Question

En Halloween, $31$ niños entraron a la oficina del director pidiendo dulces. Se pueden clasificar en tres tipos: algunos siempre mienten; algunos siempre dicen la verdad; y algunos mienten y dicen la verdad de forma alternada. Los alternadores eligen arbitrariamente su primera respuesta, ya sea mentira o verdad, pero cada afirmación posterior tiene el valor de verdad opuesto al de la anterior. El director hizo a todos las mismas tres preguntas en este orden.

«¿Eres un veraz?» El director dio un dulce a cada uno de los $22$ niños que respondieron que sí.

«¿Eres un alternador?» El director dio un dulce a cada uno de los $15$ niños que respondieron que sí.

«¿Eres un mentiroso?» El director dio un dulce a cada uno de los $9$ niños que respondieron que sí.

¿Cuántos dulces en total dio el director a los niños que siempre dicen la verdad?

On Halloween $31$ children walked into the principal's office asking for candy. They can be classified into three types: Some always lie; some always tell the truth; and some alternately lie and tell the truth. The alternaters arbitrarily choose their first response, either a lie or the truth, but each subsequent statement has the opposite truth value from its predecessor. The principal asked everyone the same three questions in this order.

"Are you a truth-teller?" The principal gave a piece of candy to each of the $22$ children who answered yes.

"Are you an alternater?" The principal gave a piece of candy to each of the $15$ children who answered yes.

"Are you a liar?" The principal gave a piece of candy to each of the $9$ children who answered yes.

How many pieces of candy in all did the principal give to the children who always tell the truth?

$7$

$12$

$21$

$27$

$31$

Solución:

Para la primera pregunta, los veraces responderán que sí, los mentirosos responderán que sí, y los alternadores que decidieron mentir primero dirán que sí. Los alternadores que deciden decir la verdad primero dirán que no. Denotamos esto como $22 = t + l + a_l.$

Para la segunda pregunta, los mentirosos responderán que sí, y los alternadores que decidieron mentir primero dirán que sí (están obligados a decir la verdad en esta pregunta). Los veraces responderán que no, y los alternadores que dijeron la verdad primero mentirían en esta ronda, respondiendo que no. Denotamos esto como $15 = l + a_l.$

De esto obtenemos que $t = 7.$ El director solo da dulces a los niños que siempre dicen la verdad en la primera ronda, por lo que les da únicamente $7$ dulces en total.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

For the first question, the truth-tellers will respond yes, the liars will respond yes, and the alternaters who decided to lie first will say yes. The alternaters who decide to tell the truth first will say no. Denote this as $22 = t + l + a_l.$

For the second questions, the liars will respond yes, and the alternaters who decided to lie first will say yes (they are forced to tell the truth for this question). The truth-tellers will respond no, and the alternaters who told the truth first would lie this round, responding no. Denote this as $15 = l + a_l.$

From this, we get that $t = 7.$ The principal only gives candy to children who always tell the truth in the first round, therefore only giving them $7$ candies total.

Thus, A is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años