Question

Carlos usa un código de $4$ dígitos para desbloquear su computadora. En su código, exactamente un dígito es par, exactamente un dígito (posiblemente distinto) es primo, y ningún dígito es $0.$ ¿Cuántos códigos de $4$ dígitos satisfacen estas condiciones?

Carlos uses a $4$ -digit passcode to unlock his computer. In his passcode, exactly one digit is even, exactly one (possibly different) digit is prime, and no digit is $0.$ How many $4$ -digit passcodes satisfy these conditions?

$176$

$192$

$432$

$464$

$608$

Solución:

Ningún dígito es $0,$ así que los dígitos van de $1$ a $9.$ Por ahora coloca el único dígito par en la primera casilla y multiplica por $4$ al final para ubicarlo. Divide según ese dígito par. Si es el primo $2,$ entonces los tres dígitos impares deben ser todos no primos, así que cada uno es $1$ o $9,$ dando $2^3 = 8$ formas. En caso contrario el dígito par es $4, 6,$ u $8$ ( $3$ opciones), y exactamente uno de los dígitos impares es primo, valiendo $3, 5,$ o $7$ ( $3$ opciones) en una de las $3$ posiciones impares, mientras que los otros dos impares provienen de $\{1, 9\}$ ( $2^2$ formas). Eso es $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 = 108.$ En total, $4(8 + 108) = 464.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

No digit is $0,$ so digits run from $1$ to $9.$ Put the single even digit in the first slot for now and multiply by $4$ at the end to place it. Split on that even digit. If it's the prime $2,$ then the three odd digits all have to be non-prime, so each is $1$ or $9,$ giving $2^3 = 8$ ways. Otherwise the even digit is $4, 6,$ or $8$ ( $3$ choices), and exactly one of the odd digits is prime, worth $3, 5,$ or $7$ ( $3$ choices) in one of the $3$ odd positions, while the other two odds come from $\{1, 9\}$ ( $2^2$ ways). That's $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 = 108.$ Altogether, $4(8 + 108) = 464.$ Therefore, the answer is D.

2025 AMC 10A Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años