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2022 AMC 10A Problema 13

Intenta el Problema 13 del 2022 AMC 10A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2022 AMC 10A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

Sea △ABC\triangle ABC un triángulo escaleno. El punto PP está sobre BC‾\overline{BC} de modo que AP‾\overline{AP} biseca ∠BAC.\angle BAC. La recta que pasa por BB perpendicular a AP‾\overline{AP} corta a la recta que pasa por AA paralela a BC‾\overline{BC} en el punto D.D. Supón que BP=2BP = 2 y PC=3.PC = 3. ¿Cuánto vale ADAD?
Let △ABC\triangle ABC be a scalene triangle. Point PP lies on BC‾\overline{BC} so that AP‾\overline{AP} bisects ∠BAC.\angle BAC. The line through BB perpendicular to AP‾\overline{AP} intersects the line through AA parallel to BC‾\overline{BC} at point D.D. Suppose BP=2BP = 2 and PC=3.PC = 3. What is AD?AD?
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Respuesta: C
Conceptos:teorema de la bisectrizsemejanzatriángulo isósceles
Nivel de dificultad: 1540
Pista pequeña:
Usa el teorema de la bisectriz en el triángulo ABC.
Use the angle bisector theorem on triangle ABC
Pista grande:
La recta perpendicular crea un triángulo isósceles antes de la semejanza final.
The perpendicular line creates an isosceles triangle before the final similarity
Solución:
Consideremos el siguiente diagrama:
Sea YY la intersección de BD‾\overline{BD} y AC‾.\overline{AC}. Por el teorema de la bisectriz, AB:AC=BP:PC=2:3,AB:AC=BP:PC=2:3, así que escribimos AB=2xAB=2x y AC=3x.AC=3x.
La reflexión respecto de la bisectriz AP‾\overline{AP} envía el rayo ABAB al rayo AC.AC. Como BY⊥AP,BY\perp AP, envía BB a Y.Y. Por tanto, AY=AB=2x,AY=AB=2x, y entonces YC=AC−AY=x.YC=AC-AY=x.
Como AD∥BC,AD\parallel BC, con B,Y,DB,Y,D colineales y A,Y,CA,Y,C colineales, tenemos △BYC∼△DYA.\triangle BYC\sim\triangle DYA. Entonces ADBC=AYYC=2.\frac{AD}{BC}=\frac{AY}{YC}=2.
Finalmente, BC=BP+PC=5,BC=BP+PC=5, así que AD=2BC=10.AD=2BC=10.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
Consider the following diagram:
Let YY be the intersection of BD‾\overline{BD} and AC‾.\overline{AC}. By the Angle Bisector Theorem, AB:AC=BP:PC=2:3,AB:AC=BP:PC=2:3, so write AB=2xAB=2x and AC=3x.AC=3x.
Reflection across the angle bisector AP‾\overline{AP} sends ray ABAB to ray AC.AC. Because BY⊥AP,BY\perp AP, it sends BB to Y.Y. Thus AY=AB=2x,AY=AB=2x, and hence YC=AC−AY=x.YC=AC-AY=x.
Since AD∥BC,AD\parallel BC, with B,Y,DB,Y,D collinear and A,Y,CA,Y,C collinear, we have △BYC∼△DYA.\triangle BYC\sim\triangle DYA. Therefore ADBC=AYYC=2.\frac{AD}{BC}=\frac{AY}{YC}=2.
Finally, BC=BP+PC=5,BC=BP+PC=5, so AD=2BC=10.AD=2BC=10.
Thus, C is the correct answer.
Problema 12#12
Examen completo
Problema 14#14

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