Question

El segmento $AB$ es un diámetro de un círculo con $AB = 24.$ El punto $C,$ distinto de $A$ y $B,$ está en el círculo. A medida que el punto $C$ se mueve alrededor del círculo, el centroide (centro de masa) de $\triangle ABC$ traza una curva cerrada a la que le faltan dos puntos. Redondeando al entero positivo más cercano, ¿cuál es el área de la región limitada por esta curva?

Line segment $AB$ is a diameter of a circle with $AB = 24.$ Point $C,$ not equal to $A$ or $B,$ lies on the circle. As point $C$ moves around the circle, the centroid (center of mass) of $\triangle ABC$ traces out a closed curve missing two points. To the nearest positive integer, what is the area of the region bounded by this curve?

$25$

$38$

$50$

$63$

$75$

Solución:

Coloca el centro $O$ en el origen, de modo que $A = (-12, 0)$ y $B = (12, 0),$ mientras que $C$ recorre el círculo de radio $12.$ Entonces $A + B = 0,$ así que el centroide es $\tfrac13(A + B + C) = \tfrac13 C.$ A medida que $C$ da la vuelta, $\tfrac13 C$ traza un círculo de radio $\tfrac{12}{3} = 4$ (menos los dos puntos donde $C = A$ o $B$ ). Su área es $\pi \cdot 4^2 = 16\pi \approx 50.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

Put the center $O$ at the origin, so $A = (-12, 0)$ and $B = (12, 0),$ while $C$ runs over the circle of radius $12.$ Then $A + B = 0,$ so the centroid is $\tfrac13(A + B + C) = \tfrac13 C.$ As $C$ circles, $\tfrac13 C$ traces a circle of radius $\tfrac{12}{3} = 4$ (minus the two points where $C = A$ or $B$ ). Its area is $\pi \cdot 4^2 = 16\pi \approx 50.$ Therefore, the answer is C.

2018 AMC 10B Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años