2021 AMC 10B Spring — Problemas y examen en línea cronometrado

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1:15:00

1.

¿Cuántos valores enteros de $x$ satisfacen $|x| < 3\pi$ ?

How many integer values of $x$ satisfy $|x| < 3\pi?$

$9$

$10$

$18$

$19$

$20$

Respuesta: D

Conceptos:valor absoluto conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 560

Solución:

Todo entero desde $-9$ hasta $9$ funciona. Esto da un total de $9-(-9)+1 = 19$ soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Every integer from $-9$ to $9,$ inclusive, works. This yields $9-(-9)+1 = 19$ solutions.

Thus, the correct answer is D .

2.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? $\begin{aligned} &\sqrt{\left(3-2\sqrt{3}\right)^2} \\ &{}+\sqrt{\left(3+2\sqrt{3}\right)^2} \end{aligned}$

What is the value of $\begin{aligned} &\sqrt{\left(3-2\sqrt{3}\right)^2} \\ &{}+\sqrt{\left(3+2\sqrt{3}\right)^2}? \end{aligned}$

$0$

$4\sqrt{3}-6$

$6$

$4\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}+6$

Respuesta: D

Conceptos:radical valor absoluto

Nivel de dificultad: 770

Solución:

Usamos la relación entre la raíz cuadrada y el valor absoluto: $\sqrt{\left(3-2\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(3+2\sqrt{3}\right)^2 }$ $= |3-2\sqrt{3}| + |3+2\sqrt{3}|.$ Como $3 < 2 \sqrt 3$ , sabemos que $3-2\sqrt{3} < 0$ .

Por lo tanto, la expresión original es igual a $-3+2\sqrt{3} + 3+2\sqrt{3}$ $= 4 \sqrt 3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We know $\sqrt{\left(3-2\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(3+2\sqrt{3}\right)^2 }$ $= |3-2\sqrt{3}| + |3+2\sqrt{3}|.$ Since $3 < 2 \sqrt 3,$ we know that $3-2\sqrt{3} < 0.$

Therefore, our desired equation expression is equal to $-3+2\sqrt{3} + 3+2\sqrt{3}$ $= 4 \sqrt 3.$

Thus, the correct answer is D .

3.

En un programa extraescolar para estudiantes de penúltimo y último año, hay un equipo de debate con igual número de estudiantes de cada uno de esos años. Entre los $28$ estudiantes del programa, el $25\%$ de los de penúltimo año y el $10\%$ de los de último año están en el equipo de debate. ¿Cuántos estudiantes de penúltimo año hay en el programa?

In an after-school program for juniors and seniors, there is a debate team with an equal number of students from each class on the team. Among the $28$ students in the program, $25\%$ of the juniors and $10\%$ of the seniors are on the debate team. How many juniors are in the program?

$5$

$6$

$8$

$11$

$20$

Respuesta: C

Conceptos:porcentaje sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 870

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $j$ el número de estudiantes de penúltimo año y $s$ el de último año. Entonces $j+s = 28$ y $0.25j = 0.1s$ . Esto significa que $2.5j = s$ , así que $3.5j = 28$ . Por lo tanto $j=8$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the number of juniors be $j$ and the number of seniors be $s.$ Then, $j+s = 28$ and $0.25j = 0.1s.$ This means $2.5j = s,$ so $3.5j = 28.$ This makes $j=8.$

Thus, the correct answer is C .

4.

En una competencia de matemáticas, $57$ estudiantes visten camiseta azul y otros $75$ estudiantes visten camiseta amarilla. Estos $132$ estudiantes se agrupan en $66$ parejas. En exactamente $23$ de esas parejas, ambos estudiantes visten camiseta azul. ¿En cuántas parejas ambos estudiantes visten camiseta amarilla?

At a math contest, $57$ students are wearing blue shirts, and another $75$ students are wearing yellow shirts. The $132$ students are assigned into $66$ pairs. In exactly $23$ of these pairs, both students are wearing blue shirts. In how many pairs are both students wearing yellow shirts?

$23$

$32$

$37$

$41$

$64$

Respuesta: B

Conceptos:conteo de pares

Nivel de dificultad: 960

Solución en video:

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Solución escrita:

Las parejas azul-azul usan $2\cdot 23 = 46$ estudiantes de camiseta azul. Por lo tanto quedan $57-46=11$ estudiantes de camiseta azul en parejas mixtas, es decir, exactamente $11$ estudiantes de camiseta amarilla están en parejas mixtas.

Esto deja solo $64$ estudiantes de camiseta amarilla emparejados con otro estudiante de camiseta amarilla, así que el número de parejas amarillo-amarillo es $\dfrac{64}2 = 32$ .

Por lo tanto, la respuesta es B.

There are $2\cdot 23 = 46$ students with blue shirts that are in a pair with just blue shirts. This means there are $57-46=11$ students in blue shirts who are paired with someone wearing a yellow shirt, meaning exactly $11$ people wearing yellow shirts are paired with someone wearing a blue shirt.

This leaves just $64$ students wearing a yellow shirt who are paired with someone else wearing a yellow shirt. This yields $\dfrac{64}2 = 32$ pairs.

Thus, the answer is B .

5.

Las edades de los cuatro primos de Jonie son enteros positivos de un solo dígito, todos distintos. Las edades de dos de los primos multiplicadas dan $24$ , mientras que las de los otros dos multiplicadas dan $30$ . ¿Cuál es la suma de las edades de los cuatro primos de Jonie?

The ages of Jonie's four cousins are distinct single-digit positive integers. Two of the cousins' ages multiplied together give $24,$ while the other two multiply to $30.$ What is the sum of the ages of Jonie's four cousins?

$21$

$22$

$23$

$24$

$25$

Respuesta: B

Conceptos:factor edades

Nivel de dificultad: 900

Solución en video:

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Solución escrita:

Como los otros dos multiplican $30$ y ambos son de un solo dígito, uno de ellos debe ser $5,$ y el otro es $6$ . Las dos primeras edades multiplican $24$ ; hay que encontrar un par de dígitos con producto $24$ . No se pueden usar de nuevo $4$ ni $6$ , así que solo queda $3,8.$ Por lo tanto, las cuatro edades son $3,5,6,8,$ y su suma es $22.$

Por lo tanto, la respuesta es B.

Since the last two are multiplied to $30$ and both are single-digit numbers, one of them must be $5,$ making the other person $6.$ The first two are of ages that multiply to $24.$ The only pair of single-digit numbers whose product is $24$ and none of them are $4$ or $6$ is the pair $3,8.$ Thus, the ages are $3,5,6,8,$ making their sum $22.$

Thus, the answer is B .

6.

La profesora Blackwell aplica un examen a dos clases. La media de las calificaciones de los estudiantes de la clase de la mañana es $84$ , y la media de la clase de la tarde es $70$ . La razón entre el número de estudiantes de la clase de la mañana y el de la clase de la tarde es $\frac{3}{4}$ . ¿Cuál es la media de las calificaciones de todos los estudiantes?

Ms. Blackwell gives an exam to two classes. The mean of the scores of the students in the morning class is $84,$ and the afternoon class's mean score is $70.$ The ratio of the number of students in the morning class to the number of students in the afternoon class is $\frac{3}{4}.$ What is the mean of the scores of all the students?

$74$

$75$

$76$

$77$

$78$

Respuesta: C

Conceptos:media razón y proporción

Nivel de dificultad: 900

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $3x$ el número de estudiantes de la primera clase. Entonces la segunda clase tiene $4x$ estudiantes.

La suma de las calificaciones de la primera clase es $84\cdot 3x = 252x$ , y la de la segunda clase es $70\cdot 4x = 280x$ . Por lo tanto, la suma total es $532x,$ con $7x$ estudiantes.

Así, el promedio de todos los estudiantes es $\dfrac{532x}{7x} = 76$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the number of people in the first class be $3x.$ This means the number of people in the second class is $4x.$

Thus, the sum of the scores of the first class is $84\cdot 3x = 252x$ and the sum of the scores for the people in the second class is $70\cdot 4x = 280x.$ This means the total sum is $532x,$ with $7x$ people.

Therefore, the average of all the students is $\dfrac{532x}{7x} = 76.$

Thus, the correct answer is C .

7.

En un plano, cuatro círculos de radios $1,3,5$ y $7$ son tangentes a la recta $\ell$ en el mismo punto $A$ , pero pueden estar a cualquiera de los dos lados de $\ell$ . La región $S$ consiste en todos los puntos que están dentro de exactamente uno de los cuatro círculos. ¿Cuál es el área máxima posible de la región $S$ ?

In a plane, four circles with radii $1,3,5,$ and $7$ are tangent to line $\ell$ at the same point $A,$ but they may be on either side of $\ell.$ Region $S$ consists of all the points that lie inside exactly one of the four circles. What is the maximum possible area of region $S?$

$24\pi$

$32\pi$

$64\pi$

$65\pi$

$84\pi$

Respuesta: D

Conceptos:circunferencias tangentes área del círculo optimización

Nivel de dificultad: 1240

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Solución escrita:

Del mismo lado de $\ell$ , todos los círculos tangentes en $A$ están anidados. Para círculos anidados de radios $r_1>r_2>\cdots$ , los puntos dentro de exactamente uno de esos círculos tienen área $\pi(r_1^2-r_2^2)$ si hay al menos dos círculos; un tercer círculo anidado más pequeño no cuenta porque sus puntos están dentro de tres círculos, no de exactamente uno.

Para maximizar el área, coloca el círculo de radio $7$ solo en un lado y los círculos de radios $5,3,1$ en el otro lado. Esto da

$\begin{aligned} &7^2\pi+(5^2-3^2)\pi \\ &=49\pi+16\pi=65\pi. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta es D.

On one side of $\ell$ , circles tangent at $A$ are nested. For nested circles with radii $r_1>r_2>\cdots$ , the points inside exactly one of those circles have area $\pi(r_1^2-r_2^2)$ if there are at least two circles; a third smaller nested circle does not count because its points are inside three circles, not exactly one.

To maximize the area, put the circle of radius $7$ alone on one side, and put the circles of radii $5,3,1$ on the other side. This gives

$\begin{aligned} &7^2\pi+(5^2-3^2)\pi \\ &=49\pi+16\pi=65\pi. \end{aligned}$

Thus, the answer is D .

8.

El señor Zhou coloca todos los enteros desde $1$ hasta $225$ en una cuadrícula de $15$ por $15$ . Coloca el $1$ en el cuadrado central (octava fila y octava columna) y coloca los demás números uno por uno en sentido horario, como se muestra parcialmente en el diagrama de abajo. ¿Cuál es la suma del mayor número y el menor número que aparecen en la segunda fila desde arriba?

Mr. Zhou places all the integers from $1$ to $225$ into a $15$ by $15$ grid. He places $1$ in the middle square (eighth row and eighth column) and places other numbers one by one clockwise, as shown in part in the diagram below. What is the sum of the greatest number and the least number that appear in the second row from the top?

$367$

$368$

$369$

$379$

$380$

Respuesta: A

Conceptos:reconocimiento de patrones cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1420

Solución en video:

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Solución escrita:

En el anillo exterior de $15\times15$ , la fila superior contiene $211,212,\ldots,225$ , por lo que el número justo debajo de $211$ en la segunda fila es $210$ . Este es el mayor número de la segunda fila.

La espiral interior de $13\times13$ tiene $13^2=169$ en su esquina superior derecha. En la segunda fila de toda la cuadrícula, las entradas del anillo interior van de $157$ a $169$ . Así, la menor entrada de esa fila es $157$ .

La suma pedida es $210+157=367$ .

Por lo tanto, la respuesta es A.

In the outer $15\times15$ ring, the top row contains $211,212,\ldots,225$ , so the number just below $211$ in the second row is $210$ . This is the greatest number in the second row.

The inner $13\times13$ spiral has $13^2=169$ in its upper-right corner. In the second row of the full grid, the inner-ring entries run from $157$ to $169$ . Thus the least entry in that row is $157$ .

The required sum is $210+157=367$ .

Thus, the answer is A .

9.

El punto $P(a,b)$ en el plano $xy$ primero se rota $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del punto $(1,5)$ y luego se refleja respecto a la recta $y = -x$ . La imagen de $P$ después de estas dos transformaciones está en $(-6,3)$ . ¿Cuánto vale $b - a$ ?

The point $P(a,b)$ in the $xy$ -plane is first rotated counterclockwise by $90^\circ$ around the point $(1,5)$ and then reflected about the line $y = -x.$ The image of $P$ after these two transformations is at $(-6,3).$ What is $b - a ?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Respuesta: D

Conceptos:transformación geometría analítica trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 1220

Solución en video:

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Solución escrita:

Trabaja hacia atrás. Reflejar $(-6,3)$ respecto a $y=-x$ da $(-3,6)$ .

Ahora deshaz la rotación de $90^\circ$ antihoraria rotando $(-3,6)$ en sentido horario alrededor de $(1,5)$ . Respecto a $(1,5)$ , el punto es $(-4,1)$ . Un cuarto de vuelta en sentido horario lo lleva a $(1,4)$ , y al trasladar de vuelta se obtiene $(2,9)$ .

Por lo tanto $a=2$ , $b=9$ , y $b-a=7$ .

Por lo tanto, la respuesta es D.

Work backward. Reflecting $(-6,3)$ across $y=-x$ gives $(-3,6)$ .

Now undo the $90^\circ$ counterclockwise rotation by rotating $(-3,6)$ clockwise about $(1,5)$ . Relative to $(1,5)$ , the point is $(-4,1)$ . A clockwise quarter-turn sends this to $(1,4)$ , and translating back gives $(2,9)$ .

Thus $a=2$ , $b=9$ , and $b-a=7$ .

Thus, the answer is D .

10.

Un cono invertido con radio de la base de $12 \mathrm{ cm}$ y altura de $18 \mathrm{ cm}$ está lleno de agua. El agua se vierte en un cilindro alto cuya base horizontal tiene radio de $24 \mathrm{ cm}$ . ¿Cuál es la altura, en centímetros, del agua en el cilindro?

An inverted cone with base radius $12 \mathrm{ cm}$ and height $18 \mathrm{ cm}$ is full of water. The water is poured into a tall cylinder whose horizontal base has radius of $24 \mathrm{ cm}.$ What is the height in centimeters of the water in the cylinder?

$1.5$

$3$

$4$

$4.5$

$6$

Respuesta: A

Conceptos:volumen cono cilindro

Nivel de dificultad: 1020

Solución en video:

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Solución escrita:

Los volúmenes deben ser iguales porque el agua se vierte de uno a otro. El volumen del cono es $\frac{r^2h \pi}3 = \frac{12^2\cdot 18 \pi}3 = 864 \pi$ .

El volumen del cilindro es $r^2h \pi =24^2h \pi = 576h \pi$ . Entonces $576 h \pi = 864 \pi,$ así que $h = 1.5$ .

Por lo tanto, la respuesta es A.

The volumes must be the same since the water is poured from one to another. The volume of the cone is $\frac{r^2h \pi}3 = \frac{12^2\cdot 18 \pi}3 = 864 \pi.$

The volume of the cylinder is $r^2h \pi =24^2h \pi = 576h \pi.$ This makes $576 h \pi = 864 \pi,$ so $h = 1.5.$

Thus, the answer is A .

11.

La abuela acaba de terminar de hornear una gran bandeja rectangular de brownies. Piensa cortarla en piezas rectangulares del mismo tamaño y forma, con cortes rectos paralelos a los lados de la bandeja. Cada corte debe atravesar por completo la bandeja. La abuela quiere hacer el mismo número de piezas interiores que de piezas a lo largo del perímetro de la bandeja. ¿Cuál es el mayor número posible de brownies que puede producir?

Grandma has just finished baking a large rectangular pan of brownies. She is planning to make rectangular pieces of equal size and shape, with straight cuts parallel to the sides of the pan. Each cut must be made entirely across the pan. Grandma wants to make the same number of interior pieces as pieces along the perimeter of the pan. What is the greatest possible number of brownies she can produce?

$24$

$30$

$48$

$60$

$64$

Respuesta: D

Conceptos:Truco de factorización favorito de Simon optimización

Nivel de dificultad: 1420

Solución en video:

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Solución escrita:

Supón que los cortes forman una cuadrícula de piezas $l\times w$ . El número de piezas interiores es $(l-2)(w-2)$ , y el número total de piezas es $lw$ . Como el número de piezas interiores es igual al de piezas del perímetro, las piezas interiores son la mitad del total:

$(l-2)(w-2)=\frac{lw}{2}.$

Desarrollando se obtiene $lw-4l-4w+8=0$ , o bien

$(l-4)(w-4)=8.$

Los pares de factores positivos de $8$ dan $(l,w)=(5,12)$ o $(6,8)$ , salvo el orden. Estos producen $60$ o $48$ piezas, respectivamente, así que el mayor número posible es $60$ .

Por lo tanto, la respuesta es D.

Suppose the cuts make an $l\times w$ grid of pieces. The number of interior pieces is $(l-2)(w-2)$ , and the total number of pieces is $lw$ . Since the number of interior pieces equals the number of perimeter pieces, the interior pieces make up half the total:

$(l-2)(w-2)=\frac{lw}{2}.$

Multiplying out gives $lw-4l-4w+8=0$ , or

$(l-4)(w-4)=8.$

The positive factor pairs of $8$ give $(l,w)=(5,12)$ or $(6,8)$ , up to order. These produce $60$ or $48$ pieces, respectively, so the greatest possible number is $60$ .

Thus, the answer is D .

12.

Sea $N = 34 \cdot 34 \cdot 63 \cdot 270$ . ¿Cuál es la razón entre la suma de los divisores impares de $N$ y la suma de los divisores pares de $N$ ?

Let $N = 34 \cdot 34 \cdot 63 \cdot 270.$ What is the ratio of the sum of the odd divisors of $N$ to the sum of the even divisors of $N?$

$1 : 16$

$1 : 15$

$1 : 14$

$1 : 8$

$1 : 3$

Respuesta: C

Conceptos:suma de factores factorización en primos paridad

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

Factorizando en primos, obtenemos $N =2^3\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.$

Si $x$ es un divisor impar de $N$ , entonces $2x,4x,8x$ son divisores pares de $N$ , cuya suma combinada es $14x$ . Si tomamos la suma de todos los divisores impares, la suma de los divisores pares es $14$ veces la suma de los impares. Por lo tanto, la razón pedida es $1:14$ .

Por lo tanto, la respuesta es C.

Using prime factorization, we get $N =2^3\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.$

If we have an odd divisor $x$ of $N,$ then $2x,4x,8x$ are divisors of $N,$ which has a combined sum of $14x.$ If we take the sum of every odd divisor, then the even divisors must have a sum which is $14$ times the sum of the odd divisors. Therefore, the requested ratio is $1:14$ .

Thus, the answer is C .

13.

Sea $n$ un entero positivo y $d$ un dígito tales que el valor del numeral $\underline{32d}$ en base $n$ es igual a $263$ , y el valor del numeral $\underline{324}$ en base $n$ es igual al valor del numeral $\underline{11d1}$ en base seis. ¿Cuánto vale $n + d$ ?

Let $n$ be a positive integer and $d$ be a digit such that the value of the numeral $\underline{32d}$ in base $n$ equals $263,$ and the value of the numeral $\underline{324}$ in base $n$ equals the value of the numeral $\underline{11d1}$ in base six. What is $n + d ?$

$10$

$11$

$13$

$15$

$16$

Respuesta: B

Conceptos:base numérica sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1280

Solución en video:

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Solución escrita:

La primera afirmación significa que $3n^2 + 2n+d = 263.$

De manera similar, la segunda afirmación significa que $3n^2 +2n +4$ $= 6^3 +6^2 +6d+1$ $= 253 + 6d.$

Restando estas ecuaciones obtenemos $4-d = 6d-10$ $7d = 14$ $d=2.$ Por lo tanto $3n^2 + 2n + 2 = 263$ , así que $n(3n+2) = 261$ .

Esto implica $n=9$ . Por lo tanto $n+d = 11$ .

Por lo tanto, la respuesta es B.

The first statement means $3n^2 + 2n+d = 263.$

Similarly, the second statement means $3n^2 +2n +4$ $= 6^3 +6^2 +6d+1$ $= 253 + 6d.$

Subtracting these shows us that $4-d = 6d-10$ $7d = 14$ $d=2.$ Therefore, $3n^2 + 2n + 2 = 263,$ so $n(3n+2) = 261.$

This implies $n=9.$ Therefore, $n+d = 11.$

Thus, the answer is B .

14.

Tres rectas paralelas equidistantes cortan un círculo, formando tres cuerdas de longitudes $38,38$ y $34$ . ¿Cuál es la distancia entre dos rectas paralelas adyacentes?

Three equally spaced parallel lines intersect a circle, creating three chords of lengths $38,38,$ and $34.$ What is the distance between two adjacent parallel lines?

$5\frac12$

$6$

$6\frac12$

$7$

$7\frac12$

Respuesta: B

Conceptos:cuerda círculo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1540

Solución en video:

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Solución escrita:

Las dos cuerdas de longitud $38$ están a la misma distancia del centro del círculo. Como las tres rectas paralelas son equidistantes, esas dos cuerdas iguales deben estar en rectas adyacentes, con el centro a la mitad entre ellas. Sea esa mitad de la distancia $d$ . Entonces cada cuerda de $38$ está a distancia $d$ del centro, y la cuerda de $34$ está a distancia $3d$ del centro.

Si el círculo tiene radio $r$ , entonces

$r^2=19^2+d^2=17^2+(3d)^2.$

Por lo tanto $19^2-17^2=8d^2$ , así que $72=8d^2$ , y $d=3$ . La distancia entre rectas paralelas adyacentes es $2d=6$ .

Por lo tanto, la respuesta es B.

The two chords of length $38$ are equally far from the center of the circle. Because the three parallel lines are equally spaced, those two equal chords must lie on adjacent lines, with the center halfway between them. Let that half-distance be $d$ . Then each $38$ -chord is distance $d$ from the center, and the $34$ -chord is distance $3d$ from the center.

If the circle has radius $r$ , then

$r^2=19^2+d^2=17^2+(3d)^2.$

Thus $19^2-17^2=8d^2$ , so $72=8d^2$ , and $d=3$ . The distance between adjacent parallel lines is $2d=6$ .

Thus, the answer is B .

15.

El número real $x$ satisface la ecuación $x+\frac{1}{x} = \sqrt{5}.$ ¿Cuál es el valor de $x^{11}-7x^{7}+x^3$ ?

The real number $x$ satisfies the equation $x+\frac{1}{x} = \sqrt{5}.$ What is the value of $x^{11}-7x^{7}+x^3?$

$-1$

$0$

$1$

$2$

$\sqrt{5}$

Respuesta: B

Conceptos:manipulación algebraica simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1340

Solución en video:

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Solución escrita:

Como $x+\frac{1}{x} = \sqrt{5},$ al elevar al cuadrado obtenemos $x^2 + 2 + \frac 1{x^2} = 5$ $x^2 + \frac 1{x^2} = 3.$ Al elevar al cuadrado de nuevo: $x^4 + 2 + \frac 1{x^4} = 9$ es decir $x^4 -7 + \frac 1{x^4} = 0.$ Multiplicando por $x^7$ , obtenemos $x^{11}-7x^{7}+x^3=0.$

Por lo tanto, la respuesta es B.

Since $x+\frac{1}{x} = \sqrt{5},$ squaring yields $x^2 + 2 + \frac 1{x^2} = 5$ $x^2 + \frac 1{x^2} = 3.$ Squaring again yields $x^4 + 2 + \frac 1{x^4} = 9$ $x^4 -7 + \frac 1{x^4} = 0.$ Multiplying by $x^7$ yields $x^{11}-7x^{7}+x^3=0.$

Thus, the answer is B .

16.

Llama a un entero positivo entero cuesta arriba si cada dígito es estrictamente mayor que el anterior. Por ejemplo, $1357, 89,$ y $5$ son todos enteros cuesta arriba, pero $32, 1240,$ y $466$ no lo son. ¿Cuántos enteros cuesta arriba son divisibles por $15$ ?

Call a positive integer an uphill integer if every digit is strictly greater than the previous digit. For example, $1357, 89,$ and $5$ are all uphill integers, but $32, 1240,$ and $466$ are not. How many uphill integers are divisible by $15?$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Respuesta: C

Conceptos:subconjuntos divisibilidad

Nivel de dificultad: 1480

Solución en video:

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Solución escrita:

Si un número es divisible por $15,$ su dígito de las unidades es $0$ o $5.$ Si el dígito de las unidades es $0$ y los dígitos son estrictamente crecientes, entonces el número es $0,$ que no es positivo. Por lo tanto, solo hay que considerar los números con dígito de las unidades $5.$

A continuación, buscamos enteros cuesta arriba que sean múltiplos de $3$ . Esto significa que los demás dígitos forman un subconjunto de $\{1,2,3,4\}$ . La suma del conjunto debe tener residuo $1$ al dividir por $3$ . Además, incluir o quitar el $3$ no afecta el residuo, así que podemos contar los subconjuntos sin el $3$ y multiplicar por $2$ . Solo hay $3$ subconjuntos así, a saber $\{1\}, \{4\},$ y $\{1,2,4\}$ . Por lo tanto, hay $6$ subconjuntos en total.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If a number is divisible by $15,$ it has a units digit of $0$ or $5.$ If the units digit is $0$ and the digits are strictly increasing, then the number is $0,$ which isn't positive. Therefore, we can just look at numbers with a units digit of $5.$

Next, we need to find uphill integers that are a multiple of $3.$ This means the other digits are a subset of $\{1,2,3,4\}.$ Taking the sum of the set must have a remainder of $1$ when divided by $3.$ Also, having or taking out $3$ wouldn't affect the remainder, so we can take the number of subsets without a $3$ and multiply it by $2.$ There are only $3$ such subsets, namely $\{1\}, \{4\},$ and $\{1,2,4\}.$ Thus, there are $6$ total subsets.

Thus, the correct answer is C .

17.

Ravon, Oscar, Aditi, Tyrone y Kim juegan a un juego de cartas. A cada persona se le dan $2$ cartas de un conjunto de $10$ cartas numeradas $1,2,3, \dots,10.$ La puntuación de un jugador es la suma de los números de sus cartas. Las puntuaciones de los jugadores son: Ravon-- $11,$ Oscar-- $4,$ Aditi-- $7,$ Tyrone-- $16,$ Kim-- $17.$ ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Ravon, Oscar, Aditi, Tyrone, and Kim play a card game. Each person is given $2$ cards out of a set of $10$ cards numbered $1,2,3, \dots,10.$ The score of a player is the sum of the numbers of their cards. The scores of the players are as follows: Ravon-- $11,$ Oscar-- $4,$ Aditi-- $7,$ Tyrone-- $16,$ Kim-- $17.$ Which of the following statements is true?

A Ravon le dieron la carta 3.

Ravon was given card 3.

A Aditi le dieron la carta 3.

Aditi was given card 3.

A Ravon le dieron la carta 4.

Ravon was given card 4.

A Aditi le dieron la carta 4.

Aditi was given card 4.

A Tyrone le dieron la carta 7.

Tyrone was given card 7.

Respuesta: C

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1420

Solución en video:

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Solución escrita:

Si Oscar tiene $2$ cartas que suman $4,$ debe tener el $1$ y el $3.$ Esto elimina las opciones A y B.

Si Aditi tiene $2$ cartas que suman $7,$ debe tener el $2$ y el $5,$ de modo que no tiene el $1$ ni el $3.$

Si alguien tiene el $4,$ su suma debe ser a lo sumo $14,$ pues la otra carta es a lo sumo $10.$ Por lo tanto, Ravon debe tener el $4$ y el $7,$ lo que hace verdadera C y falsas D y E.

Por lo tanto, la respuesta es C.

If there are $2$ cards for Oscar that add up to $4,$ he must have both $1$ and $3.$ This eliminates choices A and B.

If there are $2$ cards for Aditi that add up to $7,$ he must have both $2$ and $5$ so she doesn't have $1$ and $3.$

If someone has $4,$ their sum must be equal to or under $14$ since the other number must be under or equal to $10.$ Thus, Ravon must have the $4$ and $7,$ making C true and D and E false.

Thus, the answer is C .

18.

Se lanza repetidamente un dado justo de $6$ caras hasta que aparece un número impar. ¿Cuál es la probabilidad de que cada número par aparezca al menos una vez antes de la primera aparición de un número impar?

A fair $6$ -sided die is repeatedly rolled until an odd number appears. What is the probability that every even number appears at least once before the first occurrence of an odd number?

$\dfrac{1}{120}$

$\dfrac{1}{32}$

$\dfrac{1}{20}$

$\dfrac{3}{20}$

$\dfrac{1}{6}$

Respuesta: C

Conceptos:dados (probabilidad)probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1220

Solución en video:

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Solución escrita:

La probabilidad de que el primer número sea par es $\frac 36$ .

La probabilidad de que el segundo número distinto sea par es $\frac 25$ .

La probabilidad de que el tercer número distinto sea par es $\frac 14$ .

La probabilidad combinada es $\dfrac{3\cdot 2\cdot 1}{6\cdot 5\cdot 4} = \dfrac 1{20}.$

Por lo tanto, la respuesta es C.

The probability that the first number is even is $\frac 36.$

The probability that the second distinct number is even is $\frac 25.$

The probability that the third distinct number is even is $\frac 14.$

The combined probability is $\dfrac{3\cdot 2\cdot 1}{6\cdot 5\cdot 4} = \dfrac 1{20}.$

Thus, the answer is C .

19.

Supón que $S$ es un conjunto finito de enteros positivos.

Si se elimina de $S$ el mayor entero de $S,$ entonces el valor promedio (media aritmética) de los enteros restantes es $32.$ Si además se elimina el menor entero de $S,$ entonces el valor promedio de los enteros restantes es $35.$ Si luego se devuelve el mayor entero al conjunto, el valor promedio sube a $40.$ El mayor entero del conjunto original $S$ es $72$ mayor que el menor entero de $S.$

¿Cuál es el valor promedio de todos los enteros del conjunto $S$ ?

Suppose that $S$ is a finite set of positive integers.

If the greatest integer in $S$ is removed from $S,$ then the average value (arithmetic mean) of the integers remaining is $32.$ If the least integer in $S$ is also removed, then the average value of the integers remaining is $35.$ If the greatest integer is then returned to the set, the average value of the integers rises to $40.$ The greatest integer in the original set $S$ is $72$ greater than the least integer in $S.$

What is the average value of all the integers in the set $S?$

$36.2$

$36.4$

$36.6$

$36.8$

$37$

Respuesta: D

Conceptos:media sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1540

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $s$ la suma de todos los enteros, $g$ el mayor número, $l$ el menor número, y $n$ el tamaño de $S$ .

De la información dada, sabemos que $\dfrac{s-l}{n-1} = 40$ $\dfrac{s-g}{n-1} = 32.$ Restando estas ecuaciones obtenemos $\dfrac{g-l}{n-1} = 8.$ Como sabemos que $g-l=72,$ tenemos $\frac{72}{n-1} =8$ , así que $n=10$ .

También sabemos que $\dfrac{s-g-l}{n-2} = 35,$ así que $s-g-l = 8\cdot 35$ $=280.$ Como $\dfrac{s-l}{n-1} = 40,$ sabemos que $s-l = 360$ . Esto hace $g=80$ . Usando $g=l+72$ , obtenemos $l=8$ , así que $s=368$ .

El promedio es $\dfrac sn = \dfrac{368}{10}$ $= 36.8.$

Por lo tanto, la respuesta es D.

Let the sum of all the integers be $s,$ the greatest number be $g,$ the least number be $l,$ and the size of $S$ be $n.$

From the info given, we know $\dfrac{s-l}{n-1} = 40$ $\dfrac{s-g}{n-1} = 32.$ Subtracting these yields $\dfrac{g-l}{n-1} = 8.$ Since we know $g-l=72,$ we know $\frac{72}{n-1} =8,$ so $n=10.$

We also know $\dfrac{s-g-l}{n-2} = 35,$ so $s-g-l = 8\cdot 35$ $=280.$ Since $\dfrac{s-l}{n-1} = 40,$ we know $s-l = 360.$ This makes $g=80.$ Using $g=l+72,$ we get $l=8.$ Thus, $s=368.$

The average is $\dfrac sn = \dfrac{368}{10}$ $= 36.8.$

Thus, the answer is D .

20.

La figura está construida con $11$ segmentos de recta, cada uno de longitud $2$ . El área del pentágono $ABCDE$ se puede escribir como $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

The figure is constructed from $11$ line segments, each of which has length $2.$ The area of pentagon $ABCDE$ can be written as $\sqrt{m} + \sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers. What is $m + n ?$

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

Respuesta: D

Conceptos:descomposición de áreas triángulo equilátero triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

Los segmentos de igual longitud muestran que las piezas laterales cerca de $B$ y $E$ están formadas por mitades de triángulos equiláteros de lado $2$ . Un triángulo equilátero de lado $2$ tiene altura $\sqrt3$ y área $\sqrt3$ , así que las dos piezas laterales juntas aportan un área de $2\sqrt3=\sqrt{12}$ .

El triángulo central restante es $\triangle ACD$ . Por las mismas alturas de triángulos equiláteros, $AC=AD=2\sqrt3=\sqrt{12}$ , y $CD=2$ . Su altura hacia $CD$ es

$\sqrt{(\sqrt{12})^2-1^2}=\sqrt{11}.$

Por lo tanto, el área de $\triangle ACD$ es $\frac12\cdot2\cdot\sqrt{11}=\sqrt{11}$ . El área total del pentágono es

$\sqrt{12}+\sqrt{11},$

así que $m+n=12+11=23$ .

Por lo tanto, la respuesta es D.

The equal length segments show that the side pieces near $B$ and $E$ are made from halves of equilateral triangles of side length $2$ . An equilateral triangle of side length $2$ has altitude $\sqrt3$ and area $\sqrt3$ , so the two side pieces together contribute area $2\sqrt3=\sqrt{12}$ .

The remaining central triangle is $\triangle ACD$ . From the same equilateral-triangle altitudes, $AC=AD=2\sqrt3=\sqrt{12}$ , and $CD=2$ . Its altitude to $CD$ is

$\sqrt{(\sqrt{12})^2-1^2}=\sqrt{11}.$

Therefore the area of $\triangle ACD$ is $\frac12\cdot2\cdot\sqrt{11}=\sqrt{11}$ . The pentagon's total area is

$\sqrt{12}+\sqrt{11},$

so $m+n=12+11=23$ .

Thus, the answer is D .

21.

Una hoja de papel cuadrada tiene lado $1$ y vértices $A,B,C,$ y $D$ en ese orden. Como se muestra en la figura, el papel se dobla de modo que el vértice $C$ toca el lado $\overline{AD}$ en el punto $C'$ , y el lado $\overline{BC}$ corta al lado $\overline{AB}$ en el punto $E$ . Supón que $C'D = \frac{1}{3}$ . ¿Cuál es el perímetro del triángulo $\bigtriangleup AEC'$ ?

A square piece of paper has side length $1$ and vertices $A,B,C,$ and $D$ in that order. As shown in the figure, the paper is folded so that vertex $C$ meets edge $\overline{AD}$ at point $C',$ and edge $\overline{BC}$ intersects edge $\overline{AB}$ at point $E.$ Suppose that $C'D = \frac{1}{3}.$ What is the perimeter of triangle $\bigtriangleup AEC' ?$

$2$

$1+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}$

$\dfrac{13}{6}$

$1 + \dfrac{3}{4}\sqrt{3}$

$\dfrac{7}{3}$

Respuesta: A

Conceptos:plegado de papel geometría analítica

Nivel de dificultad: 2230

Solución en video:

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Solución escrita:

Usa coordenadas con $A=(0,1)$ , $B=(0,0)$ , $C=(1,0)$ y $D=(1,1)$ . Como $C'D=\frac13$ , tenemos $C'=(\frac23,1)$ , así que $AC'=\frac23$ .

El doblez refleja $C$ a $C'$ , así que la imagen del lado $BC$ es la recta que pasa por $C'$ y $E$ . Reflejar $B=(0,0)$ respecto a la mediatriz de $CC'$ da $(-\frac{2}{15},\frac25)$ . La recta que pasa por este punto y $C'$ corta a $AB$ en $E=(0,\frac12)$ .

Por lo tanto $AE=\frac12$ , y

$EC'=\sqrt{\left(\frac23\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\frac56.$

El perímetro de $\triangle AEC'$ es

$\frac12+\frac23+\frac56=2.$

Por lo tanto, la respuesta es A.

Use coordinates with $A=(0,1)$ , $B=(0,0)$ , $C=(1,0)$ , and $D=(1,1)$ . Since $C'D=\frac13$ , we have $C'=(\frac23,1)$ , so $AC'=\frac23$ .

The fold reflects $C$ to $C'$ , so the image of side $BC$ is the line through $C'$ and $E$ . Reflecting $B=(0,0)$ across the perpendicular bisector of $CC'$ gives $(-\frac{2}{15},\frac25)$ . The line through this point and $C'$ meets $AB$ at $E=(0,\frac12)$ .

Thus $AE=\frac12$ , and

$EC'=\sqrt{\left(\frac23\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\frac56.$

The perimeter of $\triangle AEC'$ is

$\frac12+\frac23+\frac56=2.$

Thus, the answer is A .

22.

Ang, Ben y Jasmin tienen cada uno $5$ bloques, de colores rojo, azul, amarillo, blanco y verde; y hay $5$ cajas vacías. Cada persona, de forma aleatoria e independiente de las otras dos, coloca uno de sus bloques en cada caja. La probabilidad de que al menos una caja reciba $3$ bloques todos del mismo color es $\frac{m}{n}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

Ang, Ben, and Jasmin each have $5$ blocks, colored red, blue, yellow, white, and green; and there are $5$ empty boxes. Each of the people randomly and independently of the other two people places one of their blocks into each box. The probability that at least one box receives $3$ blocks all of the same color is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n ?$

$47$

$94$

$227$

$471$

$542$

Respuesta: D

Conceptos:inclusión-exclusión permutaciones probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2150

Solución en video:

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Solución escrita:

Fija la colocación de Ang y etiqueta cada caja con el color que Ang puso en ella. Ben y Jasmin eligen cada uno una permutación de los cinco colores, así que hay $(5!)^2$ pares de colocaciones igualmente probables.

Para que un conjunto especificado de $k$ cajas reciba tres bloques del mismo color, tanto Ben como Jasmin deben coincidir con Ang en esas $k$ cajas. Esto puede ocurrir de $((5-k)!)^2$ maneras. Por inclusión-exclusión, el número de pares de colocaciones exitosos es

$\begin{aligned} &\binom51(4!)^2-\binom52(3!)^2 \\ &\quad {}+\binom53(2!)^2-\binom54(1!)^2 \\ &\quad {}+\binom55(0!)^2. \end{aligned}$

Esto es igual a

$2880-360+40-5+1=2556.$

Por lo tanto, la probabilidad es

$\frac{2556}{(5!)^2}=\frac{2556}{14400}=\frac{71}{400}.$

Por lo tanto $m+n=71+400=471$ .

Por lo tanto, la respuesta es D.

Fix Ang's placement and label each box by the color Ang put in it. Ben and Jasmin each choose a permutation of the five colors, so there are $(5!)^2$ equally likely pairs of placements.

For a specified set of $k$ boxes to receive three blocks of the same color, both Ben and Jasmin must match Ang in those $k$ boxes. This can happen in $((5-k)!)^2$ ways. By inclusion-exclusion, the number of successful placement pairs is

$\begin{aligned} &\binom51(4!)^2-\binom52(3!)^2 \\ &\quad {}+\binom53(2!)^2-\binom54(1!)^2 \\ &\quad {}+\binom55(0!)^2. \end{aligned}$

This equals

$2880-360+40-5+1=2556.$

Therefore the probability is

$\frac{2556}{(5!)^2}=\frac{2556}{14400}=\frac{71}{400}.$

Thus $m+n=71+400=471$ .

Thus, the answer is D .

23.

Un cuadrado de lado $8$ está sin sombrear excepto por $4$ regiones triangulares rectángulas isósceles sombreadas con catetos de longitud $2$ en cada esquina del cuadrado y un rombo sombreado de lado $2\sqrt{2}$ en el centro del cuadrado, como se muestra en el diagrama.

Una moneda circular de diámetro $1$ se deja caer sobre el cuadrado y cae en una posición aleatoria en la que la moneda queda completamente contenida dentro del cuadrado. La probabilidad de que la moneda cubra parte de la región sombreada del cuadrado se puede escribir como $\frac{1}{196}\left(a+b\sqrt{2}+\pi\right)$ , donde $a$ y $b$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $a+b$ ?

A square with side length $8$ is unshaded except for $4$ shaded isosceles right triangular regions with legs of length $2$ in each corner of the square and a shaded diamond with side length $2\sqrt{2}$ in the center of the square, as shown in the diagram.

A circular coin with diameter $1$ is dropped onto the square and lands in a random location where the coin is completely contained within the square. The probability that the coin will cover part of the shaded region of the square can be written as $\frac{1}{196}\left(a+b\sqrt{2}+\pi\right),$ where $a$ and $b$ are positive integers. What is $a+b?$

$64$

$66$

$68$

$70$

$72$

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad geométrica descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

La moneda tiene radio $\frac12$ , así que su centro se distribuye uniformemente sobre un cuadrado de $7\times7$ de área $49$ .

Un triángulo sombreado de una esquina aporta el conjunto de posiciones del centro a distancia $\frac12$ de ese triángulo, dentro del cuadrado de centros permitido. Para cada esquina esto es un triángulo rectángulo isósceles cuya altura es $\frac{1+\sqrt2}{2}$ , así que su área es

$\left(\frac{1+\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{3+2\sqrt2}{4}.$

Las cuatro esquinas aportan $3+2\sqrt2$ .

El rombo sombreado central es un cuadrado de lado $2\sqrt2$ . Al expandirlo una distancia $\frac12$ se añaden cuatro rectángulos de área total $4\sqrt2$ y cuatro cuartos de círculo de área total $\frac\pi4$ , además del área del rombo $8$ . Así, la contribución del centro es

$8+4\sqrt2+\frac\pi4.$

El área favorable es

$\begin{aligned} &3+2\sqrt2+8+4\sqrt2+\frac\pi4 \\ &=11+6\sqrt2+\frac\pi4. \end{aligned}$

La probabilidad es

$\begin{aligned} &\frac{11+6\sqrt2+\frac\pi4}{49} \\ &=\frac{44+24\sqrt2+\pi}{196}. \end{aligned}$

Así que $a+b=44+24=68$ .

Por lo tanto, la respuesta es C.

The coin has radius $\frac12$ , so its center is uniformly distributed over a $7\times7$ square of area $49$ .

A shaded corner triangle contributes the set of center positions within distance $\frac12$ of that triangle, inside the allowed center square. For each corner this is a right isosceles triangle whose altitude is $\frac{1+\sqrt2}{2}$ , so its area is

$\left(\frac{1+\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{3+2\sqrt2}{4}.$

All four corners contribute $3+2\sqrt2$ .

The center shaded diamond is a square of side $2\sqrt2$ . Expanding it by distance $\frac12$ adds four rectangles of total area $4\sqrt2$ and four quarter-circles of total area $\frac\pi4$ , in addition to the diamond's area $8$ . Thus the center contribution is

$8+4\sqrt2+\frac\pi4.$

The favorable area is

$\begin{aligned} &3+2\sqrt2+8+4\sqrt2+\frac\pi4 \\ &=11+6\sqrt2+\frac\pi4. \end{aligned}$

The probability is

$\begin{aligned} &\frac{11+6\sqrt2+\frac\pi4}{49} \\ &=\frac{44+24\sqrt2+\pi}{196}. \end{aligned}$

So $a+b=44+24=68$ .

Thus, the answer is C .

24.

Arjun y Beth juegan a un juego en el que se turnan para quitar un ladrillo o dos ladrillos adyacentes de una "pared" entre un conjunto de varias paredes de ladrillos, donde los huecos pueden crear nuevas paredes. Las paredes tienen un ladrillo de altura. Por ejemplo, un conjunto de paredes de tamaños $4$ y $2$ puede transformarse en cualquiera de las siguientes con un movimiento: $(3,2),(2,1,2),(4),(4,1),(2,2)$ o $(1,1,2).$

Arjun juega primero, y el jugador que quita el último ladrillo gana. ¿Para qué configuración inicial existe una estrategia que garantiza la victoria de Beth?

Arjun and Beth play a game in which they take turns removing one brick or two adjacent bricks from one "wall" among a set of several walls of bricks, with gaps possibly creating new walls. The walls are one brick tall. For example, a set of walls of sizes $4$ and $2$ can be changed into any of the following by one move: $(3,2),(2,1,2),(4),(4,1),(2,2),$ or $(1,1,2).$

Arjun plays first, and the player who removes the last brick wins. For which starting configuration is there a strategy that guarantees a win for Beth?

$(6,1,1)$

$(6,2,1)$

$(6,2,2)$

$(6,3,1)$

$(6,3,2)$

Respuesta: B

Conceptos:juego combinatorio

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Para una sola pared de longitud $n$ , calcula su valor de Sprague-Grundy a partir de los movimientos posibles. Para las longitudes de pared necesarias aquí, los valores son

$\begin{aligned} &g(1)=1,\quad g(2)=2, \\ &g(3)=3,\quad g(4)=1, \\ &g(5)=4,\quad g(6)=3. \end{aligned}$

Para varias paredes, la posición es perdedora para el jugador en turno exactamente cuando el xor de los valores de las paredes es $0$ . Evaluando las opciones se obtiene

$(6,1,1): 3\oplus1\oplus1=3,$

$(6,2,1): 3\oplus2\oplus1=0,$

$(6,2,2): 3\oplus2\oplus2=3,$

$(6,3,1): 3\oplus3\oplus1=1,$

$(6,3,2): 3\oplus3\oplus2=2.$

Solo $(6,2,1)$ es perdedora para el jugador en turno, así que Beth tiene la victoria garantizada exactamente en esa configuración inicial.

Por lo tanto, la respuesta es B.

For a single wall of length $n$ , compute its Sprague-Grundy value from the possible moves. For the wall lengths needed here, the values are

$\begin{aligned} &g(1)=1,\quad g(2)=2, \\ &g(3)=3,\quad g(4)=1, \\ &g(5)=4,\quad g(6)=3. \end{aligned}$

For several walls, the position is losing for the player to move exactly when the xor of the wall values is $0$ . Evaluating the choices gives

$(6,1,1): 3\oplus1\oplus1=3,$

$(6,2,1): 3\oplus2\oplus1=0,$

$(6,2,2): 3\oplus2\oplus2=3,$

$(6,3,1): 3\oplus3\oplus1=1,$

$(6,3,2): 3\oplus3\oplus2=2.$

Only $(6,2,1)$ is losing for the player to move, so Beth has a guaranteed win exactly for that starting configuration.

Thus, the answer is B .

25.

Sea $S$ el conjunto de puntos reticulares del plano coordenado cuyas dos coordenadas son enteros entre $1$ y $30,$ inclusive. Exactamente $300$ puntos de $S$ están sobre o debajo de una recta con ecuación $y=mx$ . Los valores posibles de $m$ forman un intervalo de longitud $\frac ab$ , donde $a$ y $b$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $a+b$ ?

Let $S$ be the set of lattice points in the coordinate plane, both of whose coordinates are integers between $1$ and $30,$ inclusive. Exactly $300$ points in $S$ lie on or below a line with equation $y=mx.$ The possible values of $m$ lie in an interval of length $\frac ab,$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers. What is $a+b?$

$31$

$47$

$62$

$72$

$85$

Respuesta: E

Conceptos:punto reticular funciones piso y techo

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Para una pendiente fija $m$ , el número de puntos de $S$ sobre o debajo de $y=mx$ es

$\sum_{x=1}^{30}\lfloor mx\rfloor,$

para las pendientes cercanas a la respuesta.

En $m=\frac23$ , agrupando $x=3k+1,3k+2,3k+3$ para $k=0,1,\ldots,9$ se obtiene

$\lfloor 2x/3\rfloor=2k,\ 2k+1, \ 2k+2,$

cuya suma en cada bloque es $6k+3$ . Así, el total es

$\sum_{k=0}^9(6k+3)=270+30=300.$

Si $m<\frac23$ , los diez puntos con razones $y/x=2/3$ ya no se cuentan, así que el conteo es menor que $300$ . Por lo tanto, el extremo inferior es $\frac23$ .

La siguiente razón posible $y/x$ mayor que $\frac23$ , con $1\le x,y\le30$ , se minimiza revisando $x$ módulo $3$ . Los mejores candidatos son

$\frac{19}{28},\qquad \frac{20}{29},\qquad \frac{21}{30}=\frac{7}{10},$

y el menor es $\frac{19}{28}$ . Por lo tanto, la longitud del intervalo es

$\frac{19}{28}-\frac23=\frac1{84}.$

Por lo tanto $a+b=1+84=85$ .

Por lo tanto, la respuesta es E.

For a fixed slope $m$ , the number of points in $S$ on or below $y=mx$ is

$\sum_{x=1}^{30}\lfloor mx\rfloor,$

for the slopes near the answer.

At $m=\frac23$ , grouping $x=3k+1,3k+2,3k+3$ for $k=0,1,\ldots,9$ gives

$\lfloor 2x/3\rfloor=2k,\ 2k+1, \ 2k+2,$

whose sum over each block is $6k+3$ . Thus the total is

$\sum_{k=0}^9(6k+3)=270+30=300.$

If $m<\frac23$ , the ten points with ratios $y/x=2/3$ are no longer counted, so the count is less than $300$ . Therefore the lower end is $\frac23$ .

The next possible ratio $y/x$ greater than $\frac23$ , with $1\le x,y\le30$ , is minimized by checking $x$ modulo $3$ . The best candidates are

$\frac{19}{28},\qquad \frac{20}{29},\qquad \frac{21}{30}=\frac{7}{10},$

and the smallest is $\frac{19}{28}$ . Hence the interval length is

$\frac{19}{28}-\frac23=\frac1{84}.$

Thus $a+b=1+84=85$ .

Thus, the answer is E .

Problemas del 2021 AMC 10B Spring

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: C

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: D

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: A

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: D

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: A

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: D

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: B

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: B

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: D

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: A

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: D

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: E

Solución: