Question

Nueve atletas, sin que dos de ellos tengan la misma estatura, se presentan a las pruebas para el equipo de baloncesto. Uno a la vez, sacan una pulsera al azar, sin reemplazo, de una bolsa que contiene $3$ pulseras azules, $3$ pulseras rojas, y $3$ pulseras verdes. Se dividen en un grupo azul, un grupo rojo, y un grupo verde. El miembro más alto de cada grupo es nombrado capitán del grupo. ¿Cuál es la probabilidad de que los capitanes de grupo sean los tres atletas más altos?

Nine athletes, no two of whom are the same height, try out for the basketball team. One at a time, they draw a wristband at random, without replacement, from a bag containing $3$ blue bands, $3$ red bands, and $3$ green bands. They are divided into a blue group, a red group, and a green group. The tallest member of each group is named the group captain. What is the probability that the group captains are the three tallest athletes?

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{2}{7}$

$\dfrac{9}{28}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3}{8}$

Solución:

Los capitanes son los tres más altos exactamente cuando esos tres caen en tres grupos diferentes, ya que entonces cada uno es el más alto de su propio grupo. Colócalos en los $9$ lugares uno a la vez ( $3$ por grupo). El segundo más alto no cae en el grupo del primero con probabilidad $\tfrac{6}{8},$ y el tercero evita ambos con probabilidad $\tfrac{3}{7}.$ Así que la probabilidad es $\tfrac{6}{8} \cdot \tfrac{3}{7} = \tfrac{9}{28}.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

The captains are the three tallest exactly when those three land in three different groups, since each is then the tallest of its own group. Drop them into the $9$ slots one at a time ( $3$ per group). The second tallest misses the first's group with probability $\tfrac{6}{8},$ and the third misses both with probability $\tfrac{3}{7}.$ So the probability is $\tfrac{6}{8} \cdot \tfrac{3}{7} = \tfrac{9}{28}.$ Therefore, the answer is C.

2025 AMC 10B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años