por lo tanto $a_{12} = 1 + 77 = 78.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Setting $n = 1,$ we get $a_{m+1} = a_m + a_1 + m$ $= a_m + (m + 1),$ so $a_{m+1} - a_m = m + 1.$

Summing from $m = 1$ to $11,$ $\begin{aligned} a_{12} - a_1 &= 2 + 3 + \cdots + 12 \\ &= \dfrac{12\cdot 13}{2} - 1 \\ &= 77. \end{aligned}$

Therefore $a_{12} = 1 + 77 = 78.$

Thus, the correct answer is D.

24.

Los pasajeros de una noria se mueven en un círculo en un plano vertical. Una noria particular tiene radio $20$ pies y gira a la velocidad constante de una vuelta por minuto. ¿Cuántos segundos tarda un pasajero en viajar desde el punto más bajo de la noria hasta un punto $10$ pies verticales por encima del punto más bajo?

Riders on a Ferris wheel travel in a circle in a vertical plane. A particular wheel has radius $20$ feet and revolves at the constant rate of one revolution per minute. How many seconds does it take a rider to travel from the bottom of the wheel to a point $10$ vertical feet above the bottom?

$5$

$6$

$7.5$

$10$

$15$

Conceptos:círculo triángulo rectángulo especial razón y proporción

Nivel de dificultad: 1580

Solución:

Coloca el centro $O$ a una altura de $20.$ El punto más bajo $A$ está a altura $0,$ y el pasajero alcanza la altura $10,$ que está $10$ pies por debajo del centro.

La horizontal desde el centro hasta el nivel del pasajero forma un triángulo rectángulo donde el cateto vertical es $10$ y la hipotenusa (el radio) es $20.$ Ese cateto es la mitad de la hipotenusa, así que el radio hacia el pasajero forma $60^\circ$ con la vertical hacia abajo.

La noria gira $360^\circ$ en $60$ segundos, así que girar $60^\circ$ tarda $\dfrac{60}{360}\cdot 60 = 10$ segundos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Put the center $O$ at height $20.$ The bottom $A$ is at height $0,$ and the rider reaches height $10,$ which is $10$ feet below the center.

The horizontal from the center down to the rider's level forms a right triangle where the vertical leg is $10$ and the hypotenuse (the radius) is $20.$ That leg is half the hypotenuse, so the radius to the rider makes $60^\circ$ with the downward vertical.

The wheel turns $360^\circ$ in $60$ seconds, so turning $60^\circ$ takes $\dfrac{60}{360}\cdot 60 = 10$ seconds.

Thus, the correct answer is D.

25.

Cuando se añade $15$ a una lista de enteros, la media aumenta en $2.$ Cuando se añade $1$ a la lista ampliada, la media de la lista ampliada disminuye en $1.$ ¿Cuántos enteros había en la lista original?

When $15$ is appended to a list of integers, the mean is increased by $2.$ When $1$ is appended to the enlarged list, the mean of the enlarged list is decreased by $1.$ How many integers were in the original list?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:media sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1690

Solución:

Sea la lista original con $n$ enteros y media $m,$ así que su suma es $mn.$ Añadir $15$ da $\begin{aligned} &(m + 2)(n + 1) \\ &= mn + 15 \\ &\implies m + 2n = 13. \end{aligned}$

Añadir $1$ a esa lista ampliada da $\begin{aligned} &(m + 1)(n + 2) \\ &= mn + 16 \\ &\implies 2m + n = 14. \end{aligned}$

Resolviendo $m + 2n = 13$ y $2m + n = 14$ se obtiene $m = 5$ y $n = 4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the original list have $n$ integers with mean $m,$ so its sum is $mn.$ Appending $15$ gives $\begin{aligned} &(m + 2)(n + 1) \\ &= mn + 15 \\ &\implies m + 2n = 13. \end{aligned}$

Appending $1$ to that enlarged list gives $\begin{aligned} &(m + 1)(n + 2) \\ &= mn + 16 \\ &\implies 2m + n = 14. \end{aligned}$

Solving $m + 2n = 13$ and $2m + n = 14$ yields $m = 5$ and $n = 4.$

Thus, the correct answer is A.