Question

Sea $N = 34 \cdot 34 \cdot 63 \cdot 270$ . ¿Cuál es la razón entre la suma de los divisores impares de $N$ y la suma de los divisores pares de $N$ ?

Let $N = 34 \cdot 34 \cdot 63 \cdot 270.$ What is the ratio of the sum of the odd divisors of $N$ to the sum of the even divisors of $N?$

$1 : 16$

$1 : 15$

$1 : 14$

$1 : 8$

$1 : 3$

Solución:

Factorizando en primos, obtenemos $N =2^3\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.$

Si $x$ es un divisor impar de $N$ , entonces $2x,4x,8x$ son divisores pares de $N$ , cuya suma combinada es $14x$ . Si tomamos la suma de todos los divisores impares, la suma de los divisores pares es $14$ veces la suma de los impares. Por lo tanto, la razón pedida es $1:14$ .

Por lo tanto, la respuesta es C.

Using prime factorization, we get $N =2^3\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.$

If we have an odd divisor $x$ of $N,$ then $2x,4x,8x$ are divisors of $N,$ which has a combined sum of $14x.$ If we take the sum of every odd divisor, then the even divisors must have a sum which is $14$ times the sum of the odd divisors. Therefore, the requested ratio is $1:14$ .

Thus, the answer is C .

2021 AMC 10B Spring Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años