Question

Dos conos circulares rectos con los vértices hacia abajo, como se muestra en la figura de abajo, contienen la misma cantidad de líquido. Los radios de las superficies superiores del líquido son $3$ cm y $6$ cm. En cada cono se deja caer una canica esférica de radio $1$ cm, que se hunde hasta el fondo y queda completamente sumergida sin que se derrame líquido. ¿Cuál es la razón entre la subida del nivel del líquido en el cono estrecho y la subida del nivel del líquido en el cono ancho?

Two right circular cones with vertices facing down as shown in the figure below contain the same amount of liquid. The radii of the tops of the liquid surfaces are $3$ cm and $6$ cm. Into each cone is dropped a spherical marble of radius $1$ cm, which sinks to the bottom and is completely submerged without spilling any liquid. What is the ratio of the rise of the liquid level in the narrow cone to the rise of the liquid level in the wide cone?

$1:1$

$47:43$

$2:1$

$40:13$

$4:1$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sean $h_1$ y $h_2$ las alturas iniciales del líquido en el cono estrecho y en el ancho. Como los volúmenes de líquido son iguales,

$\frac13\pi(3)^2h_1=\frac13\pi(6)^2h_2,$

entonces $h_1=4h_2$ .

Después de dejar caer las canicas idénticas, cada cono debe contener el mismo volumen final por debajo de la superficie del líquido: el volumen original de líquido más el volumen de una canica. Si los nuevos radios de la superficie del líquido son $3x$ y $6y$ , la semejanza da nuevas alturas $h_1x$ y $h_2y$ . Así,

$\frac13\pi(3x)^2h_1x=\frac13\pi(6y)^2h_2y.$

Usando $h_1=4h_2$ , esto se simplifica a $x^3=y^3$ , de modo que $x=y$ . Por lo tanto, la razón de subida es

$\begin{aligned} h_1(x-1):h_2(y-1) &= h_1:h_2 \\ &= 4:1. \end{aligned}$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let the initial liquid heights in the narrow and wide cones be $h_1$ and $h_2$ . Since the liquid volumes are equal,

$\frac13\pi(3)^2h_1=\frac13\pi(6)^2h_2,$

so $h_1=4h_2$ .

After the identical marbles are dropped in, each cone must contain the same final volume below the liquid surface: the original liquid volume plus the volume of one marble. If the new liquid-surface radii are $3x$ and $6y$ , similarity gives new heights $h_1x$ and $h_2y$ . Thus

$\frac13\pi(3x)^2h_1x=\frac13\pi(6y)^2h_2y.$

Using $h_1=4h_2$ , this simplifies to $x^3=y^3$ , so $x=y$ . The rise ratio is therefore

$\begin{aligned} h_1(x-1):h_2(y-1) &= h_1:h_2 \\ &= 4:1. \end{aligned}$

Thus, E is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 12

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 12 en otros años