Question

¿Cuál es la suma de todos los números reales $x$ para los cuales la mediana de los números $4,6,8,17,$ y $x$ es igual a la media de esos cinco números?

What is the sum of all real numbers $x$ for which the median of the numbers $4,6,8,17,$ and $x$ is equal to the mean of those five numbers?

$-5$

$0$

$5$

$\dfrac{15}{4}$

$\dfrac{35}{4}$

Solución:

Como hay $5$ números, la mediana es el $3$ .er número más grande. Esta sería $6$ si $x< 6,$ $8$ si $x> 8,$ y $x$ si $6 \leq x \leq 8.$

Además, la media es igual a $\dfrac{4+6+8+17+x}5$ $= 7+\dfrac x5.$

Si la media es $6,$ entonces $7+\frac x5=6,$ así que $x=-5.$

Si la media es $8,$ entonces $7+\frac x5=8,$ así que $x=5,$ que no está en el rango requerido.

Si la media es $x,$ entonces $\begin{align*}7+\frac x5&=x\\7&=\frac{4x}5\\x&=8.75,\end{align*}$ que no está en el rango requerido.

Por lo tanto, el único $x$ posible es $-5,$ lo que hace que la suma sea $-5.$

Así, la respuesta es A.

Since there are $5$ numbers, the median is the $3$ rd largest number. That would be $6$ if $x< 6,$ $8$ if $x> 8,$ and $x$ if $6 \leq x \leq 8.$

In addition, the mean is equal to $\dfrac{4+6+8+17+x}5$ $= 7+\dfrac x5.$

If the mean is $6,$ then $7+\frac x5=6,$ so $x=-5.$

If the mean is $8,$ then $7+\frac x5=8,$ so $x=5,$ which is not in the required range.

If the mean is $x,$ then $\begin{align*}7+\frac x5&=x\\7&=\frac{4x}5\\x&=8.75,\end{align*}$ which is not in the required range.

Therefore, the only possible $x$ is $-5,$ making the sum $-5.$

Thus, the answer is A .

2019 AMC 10B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años