Question

Cozy el Gato y Dash el Perro están subiendo una escalera con cierto número de escalones. Sin embargo, en lugar de subir los escalones de uno en uno, tanto Cozy como Dash saltan.

Cozy sube dos escalones con cada salto (aunque si es necesario, simplemente saltará el último escalón).

Dash sube cinco escalones con cada salto (aunque si es necesario, simplemente saltará los últimos escalones si quedan menos de $5$ ).

Supongamos que Dash da $19$ saltos menos que Cozy para llegar a la cima de la escalera. Sea $s$ la suma de todos los posibles números de escalones que puede tener esta escalera. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $s$ ?

Cozy the Cat and Dash the Dog are going up a staircase with a certain number of steps. However, instead of walking up the steps one at a time, both Cozy and Dash jump.

Cozy goes two steps up with each jump (though if necessary, he will just jump the last step).

Dash goes five steps up with each jump (though if necessary, he will just jump the last steps if there are fewer than $5$ steps left).

Suppose Dash takes $19$ fewer jumps than Cozy to reach the top of the staircase. Let $s$ denote the sum of all possible numbers of steps this staircase can have. What is the sum of the digits of $s?$

$9$

$11$

$12$

$13$

$15$

Solución:

Supongamos que Dash da $d+1$ saltos. Entonces el número de escalones $t$ es uno de $\begin{gathered} 5d+1,5d+2,5d+3, \\ 5d+4,5d+5. \end{gathered}$ Cozy da $19$ saltos más, así que Cozy da $d+20$ saltos, lo que significa que $t$ es $2d+39$ o $2d+40$ .

Emparejando estas posibilidades, las soluciones enteras son $\begin{gathered} 5d+3=2d+39, \\ 5d+1=2d+40, \\ 5d+4=2d+40. \end{gathered}$ Estas dan $t=63,66,64$ , respectivamente.

Así $s=63+66+64=193$ , y la suma de sus dígitos es $13$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Suppose Dash takes $d+1$ jumps. Then the number of steps $t$ is one of $\begin{gathered} 5d+1,5d+2,5d+3, \\ 5d+4,5d+5. \end{gathered}$ Cozy takes $19$ more jumps, so Cozy takes $d+20$ jumps, which means $t$ is either $2d+39$ or $2d+40$ .

Matching these possibilities, the integer solutions are $\begin{gathered} 5d+3=2d+39, \\ 5d+1=2d+40, \\ 5d+4=2d+40. \end{gathered}$ They give $t=63,66,64$ , respectively.

Thus $s=63+66+64=193$ , and the sum of its digits is $13$ .

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 10B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años