Question

Se lanza un par de dados justos de $6$ caras $n$ veces. ¿Cuál es el menor valor de $n$ tal que la probabilidad de que la suma de los números que quedan hacia arriba en un lanzamiento sea igual a $7$ al menos una vez sea mayor que $\dfrac{1}{2}$ ?

A pair of fair $6$ -sided dice is rolled $n$ times. What is the least value of $n$ such that the probability that the sum of the numbers face up on a roll equals $7$ at least once is greater than $\dfrac{1}{2}?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Solución:

Para calcular esto, también podemos encontrar el menor $n$ tal que la probabilidad de no obtener un $7$ sea menor que $\dfrac 12.$ Cada lanzamiento tiene una probabilidad independiente de $\dfrac 16$ de obtener $7,$ por lo que tiene una probabilidad de $\dfrac 56$ de no caer en $7.$

Así, la probabilidad de que ninguno de los lanzamientos sea $7$ es $\left(\dfrac 56\right)^n.$ Debemos encontrar el menor $n$ tal que $\left(\dfrac 56\right)^n < \dfrac 12.$

Si $n=3,$ entonces la probabilidad es $\dfrac{125}{216},$ que es mayor que $\dfrac 12.$

Si $n=4,$ entonces la probabilidad es $\dfrac{625}{1296},$ que es menor que $\dfrac 12.$ Esto hace que la respuesta sea $4.$

Así, la respuesta es C.

To compute this, we can also find the least $n$ such that the probability of not rolling a $7$ is less than $\dfrac 12.$ Each roll has an independent probability of $\dfrac 16$ of getting $7,$ so it has a $\dfrac 56$ probability of not landing on $7.$

Thus, the probability of none of the rolls being $7$ is $\left(\dfrac 56\right)^n.$ We must find the least $n$ such that $\left(\dfrac 56\right)^n < \dfrac 12.$

If $n=3,$ then the probability is $\dfrac{125}{216},$ which is greater than $\dfrac 12.$

If $n=4,$ then the probability is $\dfrac{625}{1296},$ which is less than $\dfrac 12.$ This makes the answer $4.$

Thus, the answer is C .

2022 AMC 10B Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años