Question

La representación en base nueve del número $N$ es $27,006,000,052_9.$ ¿Cuál es el residuo cuando $N$ se divide entre $5$ ?

The base-nine representation of the number $N$ is $27,006,000,052_9.$ What is the remainder when $N$ is divided by $5?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Solución:

Nota que $9 \equiv -1 \pmod{5}.$ Entonces, si desarrollamos $N$ usando la definición de las bases, obtenemos $N = 2 \cdot 9^{10} + 7 \cdot 9^9 + 6 \cdot 9^6 +$ $5 \cdot 9 + 2$ $\equiv 2 (-1)^{10} + 7 (-1)^9 + 6 (-1)^6 +$ $5 (-1) + 2 \pmod{5}$ $\equiv 2 - 7 + 6 - 5 + 2 \pmod{5}$ $\equiv 3 \pmod{5}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that $9 \equiv -1 \pmod{5}.$ Then if expand $N$ using the definition of bases, we get $N = 2 \cdot 9^{10} + 7 \cdot 9^9 + 6 \cdot 9^6 +$ $5 \cdot 9 + 2$ $\equiv 2 (-1)^{10} + 7 (-1)^9 + 6 (-1)^6 +$ $5 (-1) + 2 \pmod{5}$ $\equiv 2 - 7 + 6 - 5 + 2 \pmod{5}$ $\equiv 3 \pmod{5}.$

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años