Question

Sean $a,$ $b,$ y $c$ tres números de una cifra distintos. ¿Cuál es el valor máximo de la suma de las raíces de la ecuación $(x-a)(x-b)$ $+(x-b)(x-c)=0$ ?

Let $a,$ $b,$ and $c$ be three distinct one-digit numbers. What is the maximum value of the sum of the roots of the equation $(x-a)(x-b)$ $+(x-b)(x-c)=0?$

$15$

$15.5$

$16$

$16.5$

$17$

Solución:

La ecuación es igual a $(2x-(a+c))(x-b)$ $= 2(x-b)\left(x- \dfrac{a+c}2\right).$ Esto hace que las raíces sean $b,\dfrac{a+c}2$ y la suma es $\dfrac{2b+a+c}2.$

Por lo tanto, queremos maximizar $a,b,c,$ haciendo que $b$ sea el mayor.

Así, podemos tomar $b=9,a=8,c=7$ y obtener una suma: $9+7.5=16.5$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The equation is equal to $(2x-(a+c))(x-b)$ $= 2(x-b)\left(x- \dfrac{a+c}2\right).$ This makes the roots equal to: $b,\dfrac{a+c}2$ and the sum is $\dfrac{2b+a+c}2.$

Therefore, we want to maximize $a,b,c,$ while making $b$ the highest.

As such, we can have $b=9,a=8,c=7$ and get a sum: $9+7.5=16.5$

Thus, the correct answer is D .

2015 AMC 10B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años