Question

Se lanzan doce dados justos. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de los números de las caras superiores sea primo?

Twelve fair dice are rolled. What is the probability that the product of the numbers on the top faces is prime?

$\left(\dfrac{1}{12}\right)^{12}$

$\left(\dfrac{1}{6}\right)^{12}$

$2\left(\dfrac{1}{6}\right)^{11}$

$\dfrac52\left(\dfrac{1}{6}\right)^{11}$

$\left(\dfrac{1}{6}\right)^{10}$

Solución:

El producto es primo exactamente cuando un dado muestra un primo ( $2, 3,$ o $5$ ) y los otros once muestran todos $1.$

La probabilidad de que un dado cualquiera sea el que muestra el primo es $\dfrac36 = \dfrac12,$ y cada uno de los otros once muestra $1$ con probabilidad $\dfrac16.$ Teniendo en cuenta cuál de los doce dados es el primo, la probabilidad es $\begin{aligned} 12 \cdot \dfrac12 \cdot \left(\dfrac16\right)^{11} &= 6 \cdot \left(\dfrac16\right)^{11} \\ &= \left(\dfrac16\right)^{10}. \end{aligned}$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The product is prime exactly when one die shows a prime ( $2, 3,$ or $5$ ) and the other eleven all show $1.$

The probability that any single die is the prime one is $\dfrac36 = \dfrac12,$ and each of the other eleven shows $1$ with probability $\dfrac16.$ Accounting for which of the twelve dice is prime, the probability is $\begin{aligned} 12 \cdot \dfrac12 \cdot \left(\dfrac16\right)^{11} &= 6 \cdot \left(\dfrac16\right)^{11} \\ &= \left(\dfrac16\right)^{10}. \end{aligned}$

Thus, E is the correct answer.

2005 AMC 10B Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años