Question

Sea $\triangle ABC$ un triángulo escaleno. El punto $P$ está sobre $\overline{BC}$ de modo que $\overline{AP}$ biseca $\angle BAC.$ La recta que pasa por $B$ perpendicular a $\overline{AP}$ corta a la recta que pasa por $A$ paralela a $\overline{BC}$ en el punto $D.$ Supón que $BP = 2$ y $PC = 3.$ ¿Cuánto vale $AD$ ?

Let $\triangle ABC$ be a scalene triangle. Point $P$ lies on $\overline{BC}$ so that $\overline{AP}$ bisects $\angle BAC.$ The line through $B$ perpendicular to $\overline{AP}$ intersects the line through $A$ parallel to $\overline{BC}$ at point $D.$ Suppose $BP = 2$ and $PC = 3.$ What is $AD?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Solución:

Considera el siguiente diagrama:

Por el teorema de la bisectriz del ángulo, podemos etiquetar $AB$ como $2x$ y $AC$ como $3x.$

También obtenemos que $\triangle ABY$ es isósceles, ya que $AP \perp BY.$ Por lo tanto, $AY = AB = 2x.$

Como $AD$ y $BC$ son paralelas, sabemos que $\triangle BYC \sim \triangle DYA.$

$YC = AC - AY = 3x - 2x = x,$ así que $AY = 2YC.$

Usando triángulos semejantes, obtenemos que $AD = 2BC = 10.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Consider the following diagram:

By the Angle Bisector Theorem, we can label $AB$ as $2x$ and $AC$ as $3x.$

We also get that $\triangle ABY$ is isosceles since $AP \perp BY.$ Therefore, $AY = AB = 2x.$

Since $AD$ and $BC$ are parallel, we know that $\triangle BYC \sim \triangle DYA.$

$YC = AC - AY = 3x - 2x = x,$ so $AY = 2YC.$

Using similar triangles, we get that $AD = 2BC = 10.$

Thus, C is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años