Question

Se colocan cuarenta papeletas en un sombrero, cada una con un número $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,$ o $10,$ y cada número aparece en cuatro papeletas. Se sacan cuatro papeletas del sombrero al azar y sin reemplazo. Sea $p$ la probabilidad de que las cuatro papeletas tengan el mismo número. Sea $q$ la probabilidad de que dos de las papeletas tengan un número $a$ y las otras dos tengan un número $b \ne a.$ ¿Cuál es el valor de $\dfrac{q}{p}$ ?

Forty slips are placed into a hat, each bearing a number $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,$ or $10,$ with each number entered on four slips. Four slips are drawn from the hat at random and without replacement. Let $p$ be the probability that all four slips bear the same number. Let $q$ be the probability that two of the slips bear a number $a$ and the other two bear a number $b \ne a.$ What is the value of $\dfrac{q}{p}?$

$162$

$180$

$324$

$360$

$720$

Solución:

Ambos eventos se extraen de $\binom{40}{4}$ selecciones igualmente probables, así que $\dfrac{q}{p}$ es la razón de sus conteos favorables.

Exactamente $10$ extracciones dan cuatro papeletas del mismo número, una por cada valor.

Para dos $a$ y dos $b$ , elige los dos valores de $\binom{10}{2}$ maneras, luego dos de las cuatro papeletas de $a$ y dos de las cuatro papeletas de $b$ : $\begin{aligned} \binom{10}{2}\binom{4}{2}\binom{4}{2} &= 45 \cdot 6 \cdot 6 \\ &= 1620. \end{aligned}$

Por lo tanto $\dfrac{q}{p} = \dfrac{1620}{10} = 162.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Both events draw from $\binom{40}{4}$ equally likely selections, so $\dfrac{q}{p}$ is the ratio of their favorable counts.

Exactly $10$ draws give four slips of the same number, one for each value.

For two $a$ 's and two $b$ 's, choose the two values in $\binom{10}{2}$ ways, then two of the four $a$ -slips and two of the four $b$ -slips: $\begin{aligned} \binom{10}{2}\binom{4}{2}\binom{4}{2} &= 45 \cdot 6 \cdot 6 \\ &= 1620. \end{aligned}$

Therefore $\dfrac{q}{p} = \dfrac{1620}{10} = 162.$

Thus, A is the correct answer.

2005 AMC 10B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años