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Soluciones del 2021 AMC 10B Spring

Desplázate hacia abajo para ver las soluciones profesionales en video y soluciones escritas de LIVE by Po-Shen Loh, imprime las soluciones en PDF, consulta la clave de respuestas, o haz el examen cronometrado completo.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

¿Cuántos valores enteros de xx satisfacen ∣x∣<3π|x| < 3\pi?

How many integer values of xx satisfy ∣x∣<3π?|x| < 3\pi?

9 9

10 10

18 18

19 19

20 20

Conceptos:valor absolutoconteo de enteros en un rango
Nivel de dificultad: 560
Solución:

Todo entero desde −9-9 hasta 9,9, funciona. Esto da un total de 9−(−9)+1=199-(-9)+1 = 19 soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Every integer from −9-9 to 9,9, inclusive, works. This yields 9−(−9)+1=199-(-9)+1 = 19 solutions.

Thus, the correct answer is D .

2.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? (3−23)2+(3+23)2? \begin{aligned} &\sqrt{\left(3-2\sqrt{3}\right)^2} \\ &{}+\sqrt{\left(3+2\sqrt{3}\right)^2}? \end{aligned}

What is the value of (3−23)2+(3+23)2? \begin{aligned} &\sqrt{\left(3-2\sqrt{3}\right)^2} \\ &{}+\sqrt{\left(3+2\sqrt{3}\right)^2}? \end{aligned}

0 0

43−6 4\sqrt{3}-6

6 6

43 4\sqrt{3}

43+6 4\sqrt{3}+6

Conceptos:radicalvalor absoluto
Nivel de dificultad: 770
Solución:

Como u2=∣u∣,\sqrt{u^2}=|u|, la expresión es igual a ∣3−23∣+∣3+23∣.|3-2\sqrt3|+|3+2\sqrt3|. Puesto que 23>3,2\sqrt3>3, esto se convierte en (23−3)+(3+23)=43.(2\sqrt3-3)+(3+2\sqrt3)=4\sqrt3.

Así, la respuesta correcta es D.

Because u2=∣u∣,\sqrt{u^2}=|u|, the expression equals ∣3−23∣+∣3+23∣.|3-2\sqrt3|+|3+2\sqrt3|. Since 23>3,2\sqrt3>3, this becomes (23−3)+(3+23)=43.(2\sqrt3-3)+(3+2\sqrt3)=4\sqrt3.

Thus, the correct answer is D .

3.

En un programa extraescolar para estudiantes de penúltimo y último año, hay un equipo de debate con igual número de estudiantes de cada uno de esos años. Entre los 2828 estudiantes del programa, el 25%25\% de los de penúltimo año y el 10%10\% de los de último año están en el equipo de debate. ¿Cuántos estudiantes de penúltimo año hay en el programa?

In an after-school program for juniors and seniors, there is a debate team with an equal number of students from each class on the team. Among the 2828 students in the program, 25%25\% of the juniors and 10%10\% of the seniors are on the debate team. How many juniors are in the program?

5 5

6 6

8 8

11 11

20 20

Conceptos:porcentajesistema de ecuaciones
Nivel de dificultad: 870
Solución en video:
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Solución escrita:

Sea jj el número de estudiantes de penúltimo año y s.s. el de último año. Entonces j+s=28j+s = 28 y 0.25j=0.1s.0.25j = 0.1s. Esto significa que 2.5j=s,2.5j = s, así que 3.5j=28.3.5j = 28. Por lo tanto j=8.j=8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the number of juniors be jj and the number of seniors be s.s. Then, j+s=28j+s = 28 and 0.25j=0.1s.0.25j = 0.1s. This means 2.5j=s,2.5j = s, so 3.5j=28.3.5j = 28. This makes j=8.j=8.

Thus, the correct answer is C .

4.

En una competencia de matemáticas, 5757 estudiantes visten camiseta azul y otros 7575 estudiantes visten camiseta amarilla. Estos 132132 estudiantes se agrupan en 6666 parejas. En exactamente 2323 de esas parejas, ambos estudiantes visten camiseta azul. ¿En cuántas parejas ambos estudiantes visten camiseta amarilla?

At a math contest, 5757 students are wearing blue shirts, and another 7575 students are wearing yellow shirts. The 132132 students are assigned into 6666 pairs. In exactly 2323 of these pairs, both students are wearing blue shirts. In how many pairs are both students wearing yellow shirts?

23 23

32 32

37 37

41 41

64 64

Conceptos:conteo de pares
Nivel de dificultad: 960
Solución en video:
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Solución escrita:

Las parejas azul-azul usan 2⋅23=462\cdot 23 = 46 estudiantes de camiseta azul. Por lo tanto quedan 57−46=1157-46=11 estudiantes de camiseta azul en parejas mixtas, es decir, exactamente 1111 estudiantes de camiseta amarilla están en parejas mixtas.

Esto deja solo 6464 estudiantes de camiseta amarilla emparejados con otro estudiante de camiseta amarilla, así que el número de parejas amarillo-amarillo es 642=32\dfrac{64}2 = 32 .

Por lo tanto, la respuesta es B.

There are 2⋅23=462\cdot 23 = 46 students with blue shirts that are in a pair with just blue shirts. This means there are 57−46=1157-46=11 students in blue shirts who are paired with someone wearing a yellow shirt, meaning exactly 1111 people wearing yellow shirts are paired with someone wearing a blue shirt.

This leaves just 6464 students wearing a yellow shirt who are paired with someone else wearing a yellow shirt. This yields 642=32\dfrac{64}2 = 32 pairs.

Thus, the answer is B .

5.

Las edades de los cuatro primos de Jonie son enteros positivos de un solo dígito, todos distintos. Las edades de dos de los primos multiplicadas dan 24,24, mientras que las de los otros dos multiplicadas dan 30.30. ¿Cuál es la suma de las edades de los cuatro primos de Jonie?

The ages of Jonie's four cousins are distinct single-digit positive integers. Two of the cousins' ages multiplied together give 24,24, while the other two multiply to 30.30. What is the sum of the ages of Jonie's four cousins?

21 21

22 22

23 23

24 24

25 25

Conceptos:factoredades
Nivel de dificultad: 900
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Solución escrita:

El único par de enteros positivos de una cifra cuyo producto es 3030 es 5,6.5,6. Los pares de factores de una cifra de 2424 son 3,83,8 y 4,6.4,6. Como las cuatro edades son distintas, el par 4,64,6 repetiría la edad 6,6, así que el otro par debe ser 3,8.3,8. Por tanto, las edades son 3,5,6,8,3,5,6,8, cuya suma es 22.22.

Así, la respuesta es B.

The only pair of single-digit positive integers with product 3030 is 5,6.5,6. The single-digit factor pairs of 2424 are 3,83,8 and 4,6.4,6. Because all four ages are distinct, the pair 4,64,6 would repeat the age 6,6, so the other pair must be 3,8.3,8. Thus the ages are 3,5,6,8,3,5,6,8, whose sum is 22.22.

Thus, the answer is B .

6.

La profesora Blackwell aplica un examen a dos clases. La media de las calificaciones de los estudiantes de la clase de la mañana es 84,84, y la media de la clase de la tarde es 70.70. La razón entre el número de estudiantes de la clase de la mañana y el de la clase de la tarde es 34.\frac{3}{4}. ¿Cuál es la media de las calificaciones de todos los estudiantes?

Ms. Blackwell gives an exam to two classes. The mean of the scores of the students in the morning class is 84,84, and the afternoon class's mean score is 70.70. The ratio of the number of students in the morning class to the number of students in the afternoon class is 34.\frac{3}{4}. What is the mean of the scores of all the students?

74 74

75 75

76 76

77 77

78 78

Conceptos:mediarazón y proporción
Nivel de dificultad: 900
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Solución escrita:

Sea 3x.3x. el número de estudiantes de la primera clase. Entonces la segunda clase tiene 4x.4x. estudiantes.

La suma de las calificaciones de la primera clase es 84⋅3x=252x84\cdot 3x = 252x, y la de la segunda clase es 70⋅4x=280x.70\cdot 4x = 280x. Por lo tanto, la suma total es 532x,532x, con 7x7x estudiantes.

Así, el promedio de todos los estudiantes es 532x7x=76. \dfrac{532x}{7x} = 76.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the number of people in the first class be 3x.3x. This means the number of people in the second class is 4x.4x.

Thus, the sum of the scores of the first class is 84⋅3x=252x84\cdot 3x = 252x and the sum of the scores for the people in the second class is 70⋅4x=280x.70\cdot 4x = 280x. This means the total sum is 532x,532x, with 7x7x people.

Therefore, the average of all the students is 532x7x=76. \dfrac{532x}{7x} = 76.

Thus, the correct answer is C .

7.

En un plano, cuatro círculos de radios 1,3,5,1,3,5, y 77 son tangentes a la recta ℓ\ell en el mismo punto A,A, pero pueden estar a cualquiera de los dos lados de ℓ.\ell. La región SS consiste en todos los puntos que están dentro de exactamente uno de los cuatro círculos. ¿Cuál es el área máxima posible de la región SS?

In a plane, four circles with radii 1,3,5,1,3,5, and 77 are tangent to line ℓ\ell at the same point A,A, but they may be on either side of ℓ.\ell. Region SS consists of all the points that lie inside exactly one of the four circles. What is the maximum possible area of region S?S?

24π 24\pi

32π 32\pi

64π 64\pi

65π 65\pi

84π 84\pi

Conceptos:circunferencias tangentesárea del círculooptimización
Nivel de dificultad: 1240
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Solución escrita:

Del mismo lado de ℓ,\ell, todos los círculos tangentes en AA están anidados. Para círculos anidados de radios r1>r2>⋯ ,r_1>r_2>\cdots, los puntos dentro de exactamente uno de esos círculos tienen área π(r12−r22)\pi(r_1^2-r_2^2) si hay al menos dos círculos; un tercer círculo anidado más pequeño no cuenta porque sus puntos están dentro de tres círculos, no de exactamente uno.

Para maximizar el área, coloca el círculo de radio 77 solo en un lado y los círculos de radios 5,3,15,3,1 en el otro lado. Esto da

72π+(52−32)π=49π+16π=65π. \begin{aligned} &7^2\pi+(5^2-3^2)\pi \\ &=49\pi+16\pi=65\pi. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta es D.

On one side of ℓ,\ell, circles tangent at AA are nested. For nested circles with radii r1>r2>⋯ ,r_1>r_2>\cdots, the points inside exactly one of those circles have area π(r12−r22)\pi(r_1^2-r_2^2) if there are at least two circles; a third smaller nested circle does not count because its points are inside three circles, not exactly one.

To maximize the area, put the circle of radius 77 alone on one side, and put the circles of radii 5,3,15,3,1 on the other side. This gives

72π+(52−32)π=49π+16π=65π. \begin{aligned} &7^2\pi+(5^2-3^2)\pi \\ &=49\pi+16\pi=65\pi. \end{aligned}

Thus, the answer is D .

8.

El señor Zhou coloca todos los enteros desde 11 hasta 225225 en una cuadrícula de 1515 por 1515. Coloca el 11 en el cuadrado central (octava fila y octava columna) y coloca los demás números uno por uno en sentido horario, como se muestra parcialmente en el diagrama de abajo. ¿Cuál es la suma del mayor número y el menor número que aparecen en la segunda fila desde arriba?

Mr. Zhou places all the integers from 11 to 225225 into a 1515 by 1515 grid. He places 11 in the middle square (eighth row and eighth column) and places other numbers one by one clockwise, as shown in part in the diagram below. What is the sum of the greatest number and the least number that appear in the second row from the top?

367 367

368 368

369 369

379 379

380 380

Conceptos:reconocimiento de patronescuadrado perfecto
Nivel de dificultad: 1420
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Solución escrita:

En el anillo exterior de 15×1515\times15, la fila superior contiene 211,212,…,225,211,212,\ldots,225, por lo que el número justo debajo de 211211 en la segunda fila es 210.210. Este es el mayor número de la segunda fila.

La espiral interior de 13×1313\times13 tiene 132=16913^2=169 en su esquina superior derecha. En la segunda fila de toda la cuadrícula, las entradas del anillo interior van de 157157 a 169.169. Así, la menor entrada de esa fila es 157.157.

La suma pedida es 210+157=367.210+157=367.

Por lo tanto, la respuesta es A.

In the outer 15×1515\times15 ring, the top row contains 211,212,…,225,211,212,\ldots,225, so the number just below 211211 in the second row is 210.210. This is the greatest number in the second row.

The inner 13×1313\times13 spiral has 132=16913^2=169 in its upper-right corner. In the second row of the full grid, the inner-ring entries run from 157157 to 169.169. Thus the least entry in that row is 157.157.

The required sum is 210+157=367.210+157=367.

Thus, the answer is A .

9.

El punto P(a,b)P(a,b) en el plano xyxy primero se rota 90∘90^\circ en sentido antihorario alrededor del punto (1,5)(1,5) y luego se refleja respecto a la recta y=−x.y = -x. La imagen de PP después de estas dos transformaciones está en (−6,3).(-6,3). ¿Cuánto vale b−ab - a?

The point P(a,b)P(a,b) in the xyxy-plane is first rotated counterclockwise by 90∘90^\circ around the point (1,5)(1,5) and then reflected about the line y=−x.y = -x. The image of PP after these two transformations is at (−6,3).(-6,3). What is b−a?b - a ?

1 1

3 3

5 5

7 7

9 9

Conceptos:transformacióngeometría analíticatrabajar hacia atrás
Nivel de dificultad: 1220
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Solución escrita:

Trabaja hacia atrás. Reflejar (−6,3)(-6,3) respecto a y=−xy=-x da (−3,6).(-3,6).

Ahora deshaz la rotación de 90∘90^\circ antihoraria rotando (−3,6)(-3,6) en sentido horario alrededor de (1,5).(1,5). Respecto a (1,5),(1,5), el punto es (−4,1).(-4,1). Un cuarto de vuelta en sentido horario lo lleva a (1,4),(1,4), y al trasladar de vuelta se obtiene (2,9).(2,9).

Por lo tanto a=2,a=2, b=9,b=9, y b−a=7.b-a=7.

Por lo tanto, la respuesta es D.

Work backward. Reflecting (−6,3)(-6,3) across y=−xy=-x gives (−3,6).(-3,6).

Now undo the 90∘90^\circ counterclockwise rotation by rotating (−3,6)(-3,6) clockwise about (1,5).(1,5). Relative to (1,5),(1,5), the point is (−4,1).(-4,1). A clockwise quarter-turn sends this to (1,4),(1,4), and translating back gives (2,9).(2,9).

Thus a=2,a=2, b=9,b=9, and b−a=7.b-a=7.

Thus, the answer is D .

10.

Un cono invertido con radio de la base de 12cm12 \mathrm{ cm} y altura de 18cm18 \mathrm{ cm} está lleno de agua. El agua se vierte en un cilindro alto cuya base horizontal tiene radio de 24cm.24 \mathrm{ cm}. ¿Cuál es la altura, en centímetros, del agua en el cilindro?

An inverted cone with base radius 12cm12 \mathrm{ cm} and height 18cm18 \mathrm{ cm} is full of water. The water is poured into a tall cylinder whose horizontal base has a radius of 24cm.24 \mathrm{ cm}. What is the height in centimeters of the water in the cylinder?

1.5 1.5

3 3

4 4

4.5 4.5

6 6

Conceptos:volumenconocilindro
Nivel de dificultad: 1020
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Solución escrita:

Los volúmenes deben ser iguales porque el agua se vierte de uno a otro. El volumen del cono es r2hπ3=122⋅18π3=864π.\frac{r^2h \pi}3 = \frac{12^2\cdot 18 \pi}3 = 864 \pi.

El volumen del cilindro es r2hπ=242hπ=576hπ.r^2h \pi =24^2h \pi = 576h \pi. Entonces 576hπ=864π,576 h \pi = 864 \pi, así que h=1.5.h = 1.5.

Por lo tanto, la respuesta es A.

The volumes must be the same since the water is poured from one to another. The volume of the cone is r2hπ3=122⋅18π3=864π.\frac{r^2h \pi}3 = \frac{12^2\cdot 18 \pi}3 = 864 \pi.

The volume of the cylinder is r2hπ=242hπ=576hπ.r^2h \pi =24^2h \pi = 576h \pi. This makes 576hπ=864π,576 h \pi = 864 \pi, so h=1.5.h = 1.5.

Thus, the answer is A .

11.

La abuela acaba de terminar de hornear una gran bandeja rectangular de brownies. Piensa cortarla en piezas rectangulares del mismo tamaño y forma, con cortes rectos paralelos a los lados de la bandeja. Cada corte debe atravesar por completo la bandeja. La abuela quiere hacer el mismo número de piezas interiores que de piezas a lo largo del perímetro de la bandeja. ¿Cuál es el mayor número posible de brownies que puede producir?

Grandma has just finished baking a large rectangular pan of brownies. She is planning to make rectangular pieces of equal size and shape, with straight cuts parallel to the sides of the pan. Each cut must be made entirely across the pan. Grandma wants to make the same number of interior pieces as pieces along the perimeter of the pan. What is the greatest possible number of brownies she can produce?

24 24

30 30

48 48

60 60

64 64

Conceptos:Truco de factorización favorito de Simonoptimización
Nivel de dificultad: 1420
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Solución escrita:

Supón que los cortes forman una cuadrícula de piezas l×wl\times w. El número de piezas interiores es (l−2)(w−2),(l-2)(w-2), y el número total de piezas es lw.lw. Como el número de piezas interiores es igual al de piezas del perímetro, las piezas interiores son la mitad del total:

(l−2)(w−2)=lw2.(l-2)(w-2)=\frac{lw}{2}.

Desarrollando se obtiene lw−4l−4w+8=0,lw-4l-4w+8=0, o bien

(l−4)(w−4)=8.(l-4)(w-4)=8.

Los pares de factores positivos de 88 dan (l,w)=(5,12)(l,w)=(5,12) o (6,8),(6,8), salvo el orden. Estos producen 6060 o 4848 piezas, respectivamente, así que el mayor número posible es 60.60.

Por lo tanto, la respuesta es D.

Suppose the cuts make an l×wl\times w grid of pieces. The number of interior pieces is (l−2)(w−2),(l-2)(w-2), and the total number of pieces is lw.lw. Since the number of interior pieces equals the number of perimeter pieces, the interior pieces make up half the total:

(l−2)(w−2)=lw2.(l-2)(w-2)=\frac{lw}{2}.

Multiplying out gives lw−4l−4w+8=0,lw-4l-4w+8=0, or

(l−4)(w−4)=8.(l-4)(w-4)=8.

The positive factor pairs of 88 give (l,w)=(5,12)(l,w)=(5,12) or (6,8),(6,8), up to order. These produce 6060 or 4848 pieces, respectively, so the greatest possible number is 60.60.

Thus, the answer is D .

12.

Sea N=34⋅34⋅63⋅270.N = 34 \cdot 34 \cdot 63 \cdot 270. ¿Cuál es la razón entre la suma de los divisores impares de NN y la suma de los divisores pares de NN?

Let N=34⋅34⋅63⋅270.N = 34 \cdot 34 \cdot 63 \cdot 270. What is the ratio of the sum of the odd divisors of NN to the sum of the even divisors of N?N?

1:16 1 : 16

1:15 1 : 15

1:14 1 : 14

1:8 1 : 8

1:3 1 : 3

Conceptos:suma de factoresfactorización en primosparidad
Nivel de dificultad: 1140
Solución:

Factorizando en primos, obtenemos N=23⋅35⋅5⋅7⋅172.N =2^3\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.

Si xx es un divisor impar de N,N, entonces 2x,4x,8x2x,4x,8x son divisores pares de N,N, cuya suma combinada es 14x.14x. Si tomamos la suma de todos los divisores impares, la suma de los divisores pares es 1414 veces la suma de los impares. Por lo tanto, la razón pedida es 1:14.1:14.

Por lo tanto, la respuesta es C.

Using prime factorization, we get N=23⋅35⋅5⋅7⋅172.N =2^3\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.

If we have an odd divisor xx of N,N, then 2x,4x,8x2x,4x,8x are divisors of N,N, which has a combined sum of 14x.14x. If we take the sum of every odd divisor, then the even divisors must have a sum which is 1414 times the sum of the odd divisors. Therefore, the requested ratio is 1:14.1:14.

Thus, the answer is C .

13.

Sea nn un entero positivo y dd un dígito tales que el valor del numeral 32d‾\underline{32d} en base nn es igual a 263,263, y el valor del numeral 324‾\underline{324} en base nn es igual al valor del numeral 11d1‾\underline{11d1} en base seis. ¿Cuánto vale n+dn + d?

Let nn be a positive integer and dd be a digit such that the value of the numeral 32d‾\underline{32d} in base nn equals 263,263, and the value of the numeral 324‾\underline{324} in base nn equals the value of the numeral 11d1‾\underline{11d1} in base six. What is n+d?n + d ?

10 10

11 11

13 13

15 15

16 16

Conceptos:base numéricasistema de ecuaciones
Nivel de dificultad: 1280
Solución en video:
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Solución escrita:

La primera afirmación significa que 3n2+2n+d=263.3n^2 + 2n+d = 263.

De manera similar, la segunda afirmación significa que 3n2+2n+43n^2 +2n +4 =63+62+6d+1= 6^3 +6^2 +6d+1 =253+6d.= 253 + 6d.

Restando estas ecuaciones obtenemos Por lo tanto 3n2+2n+2=263,3n^2 + 2n + 2 = 263, así que n(3n+2)=261.n(3n+2) = 261. 4−d=6d−104-d = 6d-10 7d=147d = 14 d=2.d=2.

Esto implica n=9.n=9. Por lo tanto n+d=11.n+d = 11.

Por lo tanto, la respuesta es B.

The first statement means 3n2+2n+d=263.3n^2 + 2n+d = 263.

Similarly, the second statement means 3n2+2n+43n^2 +2n +4 =63+62+6d+1= 6^3 +6^2 +6d+1 =253+6d.= 253 + 6d.

Subtracting these shows us that 4−d=6d−104-d = 6d-10 7d=147d = 14 d=2.d=2. Therefore, 3n2+2n+2=263,3n^2 + 2n + 2 = 263, so n(3n+2)=261.n(3n+2) = 261.

This implies n=9.n=9. Therefore, n+d=11.n+d = 11.

Thus, the answer is B .

14.

Tres rectas paralelas equidistantes cortan un círculo, formando tres cuerdas de longitudes 38,38,38,38, y 34.34. ¿Cuál es la distancia entre dos rectas paralelas adyacentes?

Three equally spaced parallel lines intersect a circle, creating three chords of lengths 38,38,38,38, and 34.34. What is the distance between two adjacent parallel lines?

512 5\frac12

6 6

612 6\frac12

7 7

712 7\frac12

Conceptos:cuerdacírculoTeorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 1540
Solución en video:
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Solución escrita:

Las dos cuerdas de longitud 3838 están a la misma distancia del centro. No pueden estar sobre las dos rectas exteriores: entonces el centro estaría sobre la recta intermedia, cuya cuerda sería un diámetro mayor que 38,38, no la cuerda dada de 34.34. Por tanto, las cuerdas iguales están sobre rectas adyacentes, con el centro a mitad de camino. Sea d.d. esa semidistancia. Cada cuerda de 3838 está a distancia dd del centro, y la cuerda de 3434 está a distancia 3d3d.

Si el círculo tiene radio r,r, entonces

r2=192+d2=172+(3d)2.r^2=19^2+d^2=17^2+(3d)^2.

Así, 192−172=8d2,19^2-17^2=8d^2, por lo que 72=8d2,72=8d^2, y d=3.d=3. La distancia entre rectas paralelas adyacentes es 2d=6.2d=6.

Por lo tanto, la respuesta es B.

The two chords of length 3838 are equally far from the center of the circle. They cannot lie on the two outer lines: then the center would lie on the middle line, whose chord would be a diameter longer than 38,38, not the given 34.34. Therefore, the equal chords lie on adjacent lines, with the center halfway between them. Let that half-distance be d.d. Then each 3838-chord is distance dd from the center, and the 3434-chord is distance 3d3d from the center.

If the circle has radius r,r, then

r2=192+d2=172+(3d)2.r^2=19^2+d^2=17^2+(3d)^2.

Thus 192−172=8d2,19^2-17^2=8d^2, so 72=8d2,72=8d^2, and d=3.d=3. The distance between adjacent parallel lines is 2d=6.2d=6.

Thus, the answer is B .

15.

El número real xx satisface la ecuación ¿Cuál es el valor de x11−7x7+x3x^{11}-7x^{7}+x^3? x+1x=5.x+\frac{1}{x} = \sqrt{5}.

The real number xx satisfies the equation x+1x=5.x+\frac{1}{x} = \sqrt{5}. What is the value of x11−7x7+x3?x^{11}-7x^{7}+x^3?

−1 -1

0 0

1 1

2 2

5 \sqrt{5}

Conceptos:manipulación algebraicasimetría (álgebra)
Nivel de dificultad: 1340
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Solución escrita:

Como x+1x=5,x+\frac{1}{x} = \sqrt{5}, al elevar al cuadrado obtenemos Al elevar al cuadrado de nuevo: es decir Multiplicando por x7x^7, obtenemos x2+2+1x2=5x^2 + 2 + \frac 1{x^2} = 5 x2+1x2=3.x^2 + \frac 1{x^2} = 3. x4+2+1x4=9x^4 + 2 + \frac 1{x^4} = 9 x4−7+1x4=0.x^4 -7 + \frac 1{x^4} = 0. x11−7x7+x3=0.x^{11}-7x^{7}+x^3=0.

Por lo tanto, la respuesta es B.

Since x+1x=5,x+\frac{1}{x} = \sqrt{5}, squaring yields x2+2+1x2=5x^2 + 2 + \frac 1{x^2} = 5 x2+1x2=3.x^2 + \frac 1{x^2} = 3. Squaring again yields x4+2+1x4=9x^4 + 2 + \frac 1{x^4} = 9 x4−7+1x4=0.x^4 -7 + \frac 1{x^4} = 0. Multiplying by x7x^7 yields x11−7x7+x3=0.x^{11}-7x^{7}+x^3=0.

Thus, the answer is B .

16.

Llama a un entero positivo entero cuesta arriba si cada dígito es estrictamente mayor que el anterior. Por ejemplo, 1357,89,1357, 89, y 55 son todos enteros cuesta arriba, pero 32,1240,32, 1240, y 466466 no lo son. ¿Cuántos enteros cuesta arriba son divisibles por 1515?

Call a positive integer an uphill integer if every digit is strictly greater than the previous digit. For example, 1357,89,1357, 89, and 55 are all uphill integers, but 32,1240,32, 1240, and 466466 are not. How many uphill integers are divisible by 15?15?

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Conceptos:subconjuntosdivisibilidad
Nivel de dificultad: 1480
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Solución escrita:

Si un número es divisible por 15,15, su dígito de las unidades es 00 o 5.5. Si el dígito de las unidades es 00 y los dígitos son estrictamente crecientes, entonces el número es 0,0, que no es positivo. Por lo tanto, solo hay que considerar los números con dígito de las unidades 5.5.

A continuación, buscamos enteros cuesta arriba que sean múltiplos de 3.3. Esto significa que los demás dígitos forman un subconjunto de {1,2,3,4}.\{1,2,3,4\}. La suma del conjunto debe tener residuo 11 al dividir por 3.3. Además, incluir o quitar el 33 no afecta el residuo, así que podemos contar los subconjuntos sin el 33 y multiplicar por 2.2. Solo hay 33 subconjuntos así, a saber {1},{4},\{1\}, \{4\}, y {1,2,4}.\{1,2,4\}. Por lo tanto, hay 66 subconjuntos en total.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If a number is divisible by 15,15, it has a units digit of 00 or 5.5. If the units digit is 00 and the digits are strictly increasing, then the number is 0,0, which isn't positive. Therefore, we can just look at numbers with a units digit of 5.5.

Next, we need to find uphill integers that are a multiple of 3.3. This means the other digits are a subset of {1,2,3,4}.\{1,2,3,4\}. Taking the sum of the set must have a remainder of 11 when divided by 3.3. Also, having or taking out 33 wouldn't affect the remainder, so we can take the number of subsets without a 33 and multiply it by 2.2. There are only 33 such subsets, namely {1},{4},\{1\}, \{4\}, and {1,2,4}.\{1,2,4\}. Thus, there are 66 total subsets.

Thus, the correct answer is C .

17.

Ravon, Oscar, Aditi, Tyrone y Kim juegan a un juego de cartas. A cada persona se le dan 22 cartas de un conjunto de 1010 cartas numeradas 1,2,3,…,10.1,2,3, \dots,10. La puntuación de un jugador es la suma de los números de sus cartas. Las puntuaciones de los jugadores son: Ravon--11,11, Oscar--4,4, Aditi--7,7, Tyrone--16,16, Kim--17.17. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Ravon, Oscar, Aditi, Tyrone, and Kim play a card game. Each person is given 22 cards out of a set of 1010 cards numbered 1,2,3,…,10.1,2,3, \dots,10. The score of a player is the sum of the numbers of their cards. The scores of the players are as follows: Ravon--11,11, Oscar--4,4, Aditi--7,7, Tyrone--16,16, Kim--17.17. Which of the following statements is true?

A Ravon le dieron la carta 3.

Ravon was given card 3.

A Aditi le dieron la carta 3.

Aditi was given card 3.

A Ravon le dieron la carta 4.

Ravon was given card 4.

A Aditi le dieron la carta 4.

Aditi was given card 4.

A Tyrone le dieron la carta 7.

Tyrone was given card 7.

Conceptos:deducción lógica
Nivel de dificultad: 1420
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Solución escrita:

La puntuación de Oscar, 44, obliga a que sus cartas sean 11 y 3.3. Entre las cartas restantes, la única pareja que suma 77 es 22 y 5,5, así que esas son las cartas de Aditi.

Las cartas sin usar son 4,6,7,8,9,10.4,6,7,8,9,10. La puntuación de Tyrone, 1616, solo puede venir de 6+106+10 o 7+9.7+9. Si Tyrone tuviera 77 y 9,9, las cartas restantes 4,6,8,104,6,8,10 no podrían emparejarse para dar la puntuación 11.11. de Ravon. Por tanto, Tyrone tiene 66 y 10.10.

Las cartas restantes son 4,7,8,9.4,7,8,9. Ravon debe tener 44 y 77 para sumar 11,11, dejando 88 y 99 para la puntuación de Kim, 17.17. Por tanto, Ravon recibió la carta 4.4.

Así, la respuesta es C.

Oscar's score of 44 forces his cards to be 11 and 3.3. From the remaining cards, the only pair with sum 77 is 22 and 5,5, so those are Aditi's cards.

The unused cards are now 4,6,7,8,9,10.4,6,7,8,9,10. Tyrone's score of 1616 can come only from 6+106+10 or 7+9.7+9. If Tyrone had 77 and 9,9, then the remaining cards 4,6,8,104,6,8,10 could not be paired to give Ravon's score 11.11. Thus Tyrone has 66 and 10.10.

The remaining cards are 4,7,8,9.4,7,8,9. Ravon must have 44 and 77 to score 11,11, leaving 88 and 99 for Kim's score of 17.17. Therefore, Ravon was given card 4.4.

Thus, the answer is C .

18.

Se lanza repetidamente un dado justo de 66 caras hasta que aparece un número impar. ¿Cuál es la probabilidad de que cada número par aparezca al menos una vez antes de la primera aparición de un número impar?

A fair 66-sided die is repeatedly rolled until an odd number appears. What is the probability that every even number appears at least once before the first occurrence of an odd number?

1120 \dfrac{1}{120}

132 \dfrac{1}{32}

120 \dfrac{1}{20}

320 \dfrac{3}{20}

16 \dfrac{1}{6}

Conceptos:dados (probabilidad)probabilidad básica
Nivel de dificultad: 1220
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Solución escrita:

La probabilidad de que el primer número sea par es 36.\frac 36.

La probabilidad de que el segundo número distinto sea par es 25.\frac 25.

La probabilidad de que el tercer número distinto sea par es 14.\frac 14.

La probabilidad combinada es 3⋅2⋅16⋅5⋅4=120.\dfrac{3\cdot 2\cdot 1}{6\cdot 5\cdot 4} = \dfrac 1{20}.

Por lo tanto, la respuesta es C.

The probability that the first number is even is 36.\frac 36.

The probability that the second distinct number is even is 25.\frac 25.

The probability that the third distinct number is even is 14.\frac 14.

The combined probability is 3⋅2⋅16⋅5⋅4=120.\dfrac{3\cdot 2\cdot 1}{6\cdot 5\cdot 4} = \dfrac 1{20}.

Thus, the answer is C .

19.

Supón que SS es un conjunto finito de enteros positivos.

Si se elimina de SS el mayor entero de S,S, entonces el valor promedio (media aritmética) de los enteros restantes es 32.32. Si además se elimina el menor entero de SS entonces el valor promedio de los enteros restantes es 35.35. Si luego se devuelve el mayor entero al conjunto, el valor promedio sube a 40.40. El mayor entero del conjunto original SS es 7272 mayor que el menor entero de S.S.

¿Cuál es el valor promedio de todos los enteros del conjunto SS?

Suppose that SS is a finite set of positive integers.

If the greatest integer in SS is removed from S,S, then the average value (arithmetic mean) of the integers remaining is 32.32. If the least integer in SS is also removed, then the average value of the integers remaining is 35.35. If the greatest integer is then returned to the set, the average value of the integers rises to 40.40. The greatest integer in the original set SS is 7272 greater than the least integer in S.S.

What is the average value of all the integers in the set S?S?

36.2 36.2

36.4 36.4

36.6 36.6

36.8 36.8

37 37

Conceptos:mediasistema de ecuaciones
Nivel de dificultad: 1540
Solución en video:
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Solución escrita:

Sea s,s, la suma de todos los enteros; g,g, el mayor; l,l, el menor; y n,n, el número de elementos de S.S.

Los dos promedios de conjuntos con n−1n-1 elementos dan s−l=40(n−1),s−g=32(n−1). \begin{aligned} s-l&=40(n-1),\\ s-g&=32(n-1). \end{aligned} Al restar y usar g−l=72g-l=72, se obtiene 72=8(n−1),72=8(n-1), así que n=10.n=10.

Al eliminar ambos extremos quedan 88 números cuya suma es 8⋅35=280.8\cdot35=280. Por otra parte, al eliminar solo el menor queda una suma de 9⋅40=360,9\cdot40=360, por lo que g=360−280=80.g=360-280=80. Entonces l=80−72=8,l=80-72=8, y la suma original es s=280+80+8=368.s=280+80+8=368.

El promedio pedido es sn=36810=36.8.\frac{s}{n}=\frac{368}{10}=36.8.

Así, la respuesta es D.

Let the sum of all the integers be s,s, the greatest number be g,g, the least number be l,l, and the size of SS be n.n.

The two averages of sets with n−1n-1 elements give s−l=40(n−1),s−g=32(n−1). \begin{aligned} s-l&=40(n-1),\\ s-g&=32(n-1). \end{aligned} Subtracting and using g−l=72g-l=72 gives 72=8(n−1),72=8(n-1), so n=10.n=10.

Removing both extremes leaves 88 numbers with sum 8⋅35=280.8\cdot35=280. On the other hand, removing only the least number leaves a sum of 9⋅40=360,9\cdot40=360, so g=360−280=80.g=360-280=80. Hence l=80−72=8,l=80-72=8, and the original sum is s=280+80+8=368.s=280+80+8=368.

The required average is sn=36810=36.8.\frac{s}{n}=\frac{368}{10}=36.8.

Thus, the answer is D .

20.

La figura está construida con 1111 segmentos de recta, cada uno de longitud 2.2. El área del pentágono ABCDEABCDE se puede escribir como m+n,\sqrt{m} + \sqrt{n}, donde mm y nn son enteros positivos. ¿Cuánto vale m+nm + n?

The figure below is constructed from 1111 line segments, each of which has length 2.2. The area of pentagon ABCDEABCDE can be written as m+n,\sqrt{m} + \sqrt{n}, where mm and nn are positive integers. What is m+n?m + n ?

20 20

21 21

22 22

23 23

24 24

Conceptos:descomposición de áreastriángulo equiláterotriángulo rectángulo especial
Nivel de dificultad: 1950
Solución:

Sea FF el punto sin etiqueta unido a A,B,A,B, y C.C. Como todos los segmentos dibujados miden 2,2, los triángulos ABFABF y CBFCBF son equiláteros y están a lados opuestos de BF.BF. Por tanto, ∠ABC=120∘,\angle ABC=120^\circ, así que

[ABC]=12⋅2⋅2sin⁡120∘=3.[ABC]=\frac12\cdot2\cdot2\sin120^\circ=\sqrt3.

El mismo razonamiento al otro lado da [ADE]=3.[ADE]=\sqrt3. Además, la ley de cosenos en △ABC\triangle ABC da AC2=12,AC^2=12, y de modo similar AD2=12.AD^2=12. Entonces la altura del triángulo isósceles ACDACD a su base CD=2CD=2 es

(12)2−12=11.\sqrt{(\sqrt{12})^2-1^2}=\sqrt{11}.

Por tanto, [ACD]=12⋅2⋅11=11.[ACD]=\frac12\cdot2\cdot\sqrt{11}=\sqrt{11}. El área total del pentágono es

12+11,\sqrt{12}+\sqrt{11},

así que m+n=12+11=23.m+n=12+11=23.

Por lo tanto, la respuesta es D.

Let FF be the unlabeled point joined to A,B,A,B, and C.C. Because all the drawn segments have length 2,2, triangles ABFABF and CBFCBF are equilateral and lie on opposite sides of BF.BF. Hence ∠ABC=120∘,\angle ABC=120^\circ, so

[ABC]=12⋅2⋅2sin⁡120∘=3.[ABC]=\frac12\cdot2\cdot2\sin120^\circ=\sqrt3.

The same reasoning on the other side gives [ADE]=3.[ADE]=\sqrt3. Also, the Law of Cosines in △ABC\triangle ABC gives AC2=12,AC^2=12, and similarly AD2=12.AD^2=12. Thus the altitude of isosceles triangle ACDACD to its base CD=2CD=2 is

(12)2−12=11.\sqrt{(\sqrt{12})^2-1^2}=\sqrt{11}.

Therefore [ACD]=12⋅2⋅11=11.[ACD]=\frac12\cdot2\cdot\sqrt{11}=\sqrt{11}. The pentagon's total area is

12+11,\sqrt{12}+\sqrt{11},

so m+n=12+11=23.m+n=12+11=23.

Thus, the answer is D .

21.

Una hoja de papel cuadrada tiene lado 11 y vértices A,B,C,A,B,C, y DD en ese orden. Como se muestra en la figura, el papel se dobla de modo que el vértice CC toca el lado AD‾\overline{AD} en el punto C′,C', y el lado BC‾\overline{BC} corta al lado AB‾\overline{AB} en el punto E.E. Supón que C′D=13.C'D = \frac{1}{3}. ¿Cuál es el perímetro del triángulo △AEC′\triangle AEC'?

A square piece of paper has side length 11 and vertices A,B,C,A,B,C, and DD in that order. As shown in the figure, the paper is folded so that vertex CC meets edge AD‾\overline{AD} at point C′,C', and edge BC‾\overline{BC} intersects edge AB‾\overline{AB} at point E.E. Suppose that C′D=13.C'D = \frac{1}{3}. What is the perimeter of △AEC′?\triangle AEC'?

2 2

1+233 1+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}

136 \dfrac{13}{6}

1+343 1 + \dfrac{3}{4}\sqrt{3}

73 \dfrac{7}{3}

Conceptos:plegado de papelgeometría analítica
Nivel de dificultad: 2230
Solución en video:
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Solución escrita:

Usa coordenadas con A=(0,1),A=(0,1), B=(0,0),B=(0,0), C=(1,0),C=(1,0), y D=(1,1).D=(1,1). Como C′D=13,C'D=\frac13, tenemos C′=(23,1),C'=(\frac23,1), así que AC′=23.AC'=\frac23.

El doblez refleja CC a C′,C', así que la imagen del lado BCBC es la recta que pasa por C′C' y E.E. Reflejar B=(0,0)B=(0,0) respecto a la mediatriz de CC′CC' da (−215,25).(-\frac{2}{15},\frac25). La recta que pasa por este punto y C′C' corta a ABAB en E=(0,12).E=(0,\frac12).

Por lo tanto AE=12,AE=\frac12, y

EC′=(23)2+(12)2=56.EC'=\sqrt{\left(\frac23\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\frac56.

El perímetro de △AEC′\triangle AEC' es

12+23+56=2.\frac12+\frac23+\frac56=2.

Por lo tanto, la respuesta es A.

Use coordinates with A=(0,1),A=(0,1), B=(0,0),B=(0,0), C=(1,0),C=(1,0), and D=(1,1).D=(1,1). Since C′D=13,C'D=\frac13, we have C′=(23,1),C'=(\frac23,1), so AC′=23.AC'=\frac23.

The fold reflects CC to C′,C', so the image of side BCBC is the line through C′C' and E.E. Reflecting B=(0,0)B=(0,0) across the perpendicular bisector of CC′CC' gives (−215,25).(-\frac{2}{15},\frac25). The line through this point and C′C' meets ABAB at E=(0,12).E=(0,\frac12).

Thus AE=12,AE=\frac12, and

EC′=(23)2+(12)2=56.EC'=\sqrt{\left(\frac23\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\frac56.

The perimeter of △AEC′\triangle AEC' is

12+23+56=2.\frac12+\frac23+\frac56=2.

Thus, the answer is A .

22.

Ang, Ben y Jasmin tienen cada uno 55 bloques, de colores rojo, azul, amarillo, blanco y verde; y hay 55 cajas vacías. Cada persona, de forma aleatoria e independiente de las otras dos, coloca uno de sus bloques en cada caja. La probabilidad de que al menos una caja reciba 33 bloques todos del mismo color es mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale m+nm + n?

Ang, Ben, and Jasmin each have 55 blocks, colored red, blue, yellow, white, and green; and there are 55 empty boxes. Each of the people randomly and independently of the other two people places one of their blocks into each box. The probability that at least one box receives 33 blocks all of the same color is mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. What is m+n?m + n ?

47 47

94 94

227 227

471 471

542 542

Conceptos:inclusión-exclusiónpermutacionesprobabilidad básica
Nivel de dificultad: 2150
Solución en video:
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Solución escrita:

Fija la colocación de Ang y etiqueta cada caja con el color que Ang puso en ella. Ben y Jasmin eligen cada uno una permutación de los cinco colores, así que hay (5!)2(5!)^2 pares de colocaciones igualmente probables.

Para que un conjunto especificado de kk cajas reciba tres bloques del mismo color, tanto Ben como Jasmin deben coincidir con Ang en esas kk cajas. Esto puede ocurrir de ((5−k)!)2((5-k)!)^2 maneras. Por inclusión-exclusión, el número de pares de colocaciones exitosos es

(51)(4!)2−(52)(3!)2+(53)(2!)2−(54)(1!)2+(55)(0!)2. \begin{aligned} &\binom51(4!)^2-\binom52(3!)^2 \\ &\quad {}+\binom53(2!)^2-\binom54(1!)^2 \\ &\quad {}+\binom55(0!)^2. \end{aligned}

Esto es igual a

2880−360+40−5+1=2556.2880-360+40-5+1=2556.

Por lo tanto, la probabilidad es

2556(5!)2=255614400=71400.\frac{2556}{(5!)^2}=\frac{2556}{14400}=\frac{71}{400}.

Por lo tanto m+n=71+400=471.m+n=71+400=471.

Por lo tanto, la respuesta es D.

Fix Ang's placement and label each box by the color Ang put in it. Ben and Jasmin each choose a permutation of the five colors, so there are (5!)2(5!)^2 equally likely pairs of placements.

For a specified set of kk boxes to receive three blocks of the same color, both Ben and Jasmin must match Ang in those kk boxes. This can happen in ((5−k)!)2((5-k)!)^2 ways. By inclusion-exclusion, the number of successful placement pairs is

(51)(4!)2−(52)(3!)2+(53)(2!)2−(54)(1!)2+(55)(0!)2. \begin{aligned} &\binom51(4!)^2-\binom52(3!)^2 \\ &\quad {}+\binom53(2!)^2-\binom54(1!)^2 \\ &\quad {}+\binom55(0!)^2. \end{aligned}

This equals

2880−360+40−5+1=2556.2880-360+40-5+1=2556.

Therefore the probability is

2556(5!)2=255614400=71400.\frac{2556}{(5!)^2}=\frac{2556}{14400}=\frac{71}{400}.

Thus m+n=71+400=471.m+n=71+400=471.

Thus, the answer is D .

23.

Un cuadrado de lado 88 está sin sombrear excepto por 44 regiones triangulares rectángulas isósceles sombreadas con catetos de longitud 22 en cada esquina del cuadrado y un rombo sombreado de lado 222\sqrt{2} en el centro del cuadrado, como se muestra en el diagrama.

Una moneda circular de diámetro 11 se deja caer sobre el cuadrado y cae en una posición aleatoria en la que la moneda queda completamente contenida dentro del cuadrado. La probabilidad de que la moneda cubra parte de la región sombreada del cuadrado se puede escribir como 1196(a+b2+π),\frac{1}{196}\left(a+b\sqrt{2}+\pi\right), donde aa y bb son enteros positivos. ¿Cuánto vale a+ba+b?

A square with side length 88 is colored white except for 44 black isosceles right triangular regions with legs of length 22 in each corner of the square and a black diamond with side length 222\sqrt{2} in the center of the square, as shown in the diagram.

A circular coin with diameter 11 is dropped onto the square and lands in a random location where the coin is completely contained within the square. The probability that the coin will cover part of the black region of the square can be written as 1196(a+b2+π),\frac{1}{196}\left(a+b\sqrt{2}+\pi\right), where aa and bb are positive integers. What is a+b?a+b?

64 64

66 66

68 68

70 70

72 72

Conceptos:probabilidad geométricadescomposición de áreas
Nivel de dificultad: 2390
Solución:

La moneda tiene radio 12,\frac12, así que su centro se distribuye uniformemente sobre un cuadrado de 7×77\times7 de área 49.49.

Un triángulo sombreado de una esquina aporta el conjunto de posiciones del centro a distancia 12\frac12 de ese triángulo, dentro del cuadrado de centros permitido. Para cada esquina esto es un triángulo rectángulo isósceles cuya altura es 1+22,\frac{1+\sqrt2}{2}, así que su área es

(1+22)2=3+224.\left(\frac{1+\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{3+2\sqrt2}{4}.

Las cuatro esquinas aportan 3+22.3+2\sqrt2.

El rombo sombreado central es un cuadrado de lado 22.2\sqrt2. Al expandirlo una distancia 12\frac12 se añaden cuatro rectángulos de área total 424\sqrt2 y cuatro cuartos de círculo de área total π4,\frac\pi4, además del área del rombo 8.8. Así, la contribución del centro es

8+42+π4.8+4\sqrt2+\frac\pi4.

El área favorable es

3+22+8+42+π4=11+62+π4. \begin{aligned} &3+2\sqrt2+8+4\sqrt2+\frac\pi4 \\ &=11+6\sqrt2+\frac\pi4. \end{aligned}

La probabilidad es

11+62+π449=44+242+π196. \begin{aligned} &\frac{11+6\sqrt2+\frac\pi4}{49} \\ &=\frac{44+24\sqrt2+\pi}{196}. \end{aligned}

Así que a+b=44+24=68.a+b=44+24=68.

Por lo tanto, la respuesta es C.

The coin has radius 12,\frac12, so its center is uniformly distributed over a 7×77\times7 square of area 49.49.

A shaded corner triangle contributes the set of center positions within distance 12\frac12 of that triangle, inside the allowed center square. For each corner this is a right isosceles triangle whose altitude is 1+22,\frac{1+\sqrt2}{2}, so its area is

(1+22)2=3+224.\left(\frac{1+\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{3+2\sqrt2}{4}.

All four corners contribute 3+22.3+2\sqrt2.

The center shaded diamond is a square of side 22.2\sqrt2. Expanding it by distance 12\frac12 adds four rectangles of total area 424\sqrt2 and four quarter-circles of total area π4,\frac\pi4, in addition to the diamond's area 8.8. Thus the center contribution is

8+42+π4.8+4\sqrt2+\frac\pi4.

The favorable area is

3+22+8+42+π4=11+62+π4. \begin{aligned} &3+2\sqrt2+8+4\sqrt2+\frac\pi4 \\ &=11+6\sqrt2+\frac\pi4. \end{aligned}

The probability is

11+62+π449=44+242+π196. \begin{aligned} &\frac{11+6\sqrt2+\frac\pi4}{49} \\ &=\frac{44+24\sqrt2+\pi}{196}. \end{aligned}

So a+b=44+24=68.a+b=44+24=68.

Thus, the answer is C .

24.

Arjun y Beth juegan a un juego en el que se turnan para quitar un ladrillo o dos ladrillos adyacentes de una "pared" entre un conjunto de varias paredes de ladrillos, donde los huecos pueden crear nuevas paredes. Las paredes tienen un ladrillo de altura. Por ejemplo, un conjunto de paredes de tamaños 44 y 22 puede transformarse en cualquiera de las siguientes con un movimiento: (3,2),(2,1,2),(4),(4,1),(2,2),(3,2),(2,1,2),(4),(4,1),(2,2), o (1,1,2).(1,1,2).

Arjun juega primero, y el jugador que quita el último ladrillo gana. ¿Para qué configuración inicial existe una estrategia que garantiza la victoria de Beth?

Arjun and Beth play a game in which they take turns removing one brick or two adjacent bricks from one "wall" among a set of several walls of bricks, with gaps possibly creating new walls. The walls are one brick tall. For example, a set of walls of sizes 44 and 22 can be changed into any of the following by one move: (3,2),(2,1,2),(4),(4,1),(2,2),(3,2),(2,1,2),(4),(4,1),(2,2), or (1,1,2).(1,1,2).

Arjun plays first, and the player who removes the last brick wins. For which starting configuration is there a strategy that guarantees a win for Beth?

(6,1,1) (6,1,1)

(6,2,1) (6,2,1)

(6,2,2) (6,2,2)

(6,3,1) (6,3,1)

(6,3,2) (6,3,2)

Conceptos:juego combinatorio
Nivel de dificultad: 2390
Solución:

Para una sola pared de longitud n,n, calcula su valor de Sprague-Grundy a partir de los movimientos posibles. Para las longitudes de pared necesarias aquí, los valores son

g(1)=1,g(2)=2,g(3)=3,g(4)=1,g(5)=4,g(6)=3. \begin{aligned} &g(1)=1,\quad g(2)=2, \\ &g(3)=3,\quad g(4)=1, \\ &g(5)=4,\quad g(6)=3. \end{aligned}

Para varias paredes, la posición es perdedora para el jugador en turno exactamente cuando el xor de los valores de las paredes es 0.0. Evaluando las opciones se obtiene

(6,1,1):3⊕1⊕1=3,(6,1,1): 3\oplus1\oplus1=3,

(6,2,1):3⊕2⊕1=0,(6,2,1): 3\oplus2\oplus1=0,

(6,2,2):3⊕2⊕2=3,(6,2,2): 3\oplus2\oplus2=3,

(6,3,1):3⊕3⊕1=1,(6,3,1): 3\oplus3\oplus1=1,

(6,3,2):3⊕3⊕2=2.(6,3,2): 3\oplus3\oplus2=2.

Solo (6,2,1)(6,2,1) es perdedora para el jugador en turno, así que Beth tiene la victoria garantizada exactamente en esa configuración inicial.

Por lo tanto, la respuesta es B.

For a single wall of length n,n, compute its Sprague-Grundy value from the possible moves. For the wall lengths needed here, the values are

g(1)=1,g(2)=2,g(3)=3,g(4)=1,g(5)=4,g(6)=3. \begin{aligned} &g(1)=1,\quad g(2)=2, \\ &g(3)=3,\quad g(4)=1, \\ &g(5)=4,\quad g(6)=3. \end{aligned}

For several walls, the position is losing for the player to move exactly when the xor of the wall values is 0.0. Evaluating the choices gives

(6,1,1):3⊕1⊕1=3,(6,1,1): 3\oplus1\oplus1=3,

(6,2,1):3⊕2⊕1=0,(6,2,1): 3\oplus2\oplus1=0,

(6,2,2):3⊕2⊕2=3,(6,2,2): 3\oplus2\oplus2=3,

(6,3,1):3⊕3⊕1=1,(6,3,1): 3\oplus3\oplus1=1,

(6,3,2):3⊕3⊕2=2.(6,3,2): 3\oplus3\oplus2=2.

Only (6,2,1)(6,2,1) is losing for the player to move, so Beth has a guaranteed win exactly for that starting configuration.

Thus, the answer is B .

25.

Sea SS el conjunto de puntos reticulares del plano coordenado cuyas dos coordenadas son enteros entre 11 y 30,30, inclusive. Exactamente 300300 puntos de SS están sobre o debajo de una recta con ecuación y=mx.y=mx. Los valores posibles de mm forman un intervalo de longitud ab,\frac ab, donde aa y bb son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale a+ba+b?

Let SS be the set of lattice points in the coordinate plane, both of whose coordinates are integers between 11 and 30,30, inclusive. Exactly 300300 points in SS lie on or below a line with equation y=mx.y=mx. The possible values of mm lie in an interval of length ab,\frac ab, where aa and bb are relatively prime positive integers. What is a+b?a+b?

31 31

47 47

62 62

72 72

85 85

Conceptos:punto reticularfunciones piso y techo
Nivel de dificultad: 2390
Solución:

Para una pendiente fija m,m, el número de puntos de SS sobre o debajo de y=mxy=mx es

∑x=130⌊mx⌋,\sum_{x=1}^{30}\lfloor mx\rfloor,

para las pendientes cercanas a la respuesta.

En m=23,m=\frac23, agrupando x=3k+1,3k+2,3k+3x=3k+1,3k+2,3k+3 para k=0,1,…,9k=0,1,\ldots,9 se obtiene

⌊2x/3⌋=2k, 2k+1, 2k+2,\lfloor 2x/3\rfloor=2k,\ 2k+1, \ 2k+2,

cuya suma en cada bloque es 6k+3.6k+3. Así, el total es

∑k=09(6k+3)=270+30=300.\sum_{k=0}^9(6k+3)=270+30=300.

Si m<23,m<\frac23, los diez puntos con razones y/x=2/3y/x=2/3 ya no se cuentan, así que el conteo es menor que 300.300. Por lo tanto, el extremo inferior es 23.\frac23.

La siguiente razón posible y/xy/x mayor que 23,\frac23, con 1≤x,y≤30,1\le x,y\le30, se minimiza revisando xx módulo 3.3. Los mejores candidatos son

1928,2029,2130=710,\frac{19}{28},\qquad \frac{20}{29},\qquad \frac{21}{30}=\frac{7}{10},

y el menor es 1928.\frac{19}{28}. Por lo tanto, la longitud del intervalo es

1928−23=184.\frac{19}{28}-\frac23=\frac1{84}.

Por lo tanto a+b=1+84=85.a+b=1+84=85.

Por lo tanto, la respuesta es E.

For a fixed slope m,m, the number of points in SS on or below y=mxy=mx is

∑x=130⌊mx⌋,\sum_{x=1}^{30}\lfloor mx\rfloor,

for the slopes near the answer.

At m=23,m=\frac23, grouping x=3k+1,3k+2,3k+3x=3k+1,3k+2,3k+3 for k=0,1,…,9k=0,1,\ldots,9 gives

⌊2x/3⌋=2k, 2k+1, 2k+2,\lfloor 2x/3\rfloor=2k,\ 2k+1, \ 2k+2,

whose sum over each block is 6k+3.6k+3. Thus the total is

∑k=09(6k+3)=270+30=300.\sum_{k=0}^9(6k+3)=270+30=300.

If m<23,m<\frac23, the ten points with ratios y/x=2/3y/x=2/3 are no longer counted, so the count is less than 300.300. Therefore the lower end is 23.\frac23.

The next possible ratio y/xy/x greater than 23,\frac23, with 1≤x,y≤30,1\le x,y\le30, is minimized by checking xx modulo 3.3. The best candidates are

1928,2029,2130=710,\frac{19}{28},\qquad \frac{20}{29},\qquad \frac{21}{30}=\frac{7}{10},

and the smallest is 1928.\frac{19}{28}. Hence the interval length is

1928−23=184.\frac{19}{28}-\frac23=\frac1{84}.

Thus a+b=1+84=85.a+b=1+84=85.

Thus, the answer is E .