Soluciones del 2018 AMC 10A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de $\left(\left((2+1)^{-1}+1\right)^{-1}+1\right)^{-1}+1?$

What is the value of $\left(\left((2+1)^{-1}+1\right)^{-1}+1\right)^{-1}+1?$

$\dfrac{5}{8}$

$\dfrac{11}{7}$

$\dfrac{8}{5}$

$\dfrac{18}{11}$

$\dfrac{15}{8}$

Conceptos:fracción orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Trabaja desde el recíproco más interno hacia afuera.

Work from the innermost reciprocal outward

Pista grande:

Después de cada paso con recíproco, simplifica antes de sumar el siguiente $1$ .

After each reciprocal step, simplify before adding the next $1$

Solución:

Podemos simplificar de la siguiente manera: $\begin{aligned} &\left(\left((2+1)^{-1}+1\right)^{-1}+1\right)^{-1}+1 \\ &=\left(\left(\dfrac{1}{3}+1\right)^{-1}+1\right)^{-1}+1 \\ &=\left(\dfrac{3}{4}+1\right)^{-1}+1 \\ &=\dfrac{4}{7} + 1 \\ &=\dfrac{11}{7} \end{aligned}$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can simplify this as follows. $\begin{aligned} &\left(\left((2+1)^{-1}+1\right)^{-1}+1\right)^{-1}+1 \\ &=\left(\left(\dfrac{1}{3}+1\right)^{-1}+1\right)^{-1}+1 \\ &=\left(\dfrac{3}{4}+1\right)^{-1}+1 \\ &=\dfrac{4}{7} + 1 \\ &=\dfrac{11}{7} \end{aligned}$

Thus, B is the correct answer.

2.

Liliane tiene $50\%$ más refresco que Jacqueline, y Alice tiene $25\%$ más refresco que Jacqueline. ¿Cuál es la relación entre las cantidades de refresco que tienen Liliane y Alice?

Liliane has $50\%$ more soda than Jacqueline, and Alice has $25\%$ more soda than Jacqueline. What is the relationship between the amounts of soda that Liliane and Alice have?

Liliane tiene $20\%$ más refresco que Alice.

Liliane has $20\%$ more soda than Alice.

Liliane tiene $25\%$ más refresco que Alice.

Liliane has $25\%$ more soda than Alice.

Liliane tiene $45\%$ más refresco que Alice.

Liliane has $45\%$ more soda than Alice.

Liliane tiene $75\%$ más refresco que Alice.

Liliane has $75\%$ more soda than Alice.

Liliane tiene $100\%$ más refresco que Alice.

Liliane has $100\%$ more soda than Alice.

Conceptos:porcentaje razón y proporción

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Usa la cantidad de Jacqueline como variable base.

Use Jacqueline’s amount as the base variable

Pista grande:

Compara la cantidad de Liliane directamente con la de Alice.

Compare Liliane’s amount directly to Alice’s amount

Solución:

Sea $x$ el número de galones de refresco que tiene Jacqueline. Entonces Alice tiene $1.25x$ galones y Liliane tiene $1.5x$ galones.

Por lo tanto, la relación se obtiene dividiendo las cantidades de refresco de cada una: $\dfrac{1.5x}{1.25x}=1.2,$ lo que significa que Liliane tiene $20\%$ más refresco que Alice.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $x$ be the number of gallons of soda that Jacqueline has. Then Alice has $1.25x$ gallons, and Liliane has $1.5x$ gallons.

Therefore, the relationship can be found by dividing the amount of soda that each has to yield $\dfrac{1.5x}{1.25x}=1.2,$ which means Liliane has $20\%$ more soda than Alice.

Thus, A is the correct answer.

3.

Una unidad de sangre caduca después de $10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdots 1$ segundos. Yasin dona una unidad de sangre al mediodía del $1$ de enero. ¿En qué día caduca su unidad de sangre?

A unit of blood expires after $10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdots 1$ seconds. Yasin donates a unit of blood at noon on January $1.$ On what day does his unit of blood expire?

$2$ de enero

January $2$

$12$ de enero

January $12$

$22$ de enero

January $22$

$11$ de febrero

February $11$

$12$ de febrero

February $12$

Conceptos:factorial conversión de unidades fecha y hora

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Convierte $10!$ segundos en días.

Convert $10!$ seconds into days

Pista grande:

Usa $60\cdot60\cdot24$ segundos por día.

Use $60\cdot60\cdot24$ seconds per day

Solución:

Podemos dividir $10!$ entre $60,$ $60,$ y $24$ para obtener el número de días que tarda una unidad de sangre en caducar.

La primera división cancela un $6$ y un $10.$ La segunda división cancela $3, 4,$ y $5.$ La última división cancela $8$ y convierte el $9$ en un $3.$

Quedan $2, 7,$ y $3,$ cuyo producto es $42.$ Enero tiene $31$ días, así que para el $1$ de febrero, a la sangre solo le quedan $42 - 31 = 11$ días.

$11$ días después del $1$ de febrero, la sangre caducará el $12$ de febrero.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

We can divide $10!$ by $60,$ $60,$ and $24$ to get the number of days that it takes for a unit of blood to expire.

The first division cancels a $6$ and $10.$ The second division cancels $3, 4,$ and $5.$ The final division cancels $8$ and turns the $9$ into a $3.$

This leaves $2, 7,$ and a $3,$ which multiply to $42.$ There are $31$ days in January, so by February $1,$ the blood only has $42 - 31 = 11$ days left.

$11$ days from February $1$ would make the blood expire on February $12.$

Thus, E is the correct answer.

4.

¿De cuántas maneras puede un estudiante programar $3$ cursos de matemáticas, álgebra, geometría y teoría de números, en un día de $6$ periodos si no puede haber dos cursos de matemáticas en periodos consecutivos?

(Los cursos que el estudiante tome durante los otros $3$ periodos no importan aquí.)

How many ways can a student schedule $3$ mathematics courses — algebra, geometry, and number theory — in a $6$ -period day if no two mathematics courses can be taken in consecutive periods?

(What courses the student takes during the other $3$ periods is of no concern here.)

$3$

$6$

$12$

$18$

$24$

Conceptos:arreglos con restricciones permutaciones enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Primero elige los tres periodos no consecutivos.

First choose the three nonconsecutive periods

Pista grande:

Una vez elegidos los periodos, ordena los tres cursos indicados.

After the periods are chosen, arrange the three named courses

Solución:

Las $3$ clases pueden ocupar los siguientes periodos: $(1, 3, 5),$ $(1, 3, 6),$ $(1, 4, 6),$ $(2, 4, 6).$

Esto significa que hay $4$ maneras de elegir en qué periodos ocurren los cursos de matemáticas.

Para cada configuración, hay $3!$ maneras de determinar el orden de los cursos, para un total de $6 \cdot 4 = 24$ horarios.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The $3$ classes can occupy the following periods: $(1, 3, 5),$ $(1, 3, 6),$ $(1, 4, 6),$ $(2, 4, 6).$

This means that there are $4$ ways to choose which periods the mathematics courses occur.

For each configuration, there are $3!$ ways to determine the order of the courses, for a total of $6 \cdot 4 = 24$ schedules.

Thus, E is the correct answer.

5.

Alice, Bob y Charlie estaban de excursión y se preguntaban qué tan lejos estaba el pueblo más cercano. Cuando Alice dijo: “Estamos al menos a $6$ millas”, Bob respondió: “Estamos a lo más a $5$ millas”. Charlie luego comentó: “En realidad el pueblo más cercano está a lo más a $4$ millas”. Resultó que ninguna de las tres afirmaciones era verdadera. Sea $d$ la distancia en millas al pueblo más cercano. ¿Cuál de los siguientes intervalos es el conjunto de todos los valores posibles de $d$ ?

Alice, Bob, and Charlie were on a hike and were wondering how far away the nearest town was. When Alice said, “We are at least $6$ miles away,” Bob replied, “We are at most $5$ miles away.” Charlie then remarked, “Actually the nearest town is at most $4$ miles away.” It turned out that none of the three statements was true. Let $d$ be the distance in miles to the nearest town. Which of the following intervals is the set of all possible values of $d?$

$(0,4)$

$(4,5)$

$(4,6)$

$(5,6)$

$(5,\infty)$

Conceptos:deducción lógica desigualdad

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Niega la afirmación de cada persona.

Negate each person’s statement

Pista grande:

Interseca las tres desigualdades resultantes para $d$ .

Intersect the three resulting inequalities for $d$

Solución:

La afirmación de Alice nos dice que $d \lt 6.$ La afirmación de Bob nos dice que $d \gt 5.$ La afirmación de Charlie nos dice que $d \gt 4.$

Combinando todo esto obtenemos que $5 \lt d$ y $d \lt 6,$ lo que significa que $d$ está en el intervalo $(5, 6).$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Alice’s statement tells us that $d \lt 6.$ Bob’s statement tells us that $d \gt 5.$ Charlie’s statement tells us that $d \gt 4.$

Combining all of these tells us that $5 \lt d$ and $d \lt 6,$ which means $d$ is in the interval $(5, 6).$

Thus, D is the correct answer.

6.

Sangho subió un video a un sitio web donde los espectadores pueden votar si les gusta o no un video. Cada video comienza con una puntuación de $0,$ y la puntuación aumenta en $1$ por cada voto positivo y disminuye en $1$ por cada voto negativo.

En cierto momento, Sangho vio que su video tenía una puntuación de $90,$ y que $65\%$ de los votos emitidos en su video eran positivos. ¿Cuántos votos se habían emitido en el video de Sangho en ese momento?

Sangho uploaded a video to a website where viewers can vote that they like or dislike a video. Each video begins with a score of $0,$ and the score increases by $1$ for each like vote and decreases by $1$ for each dislike vote.

At one point Sangho saw that his video had a score of $90,$ and that $65\%$ of the votes cast on his video were like votes. How many votes had been cast on Sangho’s video at that point?

$200$

$300$

$400$

$500$

$600$

Conceptos:porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Sea $N$ el número total de votos.

Let $N$ be the total number of votes

Pista grande:

La puntuación es el número de votos positivos menos el de negativos.

The score is likes minus dislikes

Solución:

Si $65\%$ de los votos fueron positivos, entonces $35\%$ de los votos son negativos. Así, la puntuación de Sangho es $65\% - 35\% = 30\%$ del número total de votos.

Sabemos que la puntuación de Sangho es $90,$ así que el número total de votos es $90 \div 30\% = 300.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

If $65\%$ of votes were like votes, then $35\%$ of votes are dislike votes. Then Sangho’s score is $65\% - 35\% = 30\%$ the total number of votes.

We know that Sangho’s score is $90,$ so the total number of votes is $90 \div 30\% = 300.$

Thus, B is the correct answer.

7.

¿Para cuántos valores enteros de $n$ (no necesariamente positivos) la siguiente expresión es un entero? $4000 \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$

For how many (not necessarily positive) integer values of $n$ is the following value an integer? $4000 \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$

$3$

$4$

$6$

$8$

$9$

Conceptos:exponente factorización en primos conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Escribe $4000$ como $2^5\cdot5^3$ .

Write $4000$ as $2^5\cdot5^3$

Pista grande:

Los exponentes de $2$ y $5$ deben ser ambos no negativos.

The exponents of $2$ and $5$ must both be nonnegative

Solución:

Podemos reescribir la expresión como $(2^5 \cdot 5^3) \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^n = 2^{5 + n} \cdot 5^{3 - n}.$

Para que sea un entero, los exponentes deben ser no negativos, es decir $\begin{aligned} 5 + n \geq 0 &\Rightarrow n \geq -5 \\ 3 - n \geq 0 &\Rightarrow n \leq 3. \end{aligned}$

Esto nos da $5 + 3 + 1 = 9$ valores para $n.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

We can rewrite the expression as $(2^5 \cdot 5^3) \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^n = 2^{5 + n} \cdot 5^{3 - n}.$

For this to be an integer, both exponents must be nonnegative. This means that $\begin{aligned} 5 + n \geq 0 &\Rightarrow n \geq -5 \\ 3 - n \geq 0 &\Rightarrow n \leq 3. \end{aligned}$

This gives us $5 + 3 + 1 = 9$ values for $n.$

Thus, E is the correct answer.

8.

Joe tiene una colección de $23$ monedas, formada por monedas de $5$ centavos, monedas de $10$ centavos y monedas de $25$ centavos. Tiene $3$ monedas de $10$ centavos más que de $5$ centavos, y el valor total de su colección es $320$ centavos. ¿Cuántas monedas de $25$ centavos más que de $5$ centavos tiene Joe?

Joe has a collection of $23$ coins, consisting of $5$ -cent coins, $10$ -cent coins, and $25$ -cent coins. He has $3$ more $10$ -cent coins than $5$ -cent coins, and the total value of his collection is $320$ cents. How many more $25$ -cent coins does Joe have than $5$ -cent coins?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:dinero sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Sea $x$ el número de monedas de $5$ centavos.

Let the number of $5$ -cent coins be $x$

Pista grande:

Usa tanto la ecuación del número total de monedas como la del valor total.

Use both the total number of coins and total value equations

Solución:

Sea $x$ el número de monedas de $5$ centavos que tiene Joe. Entonces el número de monedas de $10$ centavos que tiene es $x + 3.$

Por lo tanto, Joe tiene $23 - x - (x + 3) = 20 - 2x$ monedas de $25$ centavos.

El valor total de todas estas monedas es $5x + 10(x + 3) + 25(20 - 2x)$ $= 530 - 35x.$

Sabemos que $530 - 35x = 320 \Rightarrow x = 6.$

Esto significa que Joe tiene $20 - 2 \cdot 6 = 8$ monedas de $25$ centavos. Por lo tanto, tiene $8 - 6 = 2$ monedas de $25$ centavos más que de $5$ centavos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $x$ be the number of $5$ -cent coins that Joe has. Then the number of $10$ -cent coins he has is $x + 3.$

Therefore, Joe has $23 - x - (x + 3) = 20 - 2x$ $25$ -cent coins.

The total value of all these coins is $5x + 10(x + 3) + 25(20 - 2x)$ $= 530 - 35x.$

We know that $530 - 35x = 320 \Rightarrow x = 6.$

This means that Joe has $20 - 2 \cdot 6 = 8$ $25$ -cent coins. Therefore, he has $8 - 6 = 2$ more $25$ -cent coins than $5$ -cent coins.

Thus, C is the correct answer.

9.

Todos los triángulos del diagrama de abajo son semejantes al triángulo isósceles $ABC,$ en el que $AB=AC.$ Cada uno de los $7$ triángulos más pequeños tiene área $1,$ y $\triangle ABC$ tiene área $40.$ ¿Cuál es el área del trapecio $DBCE$ ?

All of the triangles in the diagram below are similar to isosceles triangle $ABC,$ in which $AB=AC.$ Each of the $7$ smallest triangles has area $1,$ and $\triangle ABC$ has area $40.$ What is the area of trapezoid $DBCE?$

$16$

$18$

$20$

$22$

$24$

Conceptos:semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

En triángulos semejantes, el área escala como el cuadrado de la longitud de los lados.

Area scales as the square of side length for similar triangles

Pista grande:

Encuentra el área del triángulo superior y réstala de $40$ .

Find the area of the top triangle and subtract from $40$

Solución:

Por la semejanza de triángulos, sabemos que la longitud del lado de los triángulos más pequeños es $\sqrt{\frac{1}{40}}$ veces la del triángulo más grande.

Entonces la longitud del lado de $\triangle ADE$ es $4\sqrt{\frac{1}{40}}$ veces la del lado del triángulo más grande.

Esto hace que la razón de las áreas sea $\left(4\sqrt{\dfrac{1}{40}}\right)^2 = 16 \cdot \dfrac{1}{40} = \dfrac{2}{5}.$

Por lo tanto, el área de $\triangle ADE$ es $\frac{2}{5} \cdot 40 = 16.$ El área del trapecio es entonces $40 - 16 = 24.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

We know that the side length of the smaller triangles is $\sqrt{\frac{1}{40}}$ times the length of the larger triangle from similar triangles.

Then the side length of $\triangle ADE$ is $4\sqrt{\frac{1}{40}}$ times the length of the side length of the larger triangle.

This makes the ratio of the areas $\left(4\sqrt{\dfrac{1}{40}}\right)^2 = 16 \cdot \dfrac{1}{40} = \dfrac{2}{5}.$

Therefore, the area of $\triangle ADE$ is $\frac{2}{5} \cdot 40 = 16.$ The area of the trapezoid is then $40 - 16 = 24.$

Thus, E is the correct answer.

10.

Supongamos que el número real $x$ satisface $\sqrt{49-x^2}-\sqrt{25-x^2}=3.$ ¿Cuál es el valor de $\sqrt{49-x^2}+\sqrt{25-x^2}?$

Suppose that real number $x$ satisfies $\sqrt{49-x^2}-\sqrt{25-x^2}=3.$ What is the value of $\sqrt{49-x^2}+\sqrt{25-x^2}?$

$8$

$\sqrt{33}+3$

$9$

$2\sqrt{10}+4$

$12$

Conceptos:radical diferencia de cuadrados manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Trata los dos radicales como cantidades tipo conjugado.

Treat the two radicals as conjugate-like quantities

Pista grande:

Multiplica la diferencia dada por la suma buscada.

Multiply the given difference by the desired sum

Solución:

Nota que el lado izquierdo de la ecuación y la expresión buscada son conjugados. Al multiplicarlos se eliminan las raíces cuadradas.

Al multiplicarlos se obtiene $49 - x^2 - 25 + x^2 = 24.$

Esto significa que el producto de los valores de las expresiones es igual a $24.$ Por lo tanto, el valor buscado es $24 \div 3 = 8.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Note that the left hand side of the equation and the desired expression are conjugates. Multiplying them would remove the square roots.

Multiplying them yields $49 - x^2 - 25 + x^2 = 24.$

This means that the product of the values of the expressions is equal to $24.$ The desired value is therefore $24 \div 3 = 8.$

Thus, A is the correct answer.

11.

Cuando se lanzan $7$ dados justos estándar de $6$ caras, la probabilidad de que la suma de los números en las caras superiores sea $10$ puede escribirse como $\dfrac{n}{6^{7}},$ donde $n$ es un entero positivo. ¿Cuál es $n$ ?

When $7$ fair standard $6$ -sided dice are thrown, the probability that the sum of the numbers on the top faces is $10$ can be written as $\dfrac{n}{6^{7}},$ where $n$ is a positive integer. What is $n?$

$42$

$49$

$56$

$63$

$84$

Conceptos:dados (probabilidad)estrellas y barras

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Enumera las formas no ordenadas en que siete resultados positivos de dados pueden sumar $10$ .

List the unordered ways seven positive die rolls can sum to $10$

Pista grande:

Cuenta los ordenamientos de cada patrón enumerado.

Count the orderings for each listed pattern

Solución:

Podemos usar estrellas y barras para hallar $n.$ Es lo mismo que contar el número de formas de poner $10$ bolas en $7$ cajas, donde cada caja tiene al menos una bola.

La fórmula para este caso es $\binom{n - 1}{k - 1},$ donde $n$ es el número de bolas y $k$ es el número de cajas.

Ningún dado puede pasar de $4$ en una suma de $10$ con siete lanzamientos positivos, así que la cota superior de $6$ no impone ninguna restricción adicional. Por lo tanto, la respuesta buscada es $\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = 84.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

We can use stars and bars to find $n.$ It is the same as finding the number of ways to put $10$ balls into $7$ boxes, where each box has at least one ball.

The formula for such a scenario is $\binom{n - 1}{k - 1},$ where $n$ is the number of balls and $k$ is the number of boxes.

No die can exceed $4$ in a sum of $10$ from seven positive rolls, so the upper bound of $6$ creates no additional restriction. The desired answer is therefore $\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = 84.$

Thus, E is the correct answer.

12.

¿Cuántos pares ordenados de números reales $(x,y)$ satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones? $\begin{cases} ~x+3y&=3 \\ ~\big||x|-|y|\big|&=1 \end{cases}$

How many ordered pairs of real numbers $(x,y)$ satisfy the following system of equations? $\begin{cases} ~x+3y&=3 \\ ~\big||x|-|y|\big|&=1 \end{cases}$

$1$

$2$

$3$

$4$

$8$

Conceptos:valor absoluto sistema de ecuaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Reemplaza la ecuación con valor absoluto por cuatro casos lineales.

Replace the absolute-value equation by four linear cases

Pista grande:

Soluciones distintas pueden repetirse entre casos, así que cuenta los pares ordenados únicos.

Distinct solutions can repeat across cases, so count unique ordered pairs

Solución:

La segunda ecuación dice que $|x|-|y|=1$ o $|x|-|y|=-1$ , así que basta con revisar las cuatro posibilidades lineales $x=y\pm1$ y $x=-y\pm1$ .

Combinándolas con $x+3y=3$ se obtiene $(x,y)=\left(\dfrac32,\dfrac12\right)$ , $(0,1)$ , de nuevo $(0,1)$ , y $(-3,2)$ .

Estos son tres pares ordenados distintos, y cada uno satisface la ecuación original con valor absoluto. Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The second equation says $|x|-|y|=1$ or $|x|-|y|=-1$ , so it is enough to check the four linear possibilities $x=y\pm1$ and $x=-y\pm1$ .

Combining these with $x+3y=3$ gives $(x,y)=\left(\dfrac32,\dfrac12\right)$ , $(0,1)$ , $(0,1)$ again, and $(-3,2)$ .

These are three distinct ordered pairs, and each satisfies the original absolute-value equation. Thus, C is the correct answer.

13.

Un triángulo de papel con lados de longitudes $3,$ $4,$ y $5$ pulgadas, como se muestra, se dobla de modo que el punto $A$ cae sobre el punto $B.$ ¿Cuál es la longitud en pulgadas del pliegue?

A paper triangle with sides of lengths $3,$ $4,$ and $5$ inches, as shown, is folded so that point $A$ falls on point $B.$ What is the length in inches of the crease?

$1+\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$

$\sqrt{3}$

$\dfrac{7}{4}$

$\dfrac{15}{8}$

$2$

Conceptos:plegado de papel mediatriz semejanza

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

El pliegue es la mediatriz de $AB$ .

The crease is the perpendicular bisector of $AB$

Pista grande:

Usa la semejanza con el triángulo original $3$ - $4$ - $5$ .

Use similarity with the original $3$ - $4$ - $5$ triangle

Solución:

Nota que el pliegue será la mediatriz de $\overline{AB}.$ Sea $\overline{DE}$ el pliegue.

Por semejanza $AA$ , sabemos que $\triangle ADE\sim\triangle ACB.$ Por lo tanto, $\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{DE}{AD}.$ Sustituyendo las longitudes de los lados se obtiene $\dfrac34=\dfrac{DE}{\frac{5}{2}},$ así que $DE=\dfrac{15}{8}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The crease is the perpendicular bisector of $\overline{AB}.$ Let $\overline{DE}$ be the crease.

By $AA$ similarity, $\triangle ADE\sim\triangle ACB.$ Therefore, $\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{DE}{AD}.$ Plugging in the side lengths gives $\dfrac34=\dfrac{DE}{\frac{5}{2}},$ so $DE=\dfrac{15}{8}.$

Thus, D is the correct answer.

14.

¿Cuál es el mayor entero menor o igual que $\dfrac{3^{100}+2^{100}}{3^{96}+2^{96}}?$

What is the greatest integer less than or equal to $\dfrac{3^{100}+2^{100}}{3^{96}+2^{96}}?$

$80$

$81$

$96$

$97$

$625$

Conceptos:exponente funciones piso y techo acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Primero compara esta expresión con $81$ .

Compare the expression to $81$ first

Pista grande:

Luego demuestra que sigue siendo mayor que $80$ .

Then prove it is still greater than $80$

Solución:

Sea $a=3^{96}$ y $b=2^{96}$ . La expresión es $\dfrac{81a+16b}{a+b}=16+\dfrac{65a}{a+b}$ , así que es menor que $16+65=81$ .

Para demostrar que el mayor entero es $80$ , también necesitamos que la expresión sea mayor que $80$ . Esto equivale a $81a+16b>80a+80b$ , es decir $a>64b$ .

Como $\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac94>2,$ tenemos $\dfrac{a}{b}=\left(\dfrac32\right)^{96}>2^{48}>64.$ Por consiguiente la expresión es mayor que $80$ y menor que $81.$ Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $a=3^{96}$ and $b=2^{96}$ . The expression is $\dfrac{81a+16b}{a+b}=16+\dfrac{65a}{a+b}$ , so it is less than $16+65=81$ .

To show the floor is $80$ , we also need the expression to be greater than $80$ . This is equivalent to $81a+16b>80a+80b$ , or $a>64b$ .

Because $\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac94>2,$ we have $\dfrac{a}{b}=\left(\dfrac32\right)^{96}>2^{48}>64.$ Hence the expression is greater than $80$ and less than $81.$ Thus, A is the correct answer.

15.

Dos círculos de radio $5$ son tangentes externamente entre sí y tangentes internamente a un círculo de radio $13$ en los puntos $A$ y $B,$ como se muestra en el diagrama. La distancia $AB$ puede escribirse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuál es $m+n$ ?

Two circles of radius $5$ are externally tangent to each other and are internally tangent to a circle of radius $13$ at points $A$ and $B,$ as shown in the diagram. The distance $AB$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n?$

$21$

$29$

$58$

$69$

$93$

Conceptos:circunferencias tangentes semejanza

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Une los centros de los tres círculos.

Join the three circle centers

Pista grande:

El triángulo que pasa por los puntos de tangencia es semejante al triángulo que pasa por los centros.

The triangle through tangent points is similar to the triangle through centers

Solución:

Sea $X$ el centro del círculo grande y sean $Y,Z$ los centros de los dos círculos más pequeños. Entonces $XY=XZ=13-5=8$ y $YZ=10$ .

Los radios a los puntos de tangencia hacen que $XA$ sea colineal con $XY$ y $XB$ colineal con $XZ$ , así que $\triangle XAB\sim \triangle XYZ$ . Por lo tanto $\dfrac{AB}{YZ}=\dfrac{XA}{XY}=\dfrac{13}{8}$ .

Entonces $AB=10\cdot\dfrac{13}{8}=\dfrac{65}{4}$ , de modo que $m+n=65+4=69$ . Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $X$ be the center of the large circle and let $Y,Z$ be the centers of the two smaller circles. Then $XY=XZ=13-5=8$ and $YZ=10$ .

The radii to tangent points make $XA$ collinear with $XY$ and $XB$ collinear with $XZ$ , so $\triangle XAB\sim \triangle XYZ$ . Thus $\dfrac{AB}{YZ}=\dfrac{XA}{XY}=\dfrac{13}{8}$ .

Hence $AB=10\cdot\dfrac{13}{8}=\dfrac{65}{4}$ , so $m+n=65+4=69$ . Thus, D is the correct answer.

16.

El triángulo rectángulo $ABC$ tiene catetos de longitudes $AB=20$ y $BC=21.$ Incluyendo $\overline{AB}$ y $\overline{BC},$ ¿cuántos segmentos de longitud entera pueden trazarse desde el vértice $B$ hasta un punto de la hipotenusa $\overline{AC}$ ?

Right triangle $ABC$ has leg lengths $AB=20$ and $BC=21.$ Including $\overline{AB}$ and $\overline{BC},$ how many line segments with integer length can be drawn from vertex $B$ to a point on hypotenuse $\overline{AC}?$

$5$

$8$

$12$

$13$

$15$

Conceptos:triángulo rectángulo altura conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Encuentra la altura desde $B$ hasta la hipotenusa.

Find the altitude from $B$ to the hypotenuse

Pista grande:

Los segmentos de longitud entera aparecen en pares simétricos alrededor de la altura.

Integer-length segments occur in symmetric pairs around the altitude

Solución:

Sea $P$ el pie de la altura desde $B$ hasta $\overline{AC}.$ El teorema de Pitágoras da $AC=29.$ Al calcular el área de dos maneras, obtenemos $\dfrac{29\cdot PB}{2}=\dfrac{20\cdot21}{2},$ así que $PB=\dfrac{420}{29},$ que está entre $14$ y $15.$

Cuando el extremo se mueve de $A$ a $P,$ su distancia a $B$ disminuye continuamente de $20$ a $PB.$ Por tanto, hay un segmento de cada longitud entera $15,16,17,18,19,20.$ Cuando el extremo se mueve de $P$ a $C,$ la distancia aumenta continuamente de $PB$ a $21,$ lo que da un segmento de cada longitud entera $15,16,17,18,19,20,21.$ Estos son $6+7=13$ segmentos distintos.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $P$ be the foot of the altitude from $B$ to $\overline{AC}.$ The Pythagorean Theorem gives $AC=29.$ Computing the area in two ways gives $\dfrac{29\cdot PB}{2}=\dfrac{20\cdot21}{2},$ so $PB=\dfrac{420}{29},$ which lies between $14$ and $15.$

As the endpoint moves from $A$ to $P,$ its distance from $B$ decreases continuously from $20$ to $PB.$ Thus there is one segment of each integer length $15,16,17,18,19,20.$ As the endpoint moves from $P$ to $C,$ the distance increases continuously from $PB$ to $21,$ giving one segment of each integer length $15,16,17,18,19,20,21.$ These are $6+7=13$ distinct segments.

Thus, D is the correct answer.

17.

Sea $S$ un conjunto de $6$ enteros tomados de $\{1,2,\dots,12\}$ con la propiedad de que si $a$ y $b$ son elementos de $S$ con $a < b,$ entonces $b$ no es múltiplo de $a.$ ¿Cuál es el menor valor posible de un elemento de $S$ ?

Let $S$ be a set of $6$ integers taken from $\{1,2,\dots,12\}$ with the property that if $a$ and $b$ are elements of $S$ with $a < b,$ then $b$ is not a multiple of $a.$ What is the least possible value of an element in $S?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$7$

Conceptos:divisibilidad argumento extremal análisis por casos

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Agrupa los números de modo que a lo más se pueda elegir uno de cada grupo.

Group numbers so at most one from each group can be chosen

Pista grande:

Intenta forzar seis elecciones a partir de las cadenas de divisores.

Try forcing six choices from the divisor chains

Solución:

Procedemos por casos según el posible menor elemento de $S:$

$1$ no puede ser el menor elemento, pues eso significaría que ningún otro número puede estar en el conjunto.

$2$ no puede ser el menor elemento, pues tendríamos que incluir todos los números impares excepto $1.$ Esto haría que $3$ y $9$ violaran la regla.

Sea $3$ el menor elemento. Entonces podemos incluir $7$ y $11.$ Finalmente podemos incluir $4$ u $8$ y $5$ o $10.$

En cualquier caso, el número máximo de elementos que podemos incluir es $5,$ así que $3$ no puede ser el menor elemento.

Empezando con $4,$ podemos incluir $6, 7, 9$ y $11.$ Finalmente, podemos añadir $5$ o $10,$ formando un conjunto de $6$ elementos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We proceed by casing on possible values for $S:$

$1$ cannot be the smallest element since that would mean that no other number can be in the set.

$2$ cannot be the smallest element since we would have to include every odd number except $1.$ This would make $3$ and $9$ violate the rule.

Let $3$ be the smallest element. Then we can include $7$ and $11.$ We can finally include either $4$ or $8$ and $5$ or $10.$

Either way, the maximum number of elements that we can include is $5,$ so $3$ cannot be the smallest element.

Starting with $4,$ we can include $6, 7, 9$ and $11.$ Finally, we can add either $5$ or $10,$ creating a $6$ -element set.

Thus, C is the correct answer.

18.

¿Cuántos enteros no negativos pueden escribirse en la forma $a_7\cdot3^7+a_6\cdot3^6+a_5\cdot3^5$ $+a_4\cdot3^4+a_3\cdot3^3+a_2\cdot3^2$ $+a_1\cdot3^1+a_0\cdot3^0,$ donde $a_i\in \{-1,0,1\}$ para $0\le i \le 7$ ?

How many nonnegative integers can be written in the form $a_7\cdot3^7+a_6\cdot3^6+a_5\cdot3^5$ $+a_4\cdot3^4+a_3\cdot3^3+a_2\cdot3^2$ $+a_1\cdot3^1+a_0\cdot3^0,$ where $a_i\in \{-1,0,1\}$ for $0\le i \le 7?$

$512$

$729$

$1094$

$3281$

$59{,}048$

Conceptos:base numérica simetría emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Piensa en la expresión como una representación ternaria balanceada.

Think of the expression as balanced ternary

Pista grande:

Los valores positivos y negativos se emparejan simétricamente alrededor de $0$ .

Positive and negative values pair off symmetrically around $0$

Solución:

Nota que todo número formado por esta suma es positivo, negativo o cero.

El número de valores positivos es igual al de negativos por simetría (cambia los $1$ a $-1$ y los $-1$ a $1$ ).

La única manera de que la suma sea $0$ es que todos los coeficientes sean $0.$

El número total de valores es $3^8 = 6561.$ Como cada potencia de $3$ es mayor que la suma de todas las potencias anteriores de tres, cada combinación de coeficientes produce un valor distinto. Más explícitamente, en la posición más alta donde dos combinaciones difieren, la diferencia tiene magnitud al menos $3^k,$ mientras que todas las posiciones inferiores juntas pueden cancelar a lo sumo $2(1+3+\cdots+3^{k-1})=3^k-1.$

Por lo tanto, hay $\dfrac{6561 - 1}{2} + 1 = 3281$ enteros no negativos distintos.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that every number formed by this sum is either positive, negative, or zero.

The number of positive numbers equals the number of negative numbers due to symmetry (flip the $1$ s to $-1$ s and $-1$ s to $1$ s).

The only way for the sum to be $0$ is if all the coefficients are $0.$

The total number of numbers is $3^8 = 6561.$ Because each power of $3$ is larger than the sum of all previous powers of three, each combination of coefficients yields a different value. More explicitly, at the highest place where two combinations differ, the difference has magnitude at least $3^k,$ while all lower places together can cancel at most $2(1+3+\cdots+3^{k-1})=3^k-1.$

Therefore, there are $\dfrac{6561 - 1}{2} + 1 = 3281$ distinct nonnegative integers.

Thus, D is the correct answer.

19.

Se selecciona al azar un número $m$ del conjunto $\{11,13,15,17,19\},$ y se selecciona al azar un número $n$ de $\{1999,2000,2001,\ldots,2018\}.$ ¿Cuál es la probabilidad de que $m^n$ tenga dígito de las unidades igual a $1$ ?

A number $m$ is randomly selected from the set $\{11,13,15,17,19\},$ and a number $n$ is randomly selected from $\{1999,2000,2001,\ldots,2018\}.$ What is the probability that $m^n$ has a units digit of $1?$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{3}{10}$

$\dfrac{7}{20}$

$\dfrac{2}{5}$

Conceptos:dígito de las unidades exponenciación modular probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Solo importan los ciclos del dígito de las unidades.

Only units-digit cycles matter

Pista grande:

Promedia los conteos de éxito para las bases que terminan en $1,3,5,7,9$ .

Average the success counts for bases ending in $1,3,5,7,9$

Solución:

Solo importa el dígito de las unidades de $m$ . Entre los $20$ exponentes consecutivos posibles, cada residuo módulo $4$ aparece $5$ veces, y $10$ exponentes son pares. Una base que termina en $1$ funciona para los $20$ exponentes; las bases que terminan en $3$ o $7$ funcionan para los $5$ exponentes divisibles por $4;$ una base que termina en $5$ nunca funciona; y una base que termina en $9$ funciona para los $10$ exponentes pares.

Así, $20+5+0+5+10=40$ de los $5\cdot20=100$ pares igualmente probables funcionan, y la probabilidad es $\dfrac{40}{100}=\dfrac25.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Only the units digit of $m$ matters. Among the $20$ consecutive possible exponents, each residue modulo $4$ occurs $5$ times, and $10$ exponents are even. A base ending in $1$ succeeds for all $20$ exponents; bases ending in $3$ or $7$ succeed for the $5$ exponents divisible by $4;$ a base ending in $5$ never succeeds; and a base ending in $9$ succeeds for the $10$ even exponents.

Thus $20+5+0+5+10=40$ of the $5\cdot20=100$ equally likely pairs work, and the probability is $\dfrac{40}{100}=\dfrac25.$

Thus, E is the correct answer.

20.

Un código de escaneo consiste en una cuadrícula de $7 \times 7$ cuadrados, con algunos de sus cuadrados coloreados de negro y el resto de blanco. Debe haber al menos un cuadrado de cada color en esta cuadrícula de $49$ cuadrados.

Un código de escaneo se llama simétrico si su apariencia no cambia cuando el cuadrado completo se rota un múltiplo de $90^{\circ}$ en sentido antihorario alrededor de su centro, ni cuando se refleja a través de una recta que une esquinas opuestas o una recta que une los puntos medios de lados opuestos.

¿Cuál es el número total de códigos de escaneo simétricos posibles?

A scanning code consists of a $7 \times 7$ grid of squares, with some of its squares colored black and the rest colored white. There must be at least one square of each color in this grid of $49$ squares.

A scanning code is called symmetric if its look does not change when the entire square is rotated by a multiple of $90^{\circ}$ counterclockwise around its center, nor when it is reflected across a line joining opposite corners or a line joining midpoints of opposite sides.

What is the total number of possible symmetric scanning codes?

$510$

$1022$

$8190$

$8192$

$65{,}534$

Conceptos:simetría principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Clasifica los cuadrados de la cuadrícula según las órbitas de simetría.

Classify grid squares by symmetry orbits

Pista grande:

Elige un color por órbita, excluyendo las dos coloraciones constantes.

Choose one color per orbit, excluding the two constant colorings

Solución:

Numeremos las filas y las columnas de $-3$ a $3,$ con el centro en $(0,0).$ Las rotaciones y las reflexiones pueden cambiar los signos e intercambiar las coordenadas, así que la órbita de $(x,y)$ queda determinada por el par ordenado que se obtiene al ordenar $(|x|,|y|).$ Estos pares son los $(u,v)$ con $0\le u\le v\le3,$ de los cuales hay $4+3+2+1=10.$

Una vez que se colorea un cuadrado de cada órbita, la simetría determina los colores de todos los demás cuadrados de esa órbita.

Por lo tanto, hay $2^{10}$ coloraciones simétricas antes de aplicar la condición de usar ambos colores. Las coloraciones todo negro y todo blanco no están permitidas.

El número total de códigos de escaneo simétricos válidos es $2^{10}-2=1022$ . Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Number rows and columns from $-3$ through $3,$ with the center at $(0,0).$ Rotations and reflections can change signs and exchange coordinates, so the orbit of $(x,y)$ is determined by the ordered pair obtained by sorting $(|x|,|y|).$ These pairs are $(u,v)$ with $0\le u\le v\le3,$ of which there are $4+3+2+1=10.$

Once one square in each orbit is colored, symmetry forces the colors of all other squares in that orbit.

There are therefore $2^{10}$ symmetric colorings before the condition about using both colors. The all-black and all-white colorings are not allowed.

The total number of valid symmetric scanning codes is $2^{10}-2=1022$ . Thus, B is the correct answer.

21.

¿Cuál de las siguientes opciones describe el conjunto de valores de $a$ para los cuales las curvas $x^2+y^2=a^2$ y $y=x^2-a$ en el plano real $xy$ se intersecan en exactamente $3$ puntos?

Which of the following describes the set of values of $a$ for which the curves $x^2+y^2=a^2$ and $y=x^2-a$ in the real $xy$ -plane intersect at exactly $3$ points?

$a = \dfrac14$

$\dfrac14 \lt a \lt \dfrac12$

$a \gt \dfrac14$

$a = \dfrac12$

$a \gt \dfrac12$

Conceptos:parábola círculo sustitución

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Sustituye la ecuación de la parábola en la ecuación del círculo.

Substitute the parabola equation into the circle equation

Pista grande:

Las raíces no nulas aparecen solo cuando $2a-1$ es positivo.

The nonzero roots appear only when $2a-1$ is positive

Solución:

Sustituye $y=x^2-a$ en $x^2+y^2=a^2$ , lo que da $x^2+(x^2-a)^2=a^2$ , así que $x^2(x^2-(2a-1))=0$ .

El factor $x^2=0$ siempre da el único punto $(0,-a)$ . El otro factor da dos puntos reales adicionales exactamente cuando $2a-1>0$ .

Hay exactamente tres puntos de intersección cuando $a>\dfrac12$ . Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Substitute $y=x^2-a$ into $x^2+y^2=a^2$ . This gives $x^2+(x^2-a)^2=a^2$ , so $x^2(x^2-(2a-1))=0$ .

The factor $x^2=0$ always gives the single point $(0,-a)$ . The other factor gives two additional real points exactly when $2a-1>0$ .

There are exactly three intersection points when $a>\dfrac12$ . Thus, E is the correct answer.

22.

Sean $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ enteros positivos tales que $\gcd(a, b)=24,$ $\gcd(b, c)=36,$ $\gcd(c, d)=54,$ y $70 < \gcd(d, a) < 100.$ ¿Cuál de las siguientes opciones debe ser un divisor de $a$ ?

Let $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ be positive integers such that $\gcd(a, b)=24,$ $\gcd(b, c)=36,$ $\gcd(c, d)=54,$ and $70 < \gcd(d, a) < 100.$ Which of the following must be a divisor of $a?$

$5$

$7$

$11$

$13$

$17$

Conceptos:máximo común divisor factorización en primos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Rastrea las potencias forzadas de $2$ y $3$ en los máximos comunes divisores.

Track the forced powers of $2$ and $3$ in the gcds

Pista grande:

El factor restante de $\gcd(d,a)$ debe estar entre $12$ y $17$ .

The remaining factor of $\gcd(d,a)$ must lie between $12$ and $17$

Solución:

De $\gcd(a,b)=24=2^3\cdot3$ y $\gcd(b,c)=36=2^2\cdot3^2$ , el número $a$ es divisible por $2^3\cdot3$ pero no por $3^2$ .

De $\gcd(b,c)=36$ y $\gcd(c,d)=54=2\cdot3^3$ , el número $d$ es divisible por $2\cdot3^3$ pero no por $2^2$ . Por lo tanto $\gcd(d,a)=2\cdot3\cdot n$ , donde $n$ no tiene factor $2$ ni $3$ .

Como $70<6n<100,$ el entero $n$ cumple $12\le n\le16.$ El único valor en ese rango sin factor $2$ ni $3$ es $13,$ así que $13$ debe dividir a $a.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

From $\gcd(a,b)=24=2^3\cdot3$ and $\gcd(b,c)=36=2^2\cdot3^2$ , the number $a$ is divisible by $2^3\cdot3$ but not by $3^2$ .

From $\gcd(b,c)=36$ and $\gcd(c,d)=54=2\cdot3^3$ , the number $d$ is divisible by $2\cdot3^3$ but not by $2^2$ . Therefore $\gcd(d,a)=2\cdot3\cdot n$ , where $n$ has no factor $2$ or $3$ .

Since $70<6n<100,$ the integer $n$ satisfies $12\le n\le16.$ The only value in this range with no factor $2$ or $3$ is $13,$ so $13$ must divide $a.$ Thus, D is the correct answer.

23.

El granjero Pythagoras tiene un campo con forma de triángulo rectángulo. Los catetos del triángulo rectángulo tienen longitudes $3$ y $4$ unidades. En la esquina donde esos lados se encuentran en ángulo recto, deja un pequeño cuadrado sin sembrar $S$ de modo que desde el aire parece el símbolo de ángulo recto. El resto del campo está sembrado. La distancia más corta de $S$ a la hipotenusa es $2$ unidades. ¿Qué fracción del campo está sembrada?

Farmer Pythagoras has a field in the shape of a right triangle. The right triangle’s legs have lengths $3$ and $4$ units. In the corner where those sides meet at a right angle, he leaves a small unplanted square $S$ so that from the air it looks like the right angle symbol. The rest of the field is planted. The shortest distance from $S$ to the hypotenuse is $2$ units. What fraction of the field is planted?

$\dfrac{25}{27}$

$\dfrac{26}{27}$

$\dfrac{73}{75}$

$\dfrac{145}{147}$

$\dfrac{74}{75}$

Conceptos:descomposición de áreas triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Sea $x$ la longitud del lado del cuadrado sin sembrar.

Let $x$ be the side length of the unplanted square

Pista grande:

Descompón el triángulo en el cuadrado, dos triángulos rectángulos y un triángulo de altura $2$ .

Decompose the triangle into the square, two right triangles, and a triangle of height $2$

Solución:

Sea $x$ la longitud del lado de $S.$ Entonces podemos dividir el campo en las siguientes figuras.

Podemos expresar el área del campo de dos maneras: $\dfrac{3 \cdot 4}{2} = x^2 + \dfrac{x(3 - x)}{2}$ $+ \dfrac{x(4 - x)}{2} + \dfrac{2 \cdot 5}{2}.$

Al simplificar se obtiene $6 = \dfrac{7x}{2} + 5$ $x = \dfrac{2}{7}.$

La fracción buscada es $\dfrac{6 - x^2}{6} = \dfrac{6 - \frac{4}{49}}{6} = \dfrac{145}{147}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $x$ be the side length of $S.$ Then we can split the field up into the following shapes.

We can express the area of the field in two ways: $\dfrac{3 \cdot 4}{2} = x^2 + \dfrac{x(3 - x)}{2}$ $+ \dfrac{x(4 - x)}{2} + \dfrac{2 \cdot 5}{2}.$

Simplifying yields $6 = \dfrac{7x}{2} + 5$ $x = \dfrac{2}{7}.$

The desired fraction is $\dfrac{6 - x^2}{6} = \dfrac{6 - \frac{4}{49}}{6} = \dfrac{145}{147}.$

Thus, D is the correct answer.

24.

El triángulo $ABC$ con $AB=50$ y $AC=10$ tiene área $120.$ Sea $D$ el punto medio de $\overline{AB},$ y sea $E$ el punto medio de $\overline{AC}.$ La bisectriz del $\angle BAC$ interseca a $\overline{DE}$ y $\overline{BC}$ en $F$ y $G,$ respectivamente. ¿Cuál es el área del cuadrilátero $FDBG$ ?

Triangle $ABC$ with $AB=50$ and $AC=10$ has area $120.$ Let $D$ be the midpoint of $\overline{AB},$ and let $E$ be the midpoint of $\overline{AC}.$ The angle bisector of $\angle BAC$ intersects $\overline{DE}$ and $\overline{BC}$ at $F$ and $G,$ respectively. What is the area of quadrilateral $FDBG?$

$60$

$65$

$70$

$75$

$80$

Conceptos:teorema de la bisectriz punto medio trapecio razón de áreas

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Usa el teorema de la bisectriz para localizar $G$ .

Use the angle bisector theorem to locate $G$

Pista grande:

El segmento medio $DE$ forma un trapecio semejante de media altura.

The midsegment $DE$ makes a similar half-height trapezoid

Solución:

Sea $BC = a, BG = x, GC = y,$ y sea $h$ la longitud de la altura que pasa por $A.$

Por el teorema de la bisectriz, $BG:GC=AB:AC=5:1,$ así que $BG=\dfrac{5a}{6}.$ Como $DE$ es un segmento medio, $DE=\dfrac a2.$ Al aplicar el mismo teorema en $\triangle ADE$ , obtenemos $DF:FE=AD:AE=5:1,$ de modo que $DF=\dfrac56DE=\dfrac{5a}{12}.$

La altura del trapecio es $\frac{h}{2},$ y $\frac{ah}{2}=120.$ La longitud media de sus bases es $\dfrac12\left(\dfrac{5a}{12}+\dfrac{5a}{6}\right)=\dfrac{5a}{8}.$ Por tanto, su área es $\dfrac{5a}{8}\cdot\dfrac h2=\dfrac58\cdot\dfrac{ah}{2}=75.$ Así, D es la respuesta correcta.

Let $BC = a, BG = x, GC = y,$ and $h$ be the length of the altitude through $A.$

By the Angle Bisector Theorem, $BG:GC=AB:AC=5:1,$ so $BG=\dfrac{5a}{6}.$ Because $DE$ is a midsegment, $DE=\dfrac a2.$ Applying the same theorem in $\triangle ADE$ gives $DF:FE=AD:AE=5:1,$ so $DF=\dfrac56DE=\dfrac{5a}{12}.$

The trapezoid’s height is $\frac{h}{2},$ and $\frac{ah}{2}=120.$ Its average base length is $\dfrac12\left(\dfrac{5a}{12}+\dfrac{5a}{6}\right)=\dfrac{5a}{8}.$ Therefore, its area is $\dfrac{5a}{8}\cdot\dfrac h2=\dfrac58\cdot\dfrac{ah}{2}=75.$ Thus, D is the correct answer.

25.

Para un entero positivo $n$ y dígitos no nulos $a,$ $b,$ y $c,$ sea $A_n$ el entero de $n$ dígitos cada uno de cuyos dígitos es igual a $a$ ; sea $B_n$ el entero de $n$ dígitos cada uno de cuyos dígitos es igual a $b$ ; y sea $C_n$ el entero de $2n$ dígitos (no de $n$ dígitos) cada uno de cuyos dígitos es igual a $c.$ ¿Cuál es el mayor valor posible de $a + b + c$ para el cual hay al menos dos valores de $n$ tales que $C_n - B_n = A_n^2?$

For a positive integer $n$ and nonzero digits $a,$ $b,$ and $c,$ let $A_n$ be the $n$ -digit integer each of whose digits is equal to $a$ ; let $B_n$ be the $n$ -digit integer each of whose digits is equal to $b$ ; and let $C_n$ be the $2n$ -digit (not $n$ -digit) integer each of whose digits is equal to $c.$ What is the greatest possible value of $a + b + c$ for which there are at least two values of $n$ such that $C_n - B_n = A_n^2?$

$12$

$14$

$16$

$18$

$20$

Conceptos:dígitos sucesión geométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Escribe los números de dígitos repetidos como sumas geométricas.

Write the repeated-digit numbers as geometric sums

Pista grande:

Tener dos valores distintos de $n$ obliga a que la ecuación lineal en $10^n$ sea idénticamente verdadera.

Having two different $n$ values forces the linear equation in $10^n$ to be identically true

Solución:

Los números de dígitos repetidos pueden escribirse como $\begin{aligned} A_n&=a\dfrac{10^n-1}{9},\\ B_n&=b\dfrac{10^n-1}{9},\\ C_n&=c\dfrac{10^{2n}-1}{9}. \end{aligned}$

Al sustituir estas expresiones en $C_n-B_n=A_n^2$ y dividir entre $\frac{10^n-1}{9}$ , obtenemos $c(10^n+1)-b=a^2\dfrac{10^n-1}{9}.$

Al reorganizar, resulta $(9c-a^2)10^n=9b-9c-a^2.$ Si esto se cumple para dos valores diferentes de $n,$ al restar las ecuaciones vemos que $9c-a^2=0.$ La ecuación mostrada también obliga a que $9b-9c-a^2=0.$

Entonces $c=\frac{a^2}{9}$ y $b=\frac{2a^2}{9}.$ Como $a,b,c$ son dígitos no nulos, los candidatos son $(a,b,c)=(3,2,1),$ $(6,8,4),$ y $(9,18,9).$ La última terna no es válida porque $18$ no es un dígito. La mayor suma válida es $6+8+4=18.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The repeated-digit numbers can be written as $\begin{aligned} A_n&=a\dfrac{10^n-1}{9},\\ B_n&=b\dfrac{10^n-1}{9},\\ C_n&=c\dfrac{10^{2n}-1}{9}. \end{aligned}$

Substituting these expressions into $C_n-B_n=A_n^2$ and dividing by $\frac{10^n-1}{9}$ gives $c(10^n+1)-b=a^2\dfrac{10^n-1}{9}.$

Rearranging yields $(9c-a^2)10^n=9b-9c-a^2.$ If this holds for two different values of $n,$ subtracting the two equations shows that $9c-a^2=0.$ The displayed equation then also forces $9b-9c-a^2=0.$

Hence $c=\frac{a^2}{9}$ and $b=\frac{2a^2}{9}.$ Because $a,b,c$ are nonzero digits, the candidates are $(a,b,c)=(3,2,1),$ $(6,8,4),$ and $(9,18,9).$ The last triple is invalid because $18$ is not a digit. The greatest valid sum is $6+8+4=18.$ Thus, D is the correct answer.