2005 AMC 10B — Problemas y examen en línea cronometrado

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1:15:00

1.

Una tropa de scouts compra $1000$ barras de dulce a un precio de cinco por $\$2.$ Venden todas las barras a un precio de dos por $\$1.$ ¿Cuál fue su ganancia, en dólares?

A scout troop buys $1000$ candy bars at a price of five for $\$2.$ They sell all the candy bars at a price of two for $\$1.$ What was their profit, in dollars?

$100$

$200$

$300$

$400$

$500$

Respuesta: A

Conceptos:dinero razón y proporción

Nivel de dificultad: 880

Solución:

La tropa compra $1000 \div 5 = 200$ grupos de cinco barras, con un costo de $200 \cdot 2 = 400$ dólares.

Venden $1000 \div 2 = 500$ pares de barras, con un ingreso de $500 \cdot 1 = 500$ dólares.

La ganancia es $\$500 - \$400 = \$100.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The troop buys $1000 \div 5 = 200$ groups of five bars, costing $200 \cdot 2 = 400$ dollars.

They sell $1000 \div 2 = 500$ pairs of bars, earning $500 \cdot 1 = 500$ dollars.

The profit is $\$500 - \$400 = \$100.$

Thus, A is the correct answer.

2.

Un número positivo $x$ tiene la propiedad de que el $x\%$ de $x$ es $4.$ ¿Cuánto vale $x$ ?

A positive number $x$ has the property that $x\%$ of $x$ is $4.$ What is $x?$

$2$

$4$

$10$

$20$

$40$

Respuesta: D

Conceptos:porcentaje cuadrática

Nivel de dificultad: 880

Solución:

El enunciado se traduce en $\dfrac{x}{100}\cdot x = 4,$ así que $x^2 = 400.$

Como $x$ es positivo, $x = 20.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The statement translates to $\dfrac{x}{100}\cdot x = 4,$ so $x^2 = 400.$

Since $x$ is positive, $x = 20.$

Thus, D is the correct answer.

3.

Se usa un galón de pintura para pintar una habitación. El primer día se usa un tercio de la pintura. El segundo día se usa un tercio de la pintura restante. ¿Qué fracción de la cantidad original de pintura queda disponible para usar el tercer día?

A gallon of paint is used to paint a room. One third of the paint is used on the first day. On the second day, one third of the remaining paint is used. What fraction of the original amount of paint is available to use on the third day?

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{5}{9}$

Respuesta: D

Conceptos:fracción razón y proporción

Nivel de dificultad: 870

Solución:

Después del primer día, queda $1 - \dfrac13 = \dfrac23$ de la pintura.

El segundo día se usa $\dfrac13 \cdot \dfrac23 = \dfrac29$ de la cantidad original.

La fracción disponible el tercer día es $\dfrac23 - \dfrac29 = \dfrac49.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

After the first day, $1 - \dfrac13 = \dfrac23$ of the paint remains.

On the second day, $\dfrac13 \cdot \dfrac23 = \dfrac29$ of the original amount is used.

The fraction available on the third day is $\dfrac23 - \dfrac29 = \dfrac49.$

Thus, D is the correct answer.

4.

Para los números reales $a$ y $b,$ se define $a \diamond b = \sqrt{a^2 + b^2}.$ ¿Cuál es el valor de $(5 \diamond 12) \diamond ((-12) \diamond (-5))$ ?

For real numbers $a$ and $b,$ define $a \diamond b = \sqrt{a^2 + b^2}.$ What is the value of $(5 \diamond 12) \diamond ((-12) \diamond (-5))?$

$0$

$\dfrac{17}{2}$

$13$

$13\sqrt{2}$

$26$

Respuesta: D

Conceptos:operación personalizada radical

Nivel de dificultad: 1020

Solución:

Cada expresión interna se evalúa como $5 \diamond 12 = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ y de forma análoga $(-12) \diamond (-5)$ $= \sqrt{144 + 25} = 13.$

Entonces $13 \diamond 13 = \sqrt{13^2 + 13^2} = 13\sqrt{2}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Each inner expression evaluates to $5 \diamond 12 = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ and similarly $(-12) \diamond (-5)$ $= \sqrt{144 + 25} = 13.$

Then $13 \diamond 13 = \sqrt{13^2 + 13^2} = 13\sqrt{2}.$

Thus, D is the correct answer.

5.

Brianna usa parte del dinero que ganó en su trabajo de fin de semana para comprar varios CD que cuestan lo mismo. Usó un quinto de su dinero para comprar un tercio de los CD. ¿Qué fracción de su dinero le quedará después de comprar todos los CD?

Brianna is using part of the money she earned on her weekend job to buy several equally-priced CDs. She used one fifth of her money to buy one third of the CDs. What fraction of her money will she have left after she buys all the CDs?

$\dfrac15$

$\dfrac13$

$\dfrac25$

$\dfrac23$

$\dfrac45$

Respuesta: C

Conceptos:fracción razón y proporción dinero

Nivel de dificultad: 960

Solución:

Comprar todos los CD cuesta tres veces lo que cuesta comprar un tercio de ellos, es decir $3 \cdot \dfrac15 = \dfrac35$ de su dinero.

La fracción que le queda es $1 - \dfrac35 = \dfrac25.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Buying all the CDs costs three times as much as buying one third of them, namely $3 \cdot \dfrac15 = \dfrac35$ of her money.

The fraction left over is $1 - \dfrac35 = \dfrac25.$

Thus, C is the correct answer.

6.

Al comienzo del año escolar, la meta de Lisa era sacar una A en al menos el $80\%$ de sus $50$ exámenes cortos del año. Sacó una A en $22$ de los primeros $30$ exámenes cortos. Si quiere cumplir su meta, ¿en cuántos de los exámenes cortos restantes puede a lo sumo sacar una nota menor que A?

At the beginning of the school year, Lisa's goal was to earn an A on at least $80\%$ of her $50$ quizzes for the year. She earned an A on $22$ of the first $30$ quizzes. If she is to achieve her goal, on at most how many of the remaining quizzes can she earn a grade lower than an A?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: B

Conceptos:porcentaje desigualdad

Nivel de dificultad: 960

Solución:

Lisa necesita una A en al menos $0.8 \cdot 50 = 40$ exámenes cortos.

Ya tiene $22,$ así que necesita $40 - 22 = 18$ A entre los $20$ exámenes cortos restantes.

Eso deja a lo sumo $20 - 18 = 2$ exámenes cortos con una nota menor que A.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Lisa needs an A on at least $0.8 \cdot 50 = 40$ quizzes.

She already has $22,$ so she needs $40 - 22 = 18$ A's among the remaining $20$ quizzes.

That leaves at most $20 - 18 = 2$ quizzes with a grade lower than an A.

Thus, B is the correct answer.

7.

Se inscribe un círculo en un cuadrado, luego se inscribe un cuadrado en ese círculo y, por último, se inscribe un círculo en ese cuadrado. ¿Cuál es la razón entre el área del círculo menor y el área del cuadrado mayor?

A circle is inscribed in a square, then a square is inscribed in this circle, and finally, a circle is inscribed in this square. What is the ratio of the area of the smaller circle to the area of the larger square?

$\dfrac{\pi}{16}$

$\dfrac{\pi}{8}$

$\dfrac{3\pi}{16}$

$\dfrac{\pi}{4}$

$\dfrac{\pi}{2}$

Respuesta: B

Conceptos:área del círculo cuadrado (geometría)razón de áreas

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

El círculo menor tiene radio $r,$ así que su área es $\pi r^2.$

El cuadrado menor, que circunscribe este círculo, tiene lado $2r,$ y su diagonal $2\sqrt2\,r$ es el diámetro del círculo mayor. Así, el círculo mayor tiene radio $\sqrt2\,r.$

El cuadrado mayor circunscribe el círculo mayor, así que tiene lado $2\sqrt2\,r$ y área $8r^2.$

La razón buscada es $\dfrac{\pi r^2}{8r^2} = \dfrac{\pi}{8}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let the smaller circle have radius $r,$ so its area is $\pi r^2.$

The smaller square, which circumscribes this circle, has side $2r,$ and its diagonal $2\sqrt2\,r$ is the diameter of the larger circle. So the larger circle has radius $\sqrt2\,r.$

The larger square circumscribes the larger circle, so it has side $2\sqrt2\,r$ and area $8r^2.$

The desired ratio is $\dfrac{\pi r^2}{8r^2} = \dfrac{\pi}{8}.$

Thus, B is the correct answer.

8.

Un piso de $8$ pies por $10$ pies está cubierto con baldosas cuadradas de $1$ pie por $1$ pie. Cada baldosa tiene un patrón formado por cuatro cuartos de círculo blancos de radio $\dfrac12$ pie centrados en cada esquina de la baldosa. La parte restante de la baldosa está sombreada. ¿Cuántos pies cuadrados del piso están sombreados?

An $8$ -foot by $10$ -foot floor is tiled with square tiles of size $1$ foot by $1$ foot. Each tile has a pattern consisting of four white quarter circles of radius $\dfrac12$ foot centered at each corner of the tile. The remaining portion of the tile is shaded. How many square feet of the floor are shaded?

$80 - 20\pi$

$60 - 10\pi$

$80 - 10\pi$

$60 + 10\pi$

$80 + 10\pi$

Respuesta: A

Conceptos:área del círculo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

Los cuatro cuartos de círculo de una baldosa forman juntos un círculo completo de radio $\dfrac12,$ con área $\pi\left(\dfrac12\right)^2 = \dfrac{\pi}{4}.$

Así, cada baldosa tiene un área sombreada de $1 - \dfrac{\pi}{4}$ pies cuadrados.

Hay $8 \cdot 10 = 80$ baldosas, así que el área sombreada total es $80\left(1 - \dfrac{\pi}{4}\right) = 80 - 20\pi.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The four quarter circles on a tile together make one full circle of radius $\dfrac12,$ with area $\pi\left(\dfrac12\right)^2 = \dfrac{\pi}{4}.$

So each tile has shaded area $1 - \dfrac{\pi}{4}$ square feet.

There are $8 \cdot 10 = 80$ tiles, so the total shaded area is $80\left(1 - \dfrac{\pi}{4}\right) = 80 - 20\pi.$

Thus, A is the correct answer.

9.

Un dado justo tiene caras $1, 1, 2, 2, 3, 3$ y otro tiene caras $4, 4, 5, 5, 6, 6.$ Se lanzan los dados y se suman los números de las caras superiores. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea impar?

One fair die has faces $1, 1, 2, 2, 3, 3$ and another has faces $4, 4, 5, 5, 6, 6.$ The dice are rolled and the numbers on the top faces are added. What is the probability that the sum will be odd?

$\dfrac13$

$\dfrac49$

$\dfrac12$

$\dfrac59$

$\dfrac23$

Respuesta: D

Conceptos:dados (probabilidad)paridad eventos independientes

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

El primer dado es impar (un $1$ o $3$ ) con probabilidad $\dfrac23$ y par con probabilidad $\dfrac13.$ El segundo dado es impar (un $5$ ) con probabilidad $\dfrac13$ y par con probabilidad $\dfrac23.$

La suma es impar cuando las dos paridades difieren: $\dfrac13 \cdot \dfrac13 + \dfrac23 \cdot \dfrac23 = \dfrac19 + \dfrac49 = \dfrac59.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The first die is odd (a $1$ or $3$ ) with probability $\dfrac23$ and even with probability $\dfrac13.$ The second die is odd (a $5$ ) with probability $\dfrac13$ and even with probability $\dfrac23.$

The sum is odd when the two parities differ: $\dfrac13 \cdot \dfrac13 + \dfrac23 \cdot \dfrac23 = \dfrac19 + \dfrac49 = \dfrac59.$

Thus, D is the correct answer.

10.

En el $\triangle ABC,$ tenemos $AC = BC = 7$ y $AB = 2.$ Supón que $D$ es un punto en la recta $AB$ tal que $B$ está entre $A$ y $D$ y $CD = 8.$ ¿Cuánto vale $BD$ ?

In $\triangle ABC,$ we have $AC = BC = 7$ and $AB = 2.$ Suppose that $D$ is a point on line $AB$ such that $B$ lies between $A$ and $D$ and $CD = 8.$ What is $BD?$

$3$

$2\sqrt{3}$

$4$

$5$

$4\sqrt{2}$

Respuesta: A

Conceptos:triángulo isósceles altura Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Sea $H$ el pie de la altura desde $C$ a la recta $AB.$ Como $AC = BC,$ $H$ es el punto medio de $AB,$ así que $BH = 1$ y $CH^2 = 7^2 - 1^2 = 48.$

Al aplicar el teorema de Pitágoras en el $\triangle CHD,$ donde $HD = BH + BD = 1 + BD,$ se obtiene $8^2 = 48 + (1 + BD)^2,$ así que $(1 + BD)^2 = 16.$

Entonces $1 + BD = 4,$ así que $BD = 3.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $H$ be the foot of the altitude from $C$ to line $AB.$ Since $AC = BC,$ $H$ is the midpoint of $AB,$ so $BH = 1$ and $CH^2 = 7^2 - 1^2 = 48.$

Applying the Pythagorean theorem in $\triangle CHD,$ where $HD = BH + BD = 1 + BD,$ gives $8^2 = 48 + (1 + BD)^2,$ so $(1 + BD)^2 = 16.$

Then $1 + BD = 4,$ so $BD = 3.$

Thus, A is the correct answer.

11.

El primer término de una sucesión es $2005.$ Cada término siguiente es la suma de los cubos de los dígitos del término anterior. ¿Cuál es el término $2005$ de la sucesión?

The first term of a sequence is $2005.$ Each succeeding term is the sum of the cubes of the digits of the previous term. What is the $2005$ th term of the sequence?

$29$

$55$

$85$

$133$

$250$

Respuesta: E

Conceptos:recursión dígitos reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

La sucesión comienza $2005, 133, 55, 250, 133, \ldots,$ así que después del primer término repite el ciclo $133, 55, 250$ de longitud $3.$

Los términos a partir de la posición $2$ siguen este ciclo. Como $2005 = 2 + 3 \cdot 667 + 2,$ el término $2005$ coincide con la tercera entrada del ciclo, $250.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The sequence begins $2005, 133, 55, 250, 133, \ldots,$ so after the first term it repeats the cycle $133, 55, 250$ of length $3.$

The terms from position $2$ onward follow this cycle. Since $2005 = 2 + 3 \cdot 667 + 2,$ the $2005$ th term matches the third entry of the cycle, $250.$

Thus, E is the correct answer.

12.

Se lanzan doce dados justos. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de los números de las caras superiores sea primo?

Twelve fair dice are rolled. What is the probability that the product of the numbers on the top faces is prime?

$\left(\dfrac{1}{12}\right)^{12}$

$\left(\dfrac{1}{6}\right)^{12}$

$2\left(\dfrac{1}{6}\right)^{11}$

$\dfrac52\left(\dfrac{1}{6}\right)^{11}$

$\left(\dfrac{1}{6}\right)^{10}$

Respuesta: E

Conceptos:dados (probabilidad)primo principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1480

Solución:

El producto es primo exactamente cuando un dado muestra un primo ( $2, 3,$ o $5$ ) y los otros once muestran todos $1.$

La probabilidad de que un dado cualquiera sea el que muestra el primo es $\dfrac36 = \dfrac12,$ y cada uno de los otros once muestra $1$ con probabilidad $\dfrac16.$ Teniendo en cuenta cuál de los doce dados es el primo, la probabilidad es $\begin{aligned} 12 \cdot \dfrac12 \cdot \left(\dfrac16\right)^{11} &= 6 \cdot \left(\dfrac16\right)^{11} \\ &= \left(\dfrac16\right)^{10}. \end{aligned}$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The product is prime exactly when one die shows a prime ( $2, 3,$ or $5$ ) and the other eleven all show $1.$

The probability that any single die is the prime one is $\dfrac36 = \dfrac12,$ and each of the other eleven shows $1$ with probability $\dfrac16.$ Accounting for which of the twelve dice is prime, the probability is $\begin{aligned} 12 \cdot \dfrac12 \cdot \left(\dfrac16\right)^{11} &= 6 \cdot \left(\dfrac16\right)^{11} \\ &= \left(\dfrac16\right)^{10}. \end{aligned}$

Thus, E is the correct answer.

13.

¿Cuántos números entre $1$ y $2005$ son múltiplos enteros de $3$ o $4$ pero no de $12$ ?

How many numbers between $1$ and $2005$ are integer multiples of $3$ or $4$ but not $12?$

$501$

$668$

$835$

$1002$

$1169$

Respuesta: C

Conceptos:múltiplo inclusión-exclusión conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Entre $1$ y $2005$ hay $668$ múltiplos de $3,$ $501$ múltiplos de $4,$ y $167$ múltiplos de $12.$

Todo múltiplo de $12$ es a la vez múltiplo de $3$ y de $4,$ así que quitarlos de cada grupo da $\begin{aligned} &(668 - 167) \\ &\quad {}+ (501 - 167) = 835 \end{aligned}$ números que son múltiplos de $3$ o $4$ pero no de $12.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Between $1$ and $2005$ there are $668$ multiples of $3,$ $501$ multiples of $4,$ and $167$ multiples of $12.$

Every multiple of $12$ is both a multiple of $3$ and of $4,$ so removing them from each group gives $\begin{aligned} &(668 - 167) \\ &\quad {}+ (501 - 167) = 835 \end{aligned}$ numbers that are multiples of $3$ or $4$ but not $12.$

Thus, C is the correct answer.

14.

El $\triangle ABC$ equilátero tiene lado $2,$ $M$ es el punto medio de $\overline{AC},$ y $C$ es el punto medio de $\overline{BD}.$ ¿Cuál es el área del $\triangle CDM$ ?

Equilateral $\triangle ABC$ has side length $2,$ $M$ is the midpoint of $\overline{AC},$ and $C$ is the midpoint of $\overline{BD}.$ What is the area of $\triangle CDM?$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$1$

$\sqrt{2}$

Respuesta: C

Conceptos:triángulo equilátero área del triángulo punto medio

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Toma $\overline{CD}$ como base. Como $C$ es el punto medio de $\overline{BD}$ y $BC = 2,$ tenemos $CD = 2.$

La altura del $\triangle CDM$ es la distancia desde $M$ a la recta $BD.$ Como $M$ es el punto medio de $\overline{AC},$ esta distancia es la mitad de la altura del $\triangle ABC,$ que es $\dfrac12 \cdot \sqrt3 = \dfrac{\sqrt3}{2}.$

El área es $\dfrac12 \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{\sqrt3}{2}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Take $\overline{CD}$ as the base. Since $C$ is the midpoint of $\overline{BD}$ and $BC = 2,$ we have $CD = 2.$

The height of $\triangle CDM$ is the distance from $M$ to line $BD.$ Because $M$ is the midpoint of $\overline{AC},$ this distance is half the height of $\triangle ABC,$ which is $\dfrac12 \cdot \sqrt3 = \dfrac{\sqrt3}{2}.$

The area is $\dfrac12 \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{\sqrt3}{2}.$

Thus, C is the correct answer.

15.

Un sobre contiene ocho billetes: $2$ de un dólar, $2$ de cinco, $2$ de diez y $2$ de veinte. Se sacan dos billetes al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que su suma sea $\$20$ o más?

An envelope contains eight bills: $2$ ones, $2$ fives, $2$ tens, and $2$ twenties. Two bills are drawn at random without replacement. What is the probability that their sum is $\$20$ or more?

$\dfrac14$

$\dfrac25$

$\dfrac37$

$\dfrac12$

$\dfrac23$

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad básica combinaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Hay $\binom82 = 28$ pares igualmente probables.

Una suma de al menos $\$20$ proviene de los dos de veinte ( $1$ forma), un veinte junto con cualquiera de los seis billetes menores ( $2 \cdot 6 = 12$ formas), o los dos de diez ( $1$ forma).

La probabilidad es $\dfrac{1 + 12 + 1}{28} = \dfrac{14}{28} = \dfrac12.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

There are $\binom82 = 28$ equally likely pairs.

A sum of at least $\$20$ comes from both twenties ( $1$ way), a twenty paired with any of the six smaller bills ( $2 \cdot 6 = 12$ ways), or both tens ( $1$ way).

The probability is $\dfrac{1 + 12 + 1}{28} = \dfrac{14}{28} = \dfrac12.$

Thus, D is the correct answer.

16.

La ecuación cuadrática $x^2 + mx + n = 0$ tiene raíces que son el doble de las de $x^2 + px + m = 0,$ y ninguno de $m, n,$ y $p$ es cero. ¿Cuál es el valor de $\dfrac{n}{p}$ ?

The quadratic equation $x^2 + mx + n = 0$ has roots that are twice those of $x^2 + px + m = 0,$ and none of $m, n,$ and $p$ is zero. What is the value of $\dfrac{n}{p}?$

$1$

$2$

$4$

$8$

$16$

Respuesta: D

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática

Nivel de dificultad: 1480

Solución:

Sean $r_1$ y $r_2$ las raíces de $x^2 + px + m = 0,$ así que $m = r_1 r_2$ y $p = -(r_1 + r_2).$

Las raíces de $x^2 + mx + n = 0$ son $2r_1$ y $2r_2,$ así que $n = 4r_1 r_2$ y $-m = 2(r_1 + r_2).$

Entonces $n = 4m$ y $m = -2(r_1 + r_2) = 2p,$ así que $p = \dfrac{m}{2}.$ Por lo tanto $\dfrac{n}{p} = \dfrac{4m}{m/2} = 8.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $r_1$ and $r_2$ be the roots of $x^2 + px + m = 0,$ so $m = r_1 r_2$ and $p = -(r_1 + r_2).$

The roots of $x^2 + mx + n = 0$ are $2r_1$ and $2r_2,$ so $n = 4r_1 r_2$ and $-m = 2(r_1 + r_2).$

Then $n = 4m$ and $m = -2(r_1 + r_2) = 2p,$ so $p = \dfrac{m}{2}.$ Therefore $\dfrac{n}{p} = \dfrac{4m}{m/2} = 8.$

Thus, D is the correct answer.

17.

Supón que $4^a = 5,$ $5^b = 6,$ $6^c = 7,$ y $7^d = 8.$ ¿Cuánto vale $a \cdot b \cdot c \cdot d$ ?

Suppose that $4^a = 5,$ $5^b = 6,$ $6^c = 7,$ and $7^d = 8.$ What is $a \cdot b \cdot c \cdot d?$

$1$

$\dfrac32$

$2$

$\dfrac52$

$3$

Respuesta: B

Conceptos:exponente telescópica

Nivel de dificultad: 1480

Solución:

Encadenando las ecuaciones, $\begin{aligned} 4^{abcd} &= \left(\left(\left(4^a\right)^b\right)^c\right)^d \\ &= \left(\left(5^b\right)^c\right)^d \\ &= \left(6^c\right)^d = 7^d = 8. \end{aligned}$

Como $8 = 4^{3/2},$ concluimos que $a \cdot b \cdot c \cdot d = \dfrac32.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Chaining the equations, $\begin{aligned} 4^{abcd} &= \left(\left(\left(4^a\right)^b\right)^c\right)^d \\ &= \left(\left(5^b\right)^c\right)^d \\ &= \left(6^c\right)^d = 7^d = 8. \end{aligned}$

Since $8 = 4^{3/2},$ we conclude $a \cdot b \cdot c \cdot d = \dfrac32.$

Thus, B is the correct answer.

18.

Todos los números de teléfono de David tienen la forma $555\text{–}abc\text{–}defg,$ donde $a, b, c, d, e, f,$ y $g$ son dígitos distintos y en orden creciente, y ninguno es $0$ ni $1.$ ¿Cuántos números de teléfono distintos puede tener David?

All of David's telephone numbers have the form $555\text{–}abc\text{–}defg,$ where $a, b, c, d, e, f,$ and $g$ are distinct digits and in increasing order, and none is either $0$ or $1.$ How many different telephone numbers can David have?

$1$

$2$

$7$

$8$

$9$

Respuesta: D

Conceptos:combinaciones biyección

Nivel de dificultad: 1510

Solución:

Los siete dígitos se eligen de $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\},$ y una vez elegidos deben escribirse en orden creciente, así que solo importa la elección de los dígitos.

Elegir siete de estos ocho dígitos es lo mismo que elegir el único dígito que se deja fuera, lo cual puede hacerse de $8$ maneras.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The seven digits are chosen from $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\},$ and once chosen they must be written in increasing order, so only the choice of digits matters.

Choosing seven of these eight digits is the same as choosing the one digit to leave out, which can be done in $8$ ways.

Thus, D is the correct answer.

19.

En cierto examen de matemáticas, el $10\%$ de los estudiantes obtuvo $70$ puntos, el $25\%$ obtuvo $80$ puntos, el $20\%$ obtuvo $85$ puntos, el $15\%$ obtuvo $90$ puntos, y el resto obtuvo $95$ puntos. ¿Cuál es la diferencia entre la media y la mediana de las notas de este examen?

On a certain math exam, $10\%$ of the students got $70$ points, $25\%$ got $80$ points, $20\%$ got $85$ points, $15\%$ got $90$ points, and the rest got $95$ points. What is the difference between the mean and the median score on this exam?

$0$

$1$

$2$

$4$

$5$

Respuesta: B

Conceptos:media mediana (datos)porcentaje

Nivel de dificultad: 1420

Solución:

El porcentaje que obtuvo $95$ es $100 - 10 - 25 - 20 - 15 = 30.$

La media es $\begin{aligned} &0.10(70) + 0.25(80) \\ &\quad {}+ 0.20(85) + 0.15(90) \\ &\quad {}+ 0.30(95) = 86. \end{aligned}$

Como el $35\%$ obtuvo menos de $85$ y el $35\%$ obtuvo más de $85,$ el estudiante del medio obtuvo $85,$ así que la mediana es $85.$

La diferencia es $86 - 85 = 1.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The percentage scoring $95$ is $100 - 10 - 25 - 20 - 15 = 30.$

The mean is $\begin{aligned} &0.10(70) + 0.25(80) \\ &\quad {}+ 0.20(85) + 0.15(90) \\ &\quad {}+ 0.30(95) = 86. \end{aligned}$

Since $35\%$ scored below $85$ and $35\%$ scored above $85,$ the middle student scored $85,$ so the median is $85.$

The difference is $86 - 85 = 1.$

Thus, B is the correct answer.

20.

¿Cuál es el promedio (media) de todos los números de $5$ dígitos que se pueden formar usando cada uno de los dígitos $1, 3, 5, 7,$ y $8$ exactamente una vez?

What is the average (mean) of all $5$ -digit numbers that can be formed by using each of the digits $1, 3, 5, 7,$ and $8$ exactly once?

$48000$

$49999.5$

$53332.8$

$55555$

$56432.8$

Respuesta: C

Conceptos:permutaciones valor posicional simetría

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

Por simetría, cada uno de los cinco dígitos aparece con la misma frecuencia en cada posición, así que el dígito promedio en cada posición es $\dfrac{1 + 3 + 5 + 7 + 8}{5} = 4.8.$

Por lo tanto, el número promedio es $\begin{gathered} \small 4.8(1 + 10 + 100 + 1000 + 10000) \\ = 4.8 \cdot 11111 = 53332.8. \end{gathered}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

By symmetry, each of the five digits appears equally often in each place, so the average digit in every place is $\dfrac{1 + 3 + 5 + 7 + 8}{5} = 4.8.$

The average number is therefore $\begin{gathered} \small 4.8(1 + 10 + 100 + 1000 + 10000) \\ = 4.8 \cdot 11111 = 53332.8. \end{gathered}$

Thus, C is the correct answer.

21.

Se colocan cuarenta papeletas en un sombrero, cada una con un número $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,$ o $10,$ y cada número aparece en cuatro papeletas. Se sacan cuatro papeletas del sombrero al azar y sin reemplazo. Sea $p$ la probabilidad de que las cuatro papeletas tengan el mismo número. Sea $q$ la probabilidad de que dos de las papeletas tengan un número $a$ y las otras dos tengan un número $b \ne a.$ ¿Cuál es el valor de $\dfrac{q}{p}$ ?

Forty slips are placed into a hat, each bearing a number $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,$ or $10,$ with each number entered on four slips. Four slips are drawn from the hat at random and without replacement. Let $p$ be the probability that all four slips bear the same number. Let $q$ be the probability that two of the slips bear a number $a$ and the other two bear a number $b \ne a.$ What is the value of $\dfrac{q}{p}?$

$162$

$180$

$324$

$360$

$720$

Respuesta: A

Conceptos:probabilidad básica combinaciones muestreo sin reemplazo

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Ambos eventos se extraen de $\binom{40}{4}$ selecciones igualmente probables, así que $\dfrac{q}{p}$ es la razón de sus conteos favorables.

Exactamente $10$ extracciones dan cuatro papeletas del mismo número, una por cada valor.

Para dos $a$ y dos $b$ , elige los dos valores de $\binom{10}{2}$ maneras, luego dos de las cuatro papeletas de $a$ y dos de las cuatro papeletas de $b$ : $\begin{aligned} \binom{10}{2}\binom{4}{2}\binom{4}{2} &= 45 \cdot 6 \cdot 6 \\ &= 1620. \end{aligned}$

Por lo tanto $\dfrac{q}{p} = \dfrac{1620}{10} = 162.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Both events draw from $\binom{40}{4}$ equally likely selections, so $\dfrac{q}{p}$ is the ratio of their favorable counts.

Exactly $10$ draws give four slips of the same number, one for each value.

For two $a$ 's and two $b$ 's, choose the two values in $\binom{10}{2}$ ways, then two of the four $a$ -slips and two of the four $b$ -slips: $\begin{aligned} \binom{10}{2}\binom{4}{2}\binom{4}{2} &= 45 \cdot 6 \cdot 6 \\ &= 1620. \end{aligned}$

Therefore $\dfrac{q}{p} = \dfrac{1620}{10} = 162.$

Thus, A is the correct answer.

22.

¿Para cuántos enteros positivos $n$ menores o iguales que $24$ es $n!$ divisible exactamente por $1 + 2 + \cdots + n$ ?

For how many positive integers $n$ less than or equal to $24$ is $n!$ evenly divisible by $1 + 2 + \cdots + n?$

$8$

$12$

$16$

$17$

$21$

Respuesta: C

Conceptos:número triangular factorial divisibilidad primo

Nivel de dificultad: 1990

Solución:

Como $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2},$ la divisibilidad equivale a que $\dfrac{n!}{n(n+1)/2} = \dfrac{2(n-1)!}{n+1}$ sea un entero.

Si $n + 1$ no es primo (y $n \ge 1$ ), sus factores aparecen entre $1, 2, \ldots, n-1$ o en el factor $2,$ así que la fracción es un entero. Si $n + 1$ es un primo impar, no divide ni a $(n-1)!$ ni a $2,$ así que la fracción no es un entero.

Los primos impares menores o iguales que $25$ son $3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,$ lo que da $8$ valores fallidos de $n.$ Por lo tanto $24 - 8 = 16$ valores funcionan.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2},$ divisibility is equivalent to $\dfrac{n!}{n(n+1)/2} = \dfrac{2(n-1)!}{n+1}$ being an integer.

If $n + 1$ is not prime (and $n \ge 1$ ), its factors appear among $1, 2, \ldots, n-1$ or in the factor $2,$ so the fraction is an integer. If $n + 1$ is an odd prime, it divides neither $(n-1)!$ nor $2,$ so the fraction is not an integer.

The odd primes at most $25$ are $3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,$ giving $8$ failing values of $n.$ Hence $24 - 8 = 16$ values work.

Thus, C is the correct answer.

23.

En el trapecio $ABCD$ tenemos $\overline{AB}$ paralelo a $\overline{DC},$ $E$ como punto medio de $\overline{BC},$ y $F$ como punto medio de $\overline{DA}.$ El área de $ABEF$ es el doble del área de $FECD.$ ¿Cuánto vale $\dfrac{AB}{DC}$ ?

In trapezoid $ABCD$ we have $\overline{AB}$ parallel to $\overline{DC},$ $E$ as the midpoint of $\overline{BC},$ and $F$ as the midpoint of $\overline{DA}.$ The area of $ABEF$ is twice the area of $FECD.$ What is $\dfrac{AB}{DC}?$

$2$

$3$

$5$

$6$

$8$

Respuesta: C

Conceptos:trapecio razón de áreas punto medio

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Sea $AB = a$ y $DC = c.$ El segmento medio $\overline{FE}$ tiene longitud $\dfrac{a + c}{2},$ y $ABEF$ y $FECD$ tienen la misma altura.

Sus áreas son proporcionales a los promedios de sus lados paralelos, así que $\dfrac{a + \frac{a+c}{2}}{\frac{a+c}{2} + c} = \dfrac{3a + c}{a + 3c} = 2.$

Entonces $3a + c = 2a + 6c,$ así que $a = 5c$ y $\dfrac{AB}{DC} = 5.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $AB = a$ and $DC = c.$ The midsegment $\overline{FE}$ has length $\dfrac{a + c}{2},$ and $ABEF$ and $FECD$ have the same height.

Their areas are proportional to the averages of their parallel sides, so $\dfrac{a + \frac{a+c}{2}}{\frac{a+c}{2} + c} = \dfrac{3a + c}{a + 3c} = 2.$

Then $3a + c = 2a + 6c,$ so $a = 5c$ and $\dfrac{AB}{DC} = 5.$

Thus, C is the correct answer.

24.

Sean $x$ y $y$ enteros de dos dígitos tales que $y$ se obtiene invirtiendo los dígitos de $x.$ Los enteros $x$ y $y$ satisfacen $x^2 - y^2 = m^2$ para algún entero positivo $m.$ ¿Cuánto vale $x + y + m$ ?

Let $x$ and $y$ be two-digit integers such that $y$ is obtained by reversing the digits of $x.$ The integers $x$ and $y$ satisfy $x^2 - y^2 = m^2$ for some positive integer $m.$ What is $x + y + m?$

$88$

$112$

$116$

$144$

$154$

Respuesta: E

Conceptos:dígitos diferencia de cuadrados cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1880

Solución:

Escribe $x = 10a + b$ y $y = 10b + a$ con $a \gt b.$ Entonces $\begin{aligned} m^2 &= x^2 - y^2 \\ &= 99(a^2 - b^2) \\ &= 99(a+b)(a-b). \end{aligned}$

Como $99 = 9 \cdot 11,$ para que $m^2$ sea un cuadrado perfecto necesitamos $11 \mid (a+b)(a-b).$ Como $a + b \le 17,$ esto obliga a $a + b = 11,$ y entonces $a - b$ debe ser a su vez un cuadrado perfecto.

Con $a - b \le 8,$ el único caso viable es $a - b = 1,$ que da $(a, b) = (6, 5).$ Entonces $x = 65,$ $y = 56,$ y $m^2 = 99 \cdot 11 = 33^2,$ así que $m = 33.$

Por lo tanto $x + y + m$ $= 65 + 56 + 33$ $= 154.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Write $x = 10a + b$ and $y = 10b + a$ with $a \gt b.$ Then $\begin{aligned} m^2 &= x^2 - y^2 \\ &= 99(a^2 - b^2) \\ &= 99(a+b)(a-b). \end{aligned}$

Since $99 = 9 \cdot 11,$ for $m^2$ to be a perfect square we need $11 \mid (a+b)(a-b).$ As $a + b \le 17,$ this forces $a + b = 11,$ and then $a - b$ must itself be a perfect square.

With $a - b \le 8,$ the only workable case is $a - b = 1,$ giving $(a, b) = (6, 5).$ Then $x = 65,$ $y = 56,$ and $m^2 = 99 \cdot 11 = 33^2,$ so $m = 33.$

Therefore $x + y + m$ $= 65 + 56 + 33$ $= 154.$

Thus, E is the correct answer.

25.

Un subconjunto $B$ del conjunto de enteros de $1$ a $100,$ inclusive, tiene la propiedad de que no hay dos elementos de $B$ cuya suma sea $125.$ ¿Cuál es el máximo número posible de elementos de $B$ ?

A subset $B$ of the set of integers from $1$ to $100,$ inclusive, has the property that no two elements of $B$ sum to $125.$ What is the maximum possible number of elements in $B?$

$50$

$51$

$62$

$65$

$68$

Respuesta: C

Conceptos:subconjuntos emparejamiento y agrupación argumento extremal

Nivel de dificultad: 1720

Solución:

Los pares que suman $125$ son $(25, 100), (26, 99), \ldots, (62, 63),$ que son $62 - 25 + 1 = 38$ pares. De cada par, $B$ puede contener a lo sumo un elemento.

Los números del $1$ al $24$ no pueden emparejarse con nada dentro del rango para sumar $125,$ así que los $24$ pueden incluirse.

Así, $B$ tiene a lo sumo $38 + 24 = 62$ elementos, y el conjunto $\{1, 2, \ldots, 62\}$ lo alcanza.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The pairs summing to $125$ are $(25, 100), (26, 99), \ldots, (62, 63),$ which is $62 - 25 + 1 = 38$ pairs. From each pair, $B$ may contain at most one element.

The numbers $1$ through $24$ cannot pair with anything in range to sum to $125,$ so all $24$ of them may be included.

Thus $B$ has at most $38 + 24 = 62$ elements, and the set $\{1, 2, \ldots, 62\}$ achieves this.

Thus, C is the correct answer.

Problemas del 2005 AMC 10B

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: C

Solución: