Question

¿Cuántos pares ordenados de números reales $(x,y)$ satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones? $\begin{cases} ~x+3y&=3 \\ ~\big||x|-|y|\big|&=1 \end{cases}$

How many ordered pairs of real numbers $(x,y)$ satisfy the following system of equations? $\begin{cases} ~x+3y&=3 \\ ~\big||x|-|y|\big|&=1 \end{cases}$

$1$

$2$

$3$

$4$

$8$

Solución:

La segunda ecuación dice que $|x|-|y|=1$ o $|x|-|y|=-1$ , así que basta con revisar las cuatro posibilidades lineales $x=y\pm1$ y $x=-y\pm1$ .

Combinándolas con $x+3y=3$ se obtiene $(x,y)=\left(\dfrac32,\dfrac12\right)$ , $(0,1)$ , de nuevo $(0,1)$ , y $(-3,2)$ .

Estos son tres pares ordenados distintos, y cada uno satisface la ecuación original con valor absoluto. Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The second equation says $|x|-|y|=1$ or $|x|-|y|=-1$ , so it is enough to check the four linear possibilities $x=y\pm1$ and $x=-y\pm1$ .

Combining these with $x+3y=3$ gives $(x,y)=\left(\dfrac32,\dfrac12\right)$ , $(0,1)$ , $(0,1)$ again, and $(-3,2)$ .

These are three distinct ordered pairs, and each satisfies the original absolute-value equation. Thus, C is the correct answer.

2018 AMC 10A Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años