Soluciones del 2019 AMC 10B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Alicia tenía dos recipientes. El primero estaba lleno de agua hasta $\frac{5}{6}$ de su capacidad y el segundo estaba vacío. Vertió toda el agua del primer recipiente en el segundo, y en ese momento el segundo quedó lleno de agua hasta $\frac{3}{4}$ de su capacidad. ¿Cuál es la razón entre el volumen del recipiente más pequeño y el volumen del recipiente más grande?

Alicia had two containers. The first was $\frac{5}{6}$ full of water and the second was empty. She poured all the water from the first container into the second container, at which point the second container was $\frac{3}{4}$ full of water. What is the ratio of the volume of the smaller container to the volume of the larger container?

$\dfrac{5}{8}$

$\dfrac{4}{5}$

$\dfrac{7}{8}$

$\dfrac{9}{10}$

$\dfrac{11}{12}$

Conceptos:fracción razón y proporción

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Sea el volumen de cada recipiente una variable.

Let the container volumes be variables

Pista grande:

Iguala la misma cantidad de agua antes y después de verterla.

Equate the same water amount before and after pouring

Solución:

Sean $F$ y $S$ los volúmenes del primer y del segundo recipiente. La cantidad de agua es a la vez $\dfrac56F$ y $\dfrac34S$ , así que $\dfrac56F=\dfrac34S$ .

Por lo tanto $\dfrac{F}{S}=\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{6}}=\dfrac9{10}$ . Como el primer recipiente es el más pequeño, la razón del recipiente más pequeño al más grande es $\dfrac9{10}$ . Así, D es la respuesta correcta.

Let the volumes of the first and second containers be $F$ and $S$ . The amount of water is both $\dfrac56F$ and $\dfrac34S$ , so $\dfrac56F=\dfrac34S$ .

Thus $\dfrac{F}{S}=\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{6}}=\dfrac9{10}$ . Since the first container is smaller, the ratio of the smaller container to the larger container is $\dfrac9{10}$ . Thus, D is the correct answer.

2.

Considera la afirmación: “Si $n$ no es primo, entonces $n-2$ es primo.” ¿Cuál de los siguientes valores de $n$ es un contraejemplo de esta afirmación?

Consider the statement, “If $n$ is not prime, then $n-2$ is prime.” Which of the following values of $n$ is a counterexample to this statement?

$11$

$15$

$19$

$21$

$27$

Conceptos:contraejemplo primo

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Un contraejemplo debe hacer verdadera la hipótesis y falsa la conclusión.

A counterexample must make the hypothesis true and conclusion false

Pista grande:

Revisa solo las opciones donde $n$ no es primo.

Check only choices where $n$ is not prime

Solución:

Necesitamos que $n$ no sea primo, así que $n$ solo puede ser $15,21,27.$ Entonces, $n-2$ también debe no ser primo, lo que deja únicamente $27.$

Así, la respuesta es E.

We need $n$ to not be prime, so $n$ can only be $15,21,27.$ Then, $n-2$ must be not prime, leaving just $27.$

Thus, the answer is E .

3.

En una escuela secundaria con $500$ estudiantes, $40\%$ de los del último año tocan un instrumento musical, mientras que $30\%$ de los que no son del último año no tocan un instrumento musical. En total, $46.8\%$ de los estudiantes no tocan un instrumento musical. ¿Cuántos estudiantes que no son del último año tocan un instrumento musical?

In a high school with $500$ students, $40\%$ of the seniors play a musical instrument, while $30\%$ of the non-seniors do not play a musical instrument. In all, $46.8\%$ of the students do not play a musical instrument. How many non-seniors play a musical instrument?

$66$

$154$

$186$

$220$

$266$

Conceptos:porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Sea $s$ el número de estudiantes del último año.

Let $s$ be the number of seniors

Pista grande:

Usa el porcentaje de los que no tocan un instrumento.

Use the percent who do not play an instrument

Solución:

Sea el número de estudiantes del último año igual a $s.$ Entonces, $500-s$ personas no son del último año. Sabemos que $60\%$ de los del último año no tocan un instrumento. Así, el número de estudiantes que no tocan un instrumento se puede representar como $\begin{aligned} &0.3(500-s)+0.6(s) \\ &= 0.3s+150 \end{aligned}$ y $0.468\cdot 500=234.$ Por lo tanto, $0.3s+150=234$ $s=280.$ Esto hace que el número de estudiantes que no son del último año sea $220.$ Como $70\%$ de ellos tocan instrumentos, el número total es $220\cdot 0.7=154.$

Así, la respuesta es B.

Let the number of seniors be $s.$ Then, $500-s$ people aren’t seniors. We know $60\%$ of seniors don’t play an instrument. Then, the number of students who don’t play an instrument can be represented as $\begin{aligned} &0.3(500-s)+0.6(s) \\ &= 0.3s+150 \end{aligned}$ and $0.468\cdot 500=234.$ Thus, $0.3s+150=234$ $s=280.$ This makes the number of non-seniors equal to $220.$ Since $70\%$ of non-seniors play instruments, we have the total number as $220\cdot 0.7=154.$

Thus, the answer is B .

4.

Todas las rectas con ecuación $ax+by=c$ tales que $a,$ $b,$ $c$ forman una progresión aritmética pasan por un punto común. ¿Cuáles son las coordenadas de ese punto?

All lines with equation $ax+by=c$ such that $a,$ $b,$ $c$ form an arithmetic progression pass through a common point. What are the coordinates of that point?

$(-1,2)$

$(0,1)$

$(1,-2)$

$(1,0)$

$(1,2)$

Conceptos:ecuación lineal sucesión aritmética geometría analítica

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Escribe $b=a+d$ y $c=a+2d$ .

Write $b=a+d$ and $c=a+2d$

Pista grande:

La ecuación debe cumplirse para cualquier posible $a$ y $d$ .

The equation must hold for every possible $a$ and $d$

Solución:

Sea $d=b-a.$

Entonces $(a,b,c)= (a,a+d,a+2d).$ Por tanto, $ax+(a+d)y=a+2d.$ Al igualar las partes que corresponden a $a$ y a $d,$ obtenemos $ax+ay=a$ y $dy=2d$ para todos $a,d.$ Por consiguiente, $y=2,x+y=1$ lo que implica $x=-1.$ Así se obtiene el par $(-1,2).$

La respuesta es A.

Let $d=b-a.$

Then, we have $(a,b,c)= (a,a+d,a+2d).$ Thus, $ax+(a+d)y=a+2d.$ If we match the parts of $a$ and $d,$ we get $ax+ay=a$ and $dy=2d$ for all $a,d.$ Therefore, we have $y=2,x+y=1$ implying that $x=-1.$ This makes the pair $(-1,2).$

Thus, the answer is A .

5.

El triángulo $ABC$ está en el primer cuadrante. Los puntos $A,$ $B,$ y $C$ se reflejan respecto a la recta $y=x$ en los puntos $A',$ $B',$ y $C',$ respectivamente. Supón que ninguno de los vértices del triángulo está sobre la recta $y=x.$ ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no siempre es verdadera?

Triangle $ABC$ lies in the first quadrant. Points $A,$ $B,$ and $C$ are reflected across the line $y=x$ to points $A',$ $B',$ and $C',$ respectively. Assume that none of the vertices of the triangle lie on the line $y=x.$ Which of the following statements is not always true?

El triángulo $A'B'C'$ está en el primer cuadrante.

Triangle $A'B'C'$ lies in the first quadrant.

Los triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ tienen la misma área.

Triangles $ABC$ and $A'B'C'$ have the same area.

La pendiente de la recta $AA'$ es $-1.$

The slope of line $AA'$ is $-1.$

Las pendientes de las rectas $AA'$ y $CC'$ son iguales.

The slopes of lines $AA'$ and $CC'$ are the same.

Las rectas $AB$ y $A'B'$ son perpendiculares entre sí.

Lines $AB$ and $A'B'$ are perpendicular to each other.

Conceptos:transformación geometría analítica pendiente

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Las reflexiones respecto a $y=x$ conservan el área y el primer cuadrante.

Reflections preserve area and the first quadrant across $y=x$

Pista grande:

Prueba la afirmación sobre $AB$ con un segmento sencillo de pendiente $1$ .

Test the claim about $AB$ with a simple segment of slope $1$

Solución:

La reflexión respecto a $y=x$ lleva $(x,y)$ a $(y,x)$ . Por tanto, conserva el primer cuadrante y también el área, así que A y B siempre son verdaderas.

La dirección desde $(x,y)$ hasta su imagen $(y,x)$ es $(y-x,x-y)$ , cuya pendiente es $-1$ porque $x\ne y$ . Por consiguiente, C y D también son siempre verdaderas.

Para E, tomemos $A=(2,1)$ , $B=(3,2)$ , y $C=(4,1)$ . Estos puntos satisfacen todas las condiciones, pero $AB$ y $A'B'$ tienen ambos pendiente $1$ , de modo que las dos rectas son paralelas y no perpendiculares.

Así, la respuesta es E.

Reflection across $y=x$ sends $(x,y)$ to $(y,x)$ . It therefore preserves the first quadrant and preserves area, so A and B are always true.

The direction from $(x,y)$ to its image $(y,x)$ is $(y-x,x-y)$ , whose slope is $-1$ because $x\ne y$ . Thus C and D are always true as well.

For E, take $A=(2,1)$ , $B=(3,2)$ , and $C=(4,1)$ . These points satisfy all the conditions, but $AB$ and $A'B'$ both have slope $1$ , so the two lines are parallel rather than perpendicular.

Thus, the answer is E .

6.

Un entero positivo $n$ satisface la ecuación $(n+1)! + (n+2)! = n! \cdot 440.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos de $n$ ?

A positive integer $n$ satisfies the equation $(n+1)! + (n+2)! = n! \cdot 440.$ What is the sum of the digits of $n?$

$2$

$5$

$10$

$12$

$15$

Conceptos:factorial manipulación algebraica dígitos

Nivel de dificultad: 1190

Pista pequeña:

Factoriza $(n+1)!$ y $(n+2)!$ en términos de $n!$ .

Factor $(n+1)!$ and $(n+2)!$ in terms of $n!$

Pista grande:

Divide entre $n!$ y resuelve la ecuación cuadrática resultante.

Divide by $n!$ and solve the resulting square equation

Solución:

Podemos reescribir el lado izquierdo como $(n+1)n!+(n+2)(n+1)n!$ $=((n+2)^2-1)n!,$ así que $((n+2)^2-1) n! = 440 n!$ Por lo tanto, $(n+2)^2=441,$ de modo que $n=19.$ La suma de sus dígitos es $10.$

Así, la respuesta es C.

We can rewrite the left side as $(n+1)n!+(n+2)(n+1)n!$ $=((n+2)^2-1)n!,$ so $((n+2)^2-1) n! = 440 n!$ Therefore, $(n+2)^2=441,$ so $n=19.$ The sum of its digits is $10.$

Thus, the answer is C .

7.

Cada dulce en una tienda cuesta un número entero de centavos. Casper tiene exactamente el dinero justo para comprar $12$ dulces rojos, $14$ dulces verdes, $15$ dulces azules, o $n$ dulces morados. Un dulce morado cuesta $20$ centavos. ¿Cuál es el menor valor posible de $n$ ?

Each piece of candy in a shop costs a whole number of cents. Casper has exactly enough money to buy either $12$ pieces of red candy, $14$ pieces of green candy, $15$ pieces of blue candy, or $n$ pieces of purple candy. A piece of purple candy costs $20$ cents. What is the least possible value of $n?$

$18$

$21$

$24$

$25$

$28$

Conceptos:mínimo común múltiplo divisibilidad

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

El dinero total debe ser un múltiplo común de $12,14,15$ .

The total money must be a common multiple of $12,14,15$

Pista grande:

Luego divide entre el precio del dulce morado.

Then divide by the purple candy price

Solución:

Sea el número de centavos que tiene igual a $c.$ Entonces, $c$ es un múltiplo de $12,14,$ y $15.$ Por lo tanto, debe ser un múltiplo de $420.$

Sea $c=420k$ para algún $k.$ Además, $c=20n,$ así que $420k=20n,$ lo que da $n=21k.$ Como $k$ es un número entero, el menor valor posible de $n$ es $21.$

Así, la respuesta es B.

Let the number of cents he has $c.$ Then, $c$ is a multiple of $12,14,$ and $15.$ Thus, it must be a multiple of $420.$

Let $c=420k$ for some $k.$ Also, $c=20n,$ so $420k=20n,$ making $n=21k.$ Since $k$ is a whole number, the minimum possible value of $n$ is $21.$

Thus, the answer is B .

8.

La figura de abajo muestra un cuadrado y cuatro triángulos equiláteros; cada triángulo tiene un lado sobre un lado del cuadrado, cada triángulo tiene longitud de lado $2$ y los terceros vértices de los triángulos se encuentran en el centro del cuadrado. La región dentro del cuadrado pero fuera de los triángulos está sombreada. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

The figure below shows a square and four equilateral triangles, with each triangle having a side lying on a side of the square, such that each triangle has side length $2$ and the third vertices of the triangles meet at the center of the square. The region inside the square but outside the triangles is shaded. What is the area of the shaded region?

$4$

$12 - 4\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}$

$16 - 4\sqrt{3}$

Conceptos:descomposición de áreas triángulo equilátero triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Halla la altura de cada triángulo equilátero.

Find the altitude of each equilateral triangle

Pista grande:

Resta las áreas de los cuatro triángulos al área del cuadrado.

Subtract the four triangle areas from the square’s area

Solución:

Cada triángulo equilátero tiene longitud de lado $2$ , así que su altura es $\sqrt3$ . Como esa altura va desde un lado del cuadrado hasta su centro, el cuadrado tiene longitud de lado $2\sqrt3$ y área $12$ .

Cada uno de los cuatro triángulos equiláteros tiene área $\frac{\sqrt3}{4}(2^2)=\sqrt3$ . Por lo tanto, el área sombreada es $12-4\sqrt3.$

Así, la respuesta es B.

Each equilateral triangle has side length $2$ , so its altitude is $\sqrt3$ . Because that altitude runs from a side of the square to its center, the square has side length $2\sqrt3$ and area $12$ .

Each of the four equilateral triangles has area $\frac{\sqrt3}{4}(2^2)=\sqrt3$ . Therefore the shaded area is $12-4\sqrt3.$

Thus, the answer is B .

9.

La función $f$ está definida por $f(x) = \lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor|$ para todos los números reales $x,$ donde $\lfloor r \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que el número real $r.$ ¿Cuál es el rango de $f$ ?

The function $f$ is defined by $f(x) = \lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor|$ for all real numbers $x,$ where $\lfloor r \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to the real number $r.$ What is the range of $f?$

$\{-1, 0\}$

El conjunto de los enteros no positivos

The set of nonpositive integers

$\{-1, 0, 1\}$

$\{0\}$

El conjunto de los enteros no negativos

The set of nonnegative integers

Conceptos:funciones piso y techo valor absoluto análisis por casos

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Revisa por separado los números positivos, los enteros y los no enteros negativos.

Check positive numbers, integers, and negative non-integers separately

Pista grande:

Para los no enteros negativos, compara el redondeo antes y después de tomar el valor absoluto.

For negative non-integers, compare rounding before and after absolute value

Solución:

Si $x\ge0$ , entonces $\lfloor|x|\rfloor=\lfloor x\rfloor=|\lfloor x\rfloor|$ , así que $f(x)=0$ .

Si $x$ es un entero negativo, ambos términos son iguales a $|x|$ , por lo que también $f(x)=0$ .

Si $x$ es negativo y no entero, escribimos $x=-k-t$ , donde $k$ es un entero no negativo y $0<t<1$ . Entonces $\lfloor|x|\rfloor=k$ , mientras que $|\lfloor x\rfloor|=|-k-1|=k+1$ , de modo que $f(x)=-1$ .

Por tanto, el recorrido es $\{-1,0\}.$

Así, la respuesta es A.

If $x\ge0$ , then $\lfloor|x|\rfloor=\lfloor x\rfloor=|\lfloor x\rfloor|$ , so $f(x)=0$ .

If $x$ is a negative integer, both terms equal $|x|$ , so again $f(x)=0$ .

If $x$ is negative and not an integer, write $x=-k-t$ , where $k$ is a nonnegative integer and $0<t<1$ . Then $\lfloor|x|\rfloor=k$ , while $|\lfloor x\rfloor|=|-k-1|=k+1$ , so $f(x)=-1$ .

Therefore, the range is $\{-1,0\}.$

Thus, the answer is A .

10.

En un plano dado, los puntos $A$ y $B$ están a $10$ unidades de distancia. ¿Cuántos puntos $C$ hay en el plano tales que el perímetro del $\triangle ABC$ sea $50$ unidades y el área del $\triangle ABC$ sea $100$ unidades cuadradas?

In a given plane, points $A$ and $B$ are $10$ units apart. How many points $C$ are there in the plane such that the perimeter of $\triangle ABC$ is $50$ units and the area of $\triangle ABC$ is $100$ square units?

$0$

$2$

$4$

$8$

$\text{infinitas}$

$\text{infinitely many}$

Conceptos:área del triángulo desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

La condición del área fija la altura desde $C$ .

The area condition fixes the altitude from $C$

Pista grande:

Luego compara esa altura con las longitudes de los lados que impone el perímetro.

Then compare that altitude to the side lengths forced by the perimeter

Solución:

La condición del área fija la distancia de $C$ a la recta $AB.$ Si esa distancia es $h,$ entonces $\frac{10h}{2}=100,$ así que $h=20.$ Por tanto, $C$ debe estar en una recta paralela a $AB$ , a distancia $20.$

Como la distancia perpendicular de $C$ a la recta $AB$ es $20$ , tanto $AC$ como $BC$ son al menos $20$ . No pueden ser ambos iguales a $20$ , pues la perpendicular desde $C$ tendría que cortar la recta $AB$ en los dos puntos distintos $A$ y $B$ . Por tanto, $AC+BC>40$ , lo que contradice la condición de perímetro $AC+BC=40$ . Así, ningún punto $C$ funciona.

Por lo tanto, la respuesta es A.

The area condition fixes the distance from $C$ to line $AB.$ If that distance is $h,$ then $\frac{10h}{2}=100,$ so $h=20.$ Thus $C$ must lie on a line parallel to $AB$ at distance $20.$

Since the perpendicular distance from $C$ to line $AB$ is $20$ , both $AC$ and $BC$ are at least $20$ . They cannot both equal $20$ , because that would require the perpendicular from $C$ to meet line $AB$ at both distinct points $A$ and $B$ . Hence $AC+BC>40$ , contradicting the perimeter requirement $AC+BC=40$ . Therefore no point $C$ works.

Thus, the answer is A .

11.

Dos frascos contienen cada uno el mismo número de canicas, y cada canica es azul o verde. En el Frasco $1$ la razón de canicas azules a verdes es $9:1,$ y la razón de canicas azules a verdes en el Frasco $2$ es $8:1.$ Hay $95$ canicas verdes en total. ¿Cuántas canicas azules más hay en el Frasco $1$ que en el Frasco $2$ ?

Two jars each contain the same number of marbles, and every marble is either blue or green. In Jar $1$ the ratio of blue to green marbles is $9:1,$ and the ratio of blue to green marbles in Jar $2$ is $8:1.$ There are $95$ green marbles in all. How many more blue marbles are in Jar $1$ than in Jar $2?$

$5$

$10$

$25$

$45$

$50$

Conceptos:razón y proporción sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Sean $x$ y $y$ las cantidades de canicas verdes en los dos frascos.

Let the green counts in the two jars be $x$ and $y$

Pista grande:

Usa que los dos frascos tienen el mismo tamaño total y el número total de canicas verdes.

Use equal total jar sizes and total green marbles

Solución:

Sean $x$ y $y$ los números de canicas verdes en los Frascos $1$ y $2$ , respectivamente. Entonces los números totales de canicas en los frascos son $10x$ y $9y$ .

Los frascos contienen el mismo número de canicas, así que $10x=9y$ . Además $x+y=95$ . Al resolver se obtiene $x=45$ y $y=50$ .

El Frasco $1$ tiene $9x=405$ canicas azules, y el Frasco $2$ tiene $8y=400$ canicas azules. La diferencia es $5$ . Así, A es la respuesta correcta.

Let $x$ and $y$ be the numbers of green marbles in Jars $1$ and $2$ , respectively. Then the total numbers of marbles in the jars are $10x$ and $9y$ .

The jars contain the same number of marbles, so $10x=9y$ . Also $x+y=95$ . Solving gives $x=45$ and $y=50$ .

Jar $1$ has $9x=405$ blue marbles, and Jar $2$ has $8y=400$ blue marbles. The difference is $5$ . Thus, A is the correct answer.

12.

¿Cuál es la mayor suma posible de los dígitos en la representación en base siete de un entero positivo menor que $2019$ ?

What is the greatest possible sum of the digits in the base-seven representation of a positive integer less than $2019?$

$11$

$14$

$22$

$23$

$27$

Conceptos:base numérica dígitos optimización

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Escribe $2019$ en base $7$ .

Write $2019$ in base $7$

Pista grande:

Maximiza los dígitos sin alcanzar ni superar esa cota.

Maximize digits without reaching or exceeding that bound

Solución:

Primero, $2019=5613_7$ . Cualquier número cuyo primer dígito sea como máximo $4$ tiene suma de dígitos a lo sumo $4+6+6+6=22$ , y $4666_7<5613_7$ alcanza esa suma.

Si el primer dígito es $5$ , entonces un segundo dígito de a lo sumo $5$ da una suma de dígitos como máximo $5+5+6+6=22$ . Si los dos primeros dígitos son $56$ , la comparación con $5613_7$ obliga a que los dos últimos contribuyan como máximo $1+2$ , lo que da una suma aún menor. Por tanto, la mayor suma de dígitos es $22$ .

Así, la respuesta es C.

First, $2019=5613_7$ . Any number with leading digit at most $4$ has digit sum at most $4+6+6+6=22$ , and $4666_7<5613_7$ attains that sum.

If the leading digit is $5$ , then a second digit at most $5$ gives digit sum at most $5+5+6+6=22$ . If the first two digits are $56$ , comparison with $5613_7$ forces the last two digits to contribute at most $1+2$ , giving an even smaller sum. Therefore, the largest digit sum is $22$ .

Thus, the answer is C .

13.

¿Cuál es la suma de todos los números reales $x$ para los cuales la mediana de los números $4,$ $6,$ $8,$ $17,$ y $x$ es igual a la media de esos cinco números?

What is the sum of all real numbers $x$ for which the median of the numbers $4,$ $6,$ $8,$ $17,$ and $x$ is equal to the mean of those five numbers?

$-5$

$0$

$5$

$\dfrac{15}{4}$

$\dfrac{35}{4}$

Conceptos:media mediana (datos)análisis por casos

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Distingue los casos $x<6$ , $6\le x\le8$ , o $x>8$ .

Case on whether $x<6$ , $6\le x\le8$ , or $x>8$

Pista grande:

En cada caso la mediana tiene una expresión sencilla.

In each case the median has a simple expression

Solución:

La media es $7+\frac{x}{5}$ . Si $x<6$ , la mediana es $6$ , así que $7+\frac{x}{5}=6$ da el valor válido $x=-5$ .

Si $6\le x\le8$ , la mediana es $x$ , pero $7+\frac{x}{5}=x$ da $x=\frac{35}{4}$ , fuera de este intervalo. Si $x>8$ , la mediana es $8$ , pero $7+\frac{x}{5}=8$ da $x=5$ , de nuevo fuera del intervalo requerido.

Por tanto, el único valor posible de $x$ es $-5,$ y la suma es $-5.$

Así, la respuesta es A.

The mean is $7+\frac{x}{5}$ . If $x<6$ , the median is $6$ , so $7+\frac{x}{5}=6$ gives the valid value $x=-5$ .

If $6\le x\le8$ , the median is $x$ , but $7+\frac{x}{5}=x$ gives $x=\frac{35}{4}$ , outside this interval. If $x>8$ , the median is $8$ , but $7+\frac{x}{5}=8$ gives $x=5$ , again outside the required range.

Therefore, the only possible $x$ is $-5,$ making the sum $-5.$

Thus, the answer is A .

14.

La representación en base diez de $19!$ es $121,$ $6T5,$ $100,$ $40M,$ $832,$ $H00,$ donde $T,$ $M,$ y $H$ denotan dígitos que no se dan. ¿Cuánto vale $T+M+H$ ?

The base-ten representation for $19!$ is $121,$ $6T5,$ $100,$ $40M,$ $832,$ $H00,$ where $T,$ $M,$ and $H$ denote digits that are not given. What is $T+M+H?$

$3$

$8$

$12$

$14$

$17$

Conceptos:divisibilidad dígitos factorial

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Usa la divisibilidad entre $1000$ , $9$ y $11$ .

Use divisibility by $1000$ , $9$ , and $11$

Pista grande:

Los dígitos desconocidos están limitados por las pruebas de la suma de dígitos y de la suma alternada.

The unknown digits are constrained by the digit-sum and alternating-sum tests

Solución:

Como $19!$ es divisible entre $1000$ , sus últimas tres cifras son cero, así que $H=0$ .

Como $19!$ es divisible entre $9$ , su suma de dígitos $33+T+M$ es divisible entre $9$ . Por tanto, $T+M\equiv3\pmod9$ , así que $T+M$ es $3$ o $12$ .

La divisibilidad entre $11$ dice que la suma alternada $T-M-7$ es divisible entre $11$ , por lo que $T-M\equiv7\pmod{11}$ . Al revisar las posibilidades de dígitos en estas dos congruencias, obtenemos $T=4$ y $M=8$ . Así, $T+M+H=4+8+0=12$ .

Por lo tanto, la respuesta es C.

Because $19!$ is divisible by $1000$ , its last three digits are zero, so $H=0$ .

Since $19!$ is divisible by $9$ , its digit sum $33+T+M$ is divisible by $9$ . Hence $T+M\equiv3\pmod9$ , so $T+M$ is either $3$ or $12$ .

Divisibility by $11$ says the alternating digit sum $T-M-7$ is divisible by $11$ , so $T-M\equiv7\pmod{11}$ . Checking the digit possibilities from these two congruences gives $T=4$ and $M=8$ . Therefore $T+M+H=4+8+0=12$ .

Thus, the answer is C .

15.

Los triángulos rectángulos $T_1$ y $T_2$ tienen áreas $1$ y $2$ , respectivamente. Un lado de $T_1$ es congruente con un lado de $T_2,$ y un lado diferente de $T_1$ es congruente con un lado diferente de $T_2.$ ¿Cuál es el cuadrado del producto de las longitudes de los otros (terceros) lados de $T_1$ y $T_2$ ?

Right triangles $T_1$ and $T_2$ have areas $1$ and $2$ , respectively. A side of $T_1$ is congruent to a side of $T_2,$ and a different side of $T_1$ is congruent to a different side of $T_2.$ What is the square of the product of the lengths of the other (third) sides of $T_1$ and $T_2?$

$\dfrac{28}{3}$

$10$

$\dfrac{21}{2}$

$\dfrac{32}{3}$

$12$

Conceptos:triángulo rectángulo Teorema de Pitágoras sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Sean $a\le b$ las longitudes de los dos lados compartidos.

Let the two shared side lengths be $a\le b$

Pista grande:

Usa las dos ecuaciones de área para hallar $b^4-a^4$ .

Use the two area equations to find $b^4-a^4$

Solución:

Sean $a\le b$ las longitudes de los dos lados compartidos. Como los triángulos tienen áreas diferentes, los lados compartidos no pueden desempeñar los mismos papeles en ambos. Así, el triángulo de área $2$ tiene catetos $a$ y $b$ , mientras que el triángulo de área $1$ tiene un cateto $a$ , el otro cateto $\sqrt{b^2-a^2}$ , e hipotenusa $b$ .

El producto de los dos terceros lados no compartidos es $\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{b^2-a^2}$ , cuyo cuadrado es $b^4-a^4$ .

Usando las áreas, $\dfrac{ab}{2}=2$ y $\dfrac{a\sqrt{b^2-a^2}}{2}=1$ . Entonces $a^2b^2=16$ y $a^2(b^2-a^2)=4$ , así que $a^4=12$ . Luego $b^4=\dfrac{256}{12}=\dfrac{64}{3}$ , y $b^4-a^4=\dfrac{28}{3}$ . Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let the two shared side lengths be $a\le b$ . Because the triangles have different areas, the shared sides cannot play the same roles in both triangles. Thus the area- $2$ triangle has legs $a$ and $b$ , while the area- $1$ triangle has leg $a$ , other leg $\sqrt{b^2-a^2}$ , and hypotenuse $b$ .

The product of the two non-shared third sides is $\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{b^2-a^2}$ , whose square is $b^4-a^4$ .

Using the areas, $\dfrac{ab}{2}=2$ and $\dfrac{a\sqrt{b^2-a^2}}{2}=1$ . Hence $a^2b^2=16$ and $a^2(b^2-a^2)=4$ , so $a^4=12$ . Then $b^4=\dfrac{256}{12}=\dfrac{64}{3}$ , and $b^4-a^4=\dfrac{28}{3}$ . Thus, A is the correct answer.

16.

En el $\triangle ABC$ con ángulo recto en $C,$ el punto $D$ está en el interior de $\overline{AB}$ y el punto $E$ está en el interior de $\overline{BC}$ de modo que $AC=CD,$ $DE=EB,$ y la razón $AC:DE=4:3.$ ¿Cuál es la razón $AD:DB$ ?

In $\triangle ABC$ with a right angle at $C,$ point $D$ lies in the interior of $\overline{AB}$ and point $E$ lies in the interior of $\overline{BC}$ so that $AC=CD,$ $DE=EB,$ and the ratio $AC:DE=4:3.$ What is the ratio $AD:DB?$

$2:3$

$2:\sqrt{5}$

$1:1$

$3:\sqrt{5}$

$3:2$

Conceptos:persecución de ángulos triángulo isósceles trigonometría

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Escala de modo que $AC=CD=4$ y $DE=EB=3$ .

Scale so $AC=CD=4$ and $DE=EB=3$

Pista grande:

Usa los ángulos de los triángulos isósceles para mostrar que $\angle EDC=90^\circ$ .

Use isosceles angles to show $\angle EDC=90^\circ$

Solución:

Escalemos la figura para que $AC=CD=4$ y $DE=EB=3$ . Sea $A=\angle BAC$ y $B=\angle ABC$ , de modo que $A+B=90^\circ$ .

Los triángulos isósceles $ACD$ y $DEB$ dan $\angle CDA=A$ y $\angle EDB=B$ . Como $DA$ y $DB$ son rayos opuestos, $\angle CDE=180^\circ-A-B=90^\circ.$ Por tanto, $CE=\sqrt{4^2+3^2}=5$ , así que $BC=CE+EB=8$ y $\tan A=\frac{BC}{AC}=2$ .

Las bases de los dos triángulos isósceles miden $AD=8\cos A$ y $BD=6\cos B=6\sin A$ . Entonces $\frac{AD}{BD}=\frac{8\cos A}{6\sin A}=\frac{4}{3\tan A}=\frac23.$

Por lo tanto, la respuesta es A.

Scale the figure so that $AC=CD=4$ and $DE=EB=3$ . Let $A=\angle BAC$ and $B=\angle ABC$ , so $A+B=90^\circ$ .

The isosceles triangles $ACD$ and $DEB$ give $\angle CDA=A$ and $\angle EDB=B$ . Because $DA$ and $DB$ are opposite rays, $\angle CDE=180^\circ-A-B=90^\circ.$ Therefore $CE=\sqrt{4^2+3^2}=5$ , so $BC=CE+EB=8$ and $\tan A=\frac{BC}{AC}=2$ .

The bases of the two isosceles triangles have lengths $AD=8\cos A$ and $BD=6\cos B=6\sin A$ . Hence $\frac{AD}{BD}=\frac{8\cos A}{6\sin A}=\frac{4}{3\tan A}=\frac23.$

Thus, the answer is A .

17.

Una bola roja y una bola verde se lanzan de forma aleatoria e independiente a contenedores numerados con los enteros positivos, de modo que para cada bola la probabilidad de que caiga en el contenedor $k$ es $2^{-k}$ para $k = 1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ ¿Cuál es la probabilidad de que la bola roja caiga en un contenedor de número mayor que el de la bola verde?

A red ball and a green ball are randomly and independently tossed into bins numbered with the positive integers so that for each ball, the probability that it is tossed into bin $k$ is $2^{-k}$ for $k = 1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ What is the probability that the red ball is tossed into a higher-numbered bin than the green ball?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{2}{7}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{3}{7}$

Conceptos:distribución geométrica probabilidad complementaria simetría

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Primero calcula la probabilidad de que ambas bolas caigan en el mismo contenedor.

First compute the probability that both balls land in the same bin

Pista grande:

Si caen en contenedores distintos, la simetría decide qué color queda más alto.

If they land in different bins, symmetry decides which color is higher

Solución:

Dado que las dos bolas cayeron en contenedores distintos, la probabilidad de que la bola en el contenedor de número mayor sea la roja es $\frac 12.$ Así que debemos hallar $\frac{P(\text{Bolas en contenedores distintos})}2$ $= \frac{1-P(\text{Bolas en el mismo contenedor})}2$ por conteo complementario.

La probabilidad de que ambas bolas estén en el contenedor $k$ es $2^{-k} \cdot 2^{-k} = 4^{-k}.$

Por lo tanto, la probabilidad de que ambas estén en el mismo contenedor es $\sum_{k=1}^\infty 4^{-k}.$ Usando la fórmula de la suma geométrica, obtenemos que esto es $\frac 14 \cdot \dfrac{1}{1-\frac 14} = \frac 13.$

Por lo tanto, nuestra respuesta es $\frac{1-\frac 13}2 = \frac 13 .$

Así, la respuesta es C.

Given that the two balls were tossed into separate bins, the probability that the ball in the higher-numbered bin is red is $\frac 12.$ Thus we must find $\frac{P(\text{Balls in different bins})}2$ $= \frac{1-P(\text{Balls in same bins})}2$ by complementary counting.

The probability that both balls are in bin $k$ is $2^{-k} \cdot 2^{-k} = 4^{-k}.$

The probability that they are both in the same bin is therefore $\sum_{k=1}^\infty 4^{-k}.$ Using the geometric sequence formula, we get this to be $\frac 14 \cdot \dfrac{1}{1-\frac 14} = \frac 13.$

Therefore, our answer is $\frac{1-\frac 13}2 = \frac 13 .$

Thus, the answer is C .

18.

Henry decide una mañana hacer ejercicio, y camina $\tfrac{3}{4}$ del trayecto desde su casa hasta su gimnasio. El gimnasio está a $2$ kilómetros de la casa de Henry. En ese punto, cambia de opinión y camina $\tfrac{3}{4}$ del trayecto desde donde está de vuelta hacia casa. Cuando llega a ese punto, cambia de opinión otra vez y camina $\tfrac{3}{4}$ de la distancia desde ahí de vuelta hacia el gimnasio. Si Henry sigue cambiando de opinión cada vez que ha caminado $\tfrac{3}{4}$ de la distancia hacia el gimnasio o hacia casa desde el punto donde cambió de opinión por última vez, se acercará mucho a caminar de ida y vuelta entre un punto a $A$ kilómetros de casa y un punto a $B$ kilómetros de casa. ¿Cuánto vale $|A-B|$ ?

Henry decides one morning to do a workout, and he walks $\tfrac{3}{4}$ of the way from his home to his gym. The gym is $2$ kilometers away from Henry’s home. At that point, he changes his mind and walks $\tfrac{3}{4}$ of the way from where he is back toward home. When he reaches that point, he changes his mind again and walks $\tfrac{3}{4}$ of the distance from there back toward the gym. If Henry keeps changing his mind when he has walked $\tfrac{3}{4}$ of the distance toward either the gym or home from the point where he last changed his mind, he will get very close to walking back and forth between a point $A$ kilometers from home and a point $B$ kilometers from home. What is $|A-B|?$

$\frac{2}{3}$

$1$

$1 \frac{1}{5}$

$1 \frac{1}{4}$

$1 \frac{1}{2}$

Conceptos:recursión ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Estudia la transformación de dos pasos que va de un punto de retorno de vuelta a la misma dirección.

Study the two-step map from one turnaround point back to the same direction

Pista grande:

En el punto límite, aplicar esa transformación de dos pasos no cambia nada.

At the limiting point, applying that two-step map changes nothing

Solución:

Supón que un punto límite de regreso hacia casa está a $x$ kilómetros de casa. Después de que Henry camina hacia el gimnasio, su posición es $2-\frac{2-x}{4}=\frac32+\frac{x}{4}.$

Cuando se da la vuelta hacia casa, le queda una cuarta parte de esa distancia, así que su siguiente punto de regreso hacia casa es $\frac14\left(\frac32+\frac{x}{4}\right)=\frac38+\frac{x}{16}.$

En el punto límite, aplicar esta transformación de dos pasos no cambia la posición, así que $x=\frac38+\frac{x}{16},$ lo que da $x=\frac25$ .

El otro punto límite es la posición alcanzada después de caminar hacia el gimnasio: $2-\frac{2-\frac25}{4}=\frac85.$ Por lo tanto $|A-B|=\frac85-\frac25=\frac65=1\frac15.$

Así, la respuesta correcta es C.

Suppose a limiting homeward turnaround point is $x$ kilometers from home. After Henry walks toward the gym, his position is $2-\frac{2-x}{4}=\frac32+\frac{x}{4}.$

After he turns back toward home, one quarter of that distance remains, so his next homeward turnaround point is $\frac14\left(\frac32+\frac{x}{4}\right)=\frac38+\frac{x}{16}.$

At the limiting point this two-step map leaves the position unchanged, so $x=\frac38+\frac{x}{16},$ which gives $x=\frac25$ .

The other limiting point is the position reached after walking toward the gym: $2-\frac{2-\frac25}{4}=\frac85.$ Therefore $|A-B|=\frac85-\frac25=\frac65=1\frac15.$

Thus, the correct answer is C .

19.

Sea $S$ el conjunto de todos los divisores enteros positivos de $100{,}000.$ ¿Cuántos números son el producto de dos elementos distintos de $S$ ?

Let $S$ be the set of all positive integer divisors of $100{,}000.$ How many numbers are the product of two distinct elements of $S?$

$98$

$100$

$117$

$119$

$121$

Conceptos:factorización en primos conteo de factores

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Representa los divisores como $2^a5^b$ .

Represent divisors as $2^a5^b$

Pista grande:

Los productos corresponden a sumas de exponentes, salvo cuando solo factores iguales pueden generarlos.

Products correspond to sums of exponents, except when only equal factors can create them

Solución:

Primero, nota que $100,000=2^5\cdot5^5.$

Por lo tanto, cualquier elemento de $S$ debe tener la forma $2^a5^b$ con $0 \leq a,b \leq 5.$

Supón que tengo elementos distintos $x,y \in S$ con $x = 2^a5^b,$ $y=2^c5^d.$ Entonces, $xy = 2^{a+c}5^{b+d}.$ Así, $0 \leq a+c,b+d \leq 10.$ Esto significa que hay $(10+1)(10+1)=121$ pares de exponentes posibles para un producto. Sin embargo, algunos productos solo pueden surgir cuando $x=y$ , es decir, cuando $(a,b)=(c,d)$ .

Si $a+c=0,$ entonces debe cumplirse $a=0,c=0$ .

Si $a+c=10,$ entonces debe cumplirse $a=5,c=5$ .

Con cualquier otro valor de $a+c,$ podemos tener $a \neq c.$

Una estructura similar vale para $b+d.$ Así, si $a+c,b+d \in \{0,10\},$ entonces $(a,b)=(c,d),$ lo que hace que $x=y.$

Esto significa que debemos eliminar $4$ opciones, quedando $121-4=117.$

Así, la respuesta es C.

First, note that $100,000=2^5\cdot5^5.$

Therefore, any element of $S$ must be of the form $2^a5^b$ with $0 \leq a,b \leq 5.$

Suppose I have distinct $x,y \in S$ with $x = 2^a5^b,$ $y=2^c5^d.$ Then, $xy = 2^{a+c}5^{b+d}.$ Thus, $0 \leq a+c,b+d \leq 10.$ This means that there are $(10+1)(10+1)=121$ possible exponent pairs for a product. However, some products can arise only when $x=y$ , namely when $(a,b)=(c,d)$ .

If $a+c=0,$ then $a=0,c=0$ must be true.

If $a+c=10,$ then $a=5,c=5$ must be true.

With any other value of $a+c,$ we can have $a \neq c.$

Similar structure holds for $b+d.$ Thus, if $a+c,b+d \in \{0,10\},$ then $(a,b)=(c,d),$ thus making $x=y.$

This means we have to eliminate $4$ choices, leaving $121-4=117.$

Thus, the answer is C .

20.

Como se muestra en la figura, el segmento $\overline{AD}$ está dividido en tres partes iguales por los puntos $B$ y $C$ de modo que $AB=BC=CD=2.$ Tres semicírculos de radio $1,$ $\widehat{AEB},$ $\widehat{BFC},$ y $\widehat{CGD},$ tienen sus diámetros sobre $\overline{AD}$ , están en el mismo semiplano determinado por la recta $AD$ , y son tangentes a la recta $EG$ en $E,$ $F,$ y $G,$ respectivamente. Un círculo de radio $2$ tiene su centro en $F.$ El área de la región dentro del círculo pero fuera de los tres semicírculos, sombreada en la figura, puede expresarse en la forma $\frac{a}{b}\cdot\pi-\sqrt{c}+d,$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros positivos y $a$ y $b$ son primos entre sí. ¿Cuánto vale $a+b+c+d$ ?

As shown in the figure, line segment $\overline{AD}$ is trisected by points $B$ and $C$ so that $AB=BC=CD=2.$ Three semicircles of radius $1,$ $\widehat{AEB},$ $\widehat{BFC},$ and $\widehat{CGD},$ have their diameters on $\overline{AD}$ , lie in the same halfplane determined by line $AD$ , and are tangent to line $EG$ at $E,$ $F,$ and $G,$ respectively. A circle of radius $2$ has its center at $F.$ The area of the region inside the circle but outside the three semicircles, shaded in the figure, can be expressed in the form $\frac{a}{b}\cdot\pi-\sqrt{c}+d,$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers and $a$ and $b$ are relatively prime. What is $a+b+c+d?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Conceptos:sector circular descomposición de áreas circunferencias tangentes

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Descompón el área sombreada en sectores circulares y piezas simples sobrantes.

Break the shaded area into circular sectors and simple leftover pieces

Pista grande:

Calcula el sector central recortado por el círculo de radio $2$ .

Compute the central sector cut out by the radius- $2$ circle

Solución:

La recta $EG$ pasa por el centro $F$ del círculo de radio $2$ , así que el semicírculo superior sombreado tiene área $2\pi$ .

La cuerda $XZ$ está sobre $AD$ , a una unidad de $F$ . Por tanto, $\angle XFZ=2\arccos\left(\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}.$ El segmento circular sombreado debajo de $AD$ tiene área $\begin{aligned} &\frac12(2^2)\left(\frac{2\pi}{3}\right)\\ &\quad-\frac12(2)(2)\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\\ &=\frac{4\pi}{3}-\sqrt3. \end{aligned}$

La porción entre $EG$ y $AD$ consta de cuatro piezas congruentes de la forma siguiente.

Cada pieza es un cuadrado unitario al que se le quita un cuarto de círculo unitario, así que las cuatro piezas tienen área total $4\left(1-\frac\pi4\right)=4-\pi.$

El área sombreada total es $\begin{aligned} &2\pi+\left(\frac{4\pi}{3}-\sqrt3\right)\\ &\quad+(4-\pi)\\ &=\frac{7\pi}{3}-\sqrt3+4. \end{aligned}$ Por tanto, $a=7$ , $b=3$ , $c=3$ y $d=4$ , lo que da $a+b+c+d=17$ .

Así, la respuesta es E.

Line $EG$ passes through the center $F$ of the radius- $2$ circle, so the shaded upper semicircle has area $2\pi$ .

The chord $XZ$ lies on $AD$ , one unit from $F$ . Thus $\angle XFZ=2\arccos\left(\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}.$ The shaded circular segment below $AD$ has area $\begin{aligned} &\frac12(2^2)\left(\frac{2\pi}{3}\right)\\ &\quad-\frac12(2)(2)\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\\ &=\frac{4\pi}{3}-\sqrt3. \end{aligned}$

The portion between $EG$ and $AD$ consists of four congruent pieces of the following form.

Each piece is a unit square with a quarter of a unit circle removed, so the four pieces have total area $4\left(1-\frac\pi4\right)=4-\pi.$

The total shaded area is therefore $\begin{aligned} &2\pi+\left(\frac{4\pi}{3}-\sqrt3\right)\\ &\quad+(4-\pi)\\ &=\frac{7\pi}{3}-\sqrt3+4. \end{aligned}$ Hence $a=7$ , $b=3$ , $c=3$ , and $d=4$ , giving $a+b+c+d=17$ .

Thus, the answer is E .

21.

Debra lanza repetidamente una moneda justa, llevando la cuenta de cuántas caras y cuántas cruces ha visto en total, hasta que obtiene o bien dos caras seguidas o bien dos cruces seguidas, momento en el que deja de lanzar. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga dos caras seguidas pero vea una segunda cruz antes de ver una segunda cara?

Debra flips a fair coin repeatedly, keeping track of how many heads and how many tails she has seen in total, until she gets either two heads in a row or two tails in a row, at which point she stops flipping. What is the probability that she gets two heads in a row but she sees a second tail before she sees a second head?

$\dfrac{1}{36}$

$\dfrac{1}{24}$

$\dfrac{1}{18}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{6}$

Conceptos:probabilidad básica sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

La secuencia debe alternar hasta el último par de resultados iguales.

The sequence must alternate until the final matching pair

Pista grande:

Suma las probabilidades de las posibles longitudes impares.

Sum the probabilities of the possible odd lengths

Solución:

Antes del lanzamiento repetido final, la sucesión debe alternar. Si comienza con $H$ , la segunda cara aparece necesariamente antes que la segunda cruz, así que una sucesión exitosa debe comenzar con $T$ . Para ver una segunda cruz antes de terminar en $HH$ , debe comenzar con $THT$ .

Por tanto, las sucesiones exitosas son $THTHH,THTHTHH,\ldots$ : exactamente una sucesión de cada longitud impar de al menos $5$ . Su probabilidad total es $\begin{gathered} \frac1{2^5}+\frac1{2^7}+\cdots\\ =\frac1{32}\cdot\frac1{1-\frac14}\\ =\frac1{24}. \end{gathered}$

Así, la respuesta es B.

Before the final repeated flip, the sequence must alternate. If it starts with $H$ , the second head necessarily occurs before the second tail, so a successful sequence must start with $T$ . To see a second tail before ending with $HH$ , it must begin $THT$ .

Thus the successful sequences are $THTHH,THTHTHH,\ldots$ : exactly one sequence of each odd length at least $5$ . Their total probability is $\begin{gathered} \frac1{2^5}+\frac1{2^7}+\cdots\\ =\frac1{32}\cdot\frac1{1-\frac14}\\ =\frac1{24}. \end{gathered}$

Thus, the answer is B .

22.

Raashan, Sylvia y Ted juegan al siguiente juego. Cada uno comienza con $\$1.$ Suena una campana cada $15$ segundos, momento en el que cada jugador que actualmente tiene dinero elige de forma independiente y al azar a uno de los otros dos jugadores y le da $\$1$ a ese jugador. ¿Cuál es la probabilidad de que, después de que la campana haya sonado $2019$ veces, cada jugador tenga $\$1$ ?

(Por ejemplo, Raashan y Ted pueden decidir cada uno dar $\$1$ a Sylvia, y Sylvia puede decidir dar su dólar a Ted; en ese momento Raashan tendrá $\$0,$ Sylvia tendrá $\$2,$ y Ted tendrá $\$1,$ y ese es el final de la primera ronda de juego. En la segunda ronda Raashan no tiene dinero para dar, pero Sylvia y Ted podrían elegirse mutuamente para darse su $\$1$ , y las cantidades serán las mismas al final de la segunda ronda.)

Raashan, Sylvia, and Ted play the following game. Each starts with $\$1.$ A bell rings every $15$ seconds, at which time each of the players who currently has money simultaneously chooses one of the other two players independently and at random and gives $\$1$ to that player. What is the probability that after the bell has rung $2019$ times, each player will have $\$1?$

(For example, Raashan and Ted may each decide to give $\$1$ to Sylvia, and Sylvia may decide to give her dollar to Ted, at which point Raashan will have $\$0,$ Sylvia will have $\$2,$ and Ted will have $\$1,$ and that is the end of the first round of play. In the second round Raashan has no money to give, but Sylvia and Ted might choose each other to give their $\$1$ to, and the holdings will be the same at the end of the second round.)

$\dfrac{1}{7}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:probabilidad recursiva simetría

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Solo hay dos configuraciones de dinero salvo el orden.

There are only two money configurations up to order

Pista grande:

Desde cualquiera de las configuraciones, calcula la probabilidad de que el siguiente estado sea $(1,1,1)$ .

From either configuration, compute the chance the next state is $(1,1,1)$

Solución:

Las únicas configuraciones alcanzables, salvo el orden, son $(1,1,1)$ y $(2,1,0)$ . Un jugador no puede terminar una ronda con los $3$ dólares: quien comienza con dinero debe dar un dólar a otra persona, y nadie puede darse dinero a sí mismo. Desde $(1,1,1)$ , el siguiente estado vuelve a ser $(1,1,1)$ exactamente cuando los tres pasan sus dólares en la misma dirección cíclica, lo que tiene probabilidad $2\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac14$ .

Desde $(2,1,0)$ , llamemos $A=2,B=1,C=0$ a las cantidades de los jugadores. El siguiente estado es $(1,1,1)$ exactamente cuando $A$ le da a $B$ y $B$ le da a $C$ , una de las cuatro parejas de elecciones igualmente probables. Esto también tiene probabilidad $\dfrac14$ .

Por tanto, sin importar el estado después de $2018$ campanadas, la probabilidad de que el estado después de la siguiente sea $(1,1,1)$ es $\dfrac14$ . Así, B es la respuesta correcta.

The only reachable money configurations up to order are $(1,1,1)$ and $(2,1,0)$ . A player cannot finish a round with all $3$ dollars: anyone who begins with money must give a dollar to someone else, and no one can give to themselves. From $(1,1,1)$ , the next state is again $(1,1,1)$ exactly when all three players pass dollars in the same cyclic direction, which has probability $2\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac14$ .

From $(2,1,0)$ , label the players’ holdings $A=2,B=1,C=0$ . The next state is $(1,1,1)$ exactly when $A$ gives to $B$ and $B$ gives to $C$ , one of the four equally likely pairs of choices. This also has probability $\dfrac14$ .

Therefore, regardless of the state after $2018$ rings, the probability that the state after the next ring is $(1,1,1)$ is $\dfrac14$ . Thus, B is the correct answer.

23.

Los puntos $A=(6,13)$ y $B=(12,11)$ están sobre el círculo $\omega$ en el plano. Supón que las rectas tangentes a $\omega$ en $A$ y $B$ se cortan en un punto del eje $x$ . ¿Cuál es el área de $\omega$ ?

Points $A=(6,13)$ and $B=(12,11)$ lie on a circle $\omega$ in the plane. Suppose that the tangent lines to $\omega$ at $A$ and $B$ intersect at a point on the $x$ -axis. What is the area of $\omega?$

$\dfrac{83\pi}{8}$

$\dfrac{21\pi}{2}$

$\dfrac{85\pi}{8}$

$\dfrac{43\pi}{4}$

$\dfrac{87\pi}{8}$

Conceptos:geometría analítica recta tangente mediatriz

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

La intersección de las tangentes está en la mediatriz de $AB$ .

The tangent intersection lies on the perpendicular bisector of $AB$

Pista grande:

El radio hasta un punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.

The radius to a tangent point is perpendicular to the tangent line

Solución:

Sea $P$ el punto de intersección de las dos tangentes. Como las longitudes de las tangentes desde un mismo punto son iguales, $PA=PB$ , así que $P$ está en la mediatriz de $\overline{AB}$ .

El punto medio de $A(6,13)$ y $B(12,11)$ es $(9,12)$ , y la pendiente de $AB$ es $-\dfrac13$ , así que la mediatriz es $y=3x-15$ . Su intersección con el eje $x$ es $P=(5,0)$ .

La recta tangente que pasa por $P$ y $A$ tiene pendiente $13$ , así que el radio hasta $A$ tiene pendiente $-\dfrac1{13}$ . Al intersecar $y-13=-\dfrac1{13}(x-6)$ con $y=3x-15$ se obtiene el centro $\left(\dfrac{37}{4},\dfrac{51}{4}\right)$ .

Por lo tanto $r^2=\left(\dfrac{37}{4}-6\right)^2$ $+\left(\dfrac{51}{4}-13\right)^2$ $=\dfrac{85}{8}$ , así que el área es $\dfrac{85\pi}{8}$ . Así, C es la respuesta correcta.

Let $P$ be the intersection point of the two tangents. Since tangent lengths from the same point are equal, $PA=PB$ , so $P$ lies on the perpendicular bisector of $\overline{AB}$ .

The midpoint of $A(6,13)$ and $B(12,11)$ is $(9,12)$ , and the slope of $AB$ is $-\dfrac13$ , so the perpendicular bisector is $y=3x-15$ . Its intersection with the $x$ -axis is $P=(5,0)$ .

The tangent line through $P$ and $A$ has slope $13$ , so the radius to $A$ has slope $-\dfrac1{13}$ . Intersecting $y-13=-\dfrac1{13}(x-6)$ with $y=3x-15$ gives center $\left(\dfrac{37}{4},\dfrac{51}{4}\right)$ .

Thus $r^2=\left(\dfrac{37}{4}-6\right)^2$ $+\left(\dfrac{51}{4}-13\right)^2$ $=\dfrac{85}{8}$ , so the area is $\dfrac{85\pi}{8}$ . Thus, C is the correct answer.

24.

Define una sucesión de forma recursiva por $x_0=5$ y $x_{n+1}=\frac{x_n^2+5x_n+4}{x_n+6}$ para todos los enteros no negativos $n.$ Sea $m$ el menor entero positivo tal que $x_m\leq 4+\frac{1}{2^{20}}.$ ¿En cuál de los siguientes intervalos está $m$ ?

Define a sequence recursively by $x_0=5$ and $x_{n+1}=\frac{x_n^2+5x_n+4}{x_n+6}$ for all nonnegative integers $n.$ Let $m$ be the least positive integer such that $x_m\leq 4+\frac{1}{2^{20}}.$ In which of the following intervals does $m$ lie?

$[9,26]$

$[27,80]$

$[81,242]$

$[243,728]$

$[729,\infty)$

Conceptos:recursión desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Desplaza la sucesión escribiendo $a_n=x_n-4$ .

Shift the sequence by writing $a_n=x_n-4$

Pista grande:

Acota la razón $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ entre $\frac{9}{10}$ y $\frac{10}{11}$ .

Bound the ratio $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ between $\frac{9}{10}$ and $\frac{10}{11}$

Solución:

Sea $a_n=x_n-4$ . Entonces $a_0=1$ , y al simplificar la recurrencia se obtiene $a_{n+1}=\frac{a_n(a_n+9)}{a_n+10}.$ Mientras $0<a_n\le1$ , esto implica $\frac9{10}a_n\le a_{n+1}\le\frac{10}{11}a_n.$

Por inducción, $\left(\dfrac9{10}\right)^n\le a_n\le\left(\dfrac{10}{11}\right)^n$ . Para $n=80$ , $\left(\dfrac{10}{9}\right)^{80}<2^{20}$ , así que $\left(\dfrac9{10}\right)^{80}>2^{-20}$ , y por lo tanto $m>80$ .

Además, $\left(\dfrac{11}{10}\right)^8>2$ , así que $\left(\dfrac{10}{11}\right)^{160}<2^{-20}$ , lo que da $m\le160$ . Por lo tanto $81\le m\le160$ , así que $m$ está en $[81,242]$ . Así, C es la respuesta correcta.

Let $a_n=x_n-4$ . Then $a_0=1$ , and simplifying the recurrence gives $a_{n+1}=\frac{a_n(a_n+9)}{a_n+10}.$ As long as $0<a_n\le1$ , this implies $\frac9{10}a_n\le a_{n+1}\le\frac{10}{11}a_n.$

By induction, $\left(\dfrac9{10}\right)^n\le a_n\le\left(\dfrac{10}{11}\right)^n$ . For $n=80$ , $\left(\dfrac{10}{9}\right)^{80}<2^{20}$ , so $\left(\dfrac9{10}\right)^{80}>2^{-20}$ , and therefore $m>80$ .

Also $\left(\dfrac{11}{10}\right)^8>2$ , so $\left(\dfrac{10}{11}\right)^{160}<2^{-20}$ , which gives $m\le160$ . Hence $81\le m\le160$ , so $m$ lies in $[81,242]$ . Thus, C is the correct answer.

25.

¿Cuántas secuencias de $0$ y $1$ de longitud $19$ hay que empiecen con un $0,$ terminen con un $0,$ no contengan dos $0$ consecutivos, y no contengan tres $1$ consecutivos?

How many sequences of $0$ s and $1$ s of length $19$ are there that begin with a $0,$ end with a $0,$ contain no two consecutive $0$ s, and contain no three consecutive $1$ s?

$55$

$60$

$65$

$70$

$75$

Conceptos:arreglos con restricciones particiones y composiciones combinaciones

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Después del $0$ inicial, la cadena está formada por bloques $10$ y $110$ .

After the initial $0$ , the string is made of blocks $10$ and $110$

Pista grande:

Resuelve $2y+3x=18$ y cuenta los ordenamientos de los bloques.

Solve $2y+3x=18$ and count block orderings

Solución:

Nuestra sucesión comienza con un $0$ y luego contiene bloques $110$ y $10$ en algún orden, cada uno después de un $0.$

Sea $x$ el número de bloques $110$ y sea $y$ el número de bloques $10$ . Entonces el número de términos es $3x+2y+1=19,$ de donde $3x+2y=18.$ Los pares ordenados posibles son $\begin{aligned} (x,y)&=(6,0),(4,3),\\ &\quad(2,6),(0,9). \end{aligned}$ El número de maneras de ordenar los $x+y$ bloques es $\binom{x+y}x,$ pues elegimos cuáles $x$ de las $x+y$ posiciones contienen un bloque $110$ .

Por tanto, el número total de maneras es $\binom 66 + \binom 74 + \binom 82 + \binom 90$ $=1+35+28+1$ $=65.$

Así, la respuesta es C.

Our sequence starts with a $0$ then has sequences of $110$ and $10$ in some order, where they each come after a $0.$

Let the number of $110$ be $x$ and let the number of $10$ be $y.$ Then the number of terms in the sequence is $3x+2y+1=19,$ making $3x+2y=18.$ The possible ordered pairs are $\begin{aligned} (x,y)&=(6,0),(4,3),\\ &\quad(2,6),(0,9). \end{aligned}$ Then, the number of ways to order the $x+y$ blocks is $\binom{x+y}x,$ since we choose which $x$ of the $x+y$ positions hold a $110$ block.

Therefore, the total number of ways is $\binom 66 + \binom 74 + \binom 82 + \binom 90$ $=1+35+28+1$ $=65.$

Thus, the answer is C .