Question

La recta $12x+5y=60$ forma un triángulo con los ejes coordenados. ¿Cuál es la suma de las longitudes de las alturas de este triángulo?

The line $12x+5y=60$ forms a triangle with the coordinate axes. What is the sum of the lengths of the altitudes of this triangle?

$20$

$\dfrac{360}{17}$

$\dfrac{107}{5}$

$\dfrac{43}{2}$

$\dfrac{281}{13}$

Solución:

El triángulo es un triángulo rectángulo con catetos de $12$ y $5.$ Esto hace que la hipotenusa sea $13.$

Dos de las alturas son entonces $12$ y $5.$ Además, para cualquier lado, $A = \frac{bh}2$ donde $b$ es la base y $h$ es la altura.

El área es $\frac {12\cdot 5}2 = 30,$ así que la otra altura $h$ se puede hallar con $30 = \frac{13h}2.$ Por lo tanto, esta altura es $\frac{60}{13}.$

Por lo tanto, la suma es $12+5+\dfrac{60}{13} = \dfrac{281}{13} .$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The triangle is a right triangle with legs of $12$ and $5.$ This makes the hypotenuse $13.$

Two of the altitudes are then $12$ and $5.$ Also, for any side, $A = \frac{bh}2$ where $b$ is the base and $h$ is the altitude.

The area is $\frac {12\cdot 5}2 = 30,$ so the other altitude $h$ can be found with $30 = \frac{13h}2.$ Thus, this altitude is $\frac{60}{13}.$

Therefore, the sum is $12+5+\dfrac{60}{13} = \dfrac{281}{13} .$

Thus, the correct answer is E .

2015 AMC 10B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años