Question

Polígonos regulares de $5,$ $6,$ $7,$ y $8$ lados están inscritos en el mismo círculo. Ningún par de los polígonos comparte un vértice, y ningún trío de sus lados se corta en un punto común. ¿En cuántos puntos dentro del círculo se cortan dos de sus lados?

Regular polygons with $5,$ $6,$ $7,$ and $8$ sides are inscribed in the same circle. No two of the polygons share a vertex, and no three of their sides intersect at a common point. At how many points inside the circle do two of their sides intersect?

$52$

$56$

$60$

$64$

$68$

Solución:

Para un $k$ -ágono regular y un $n$ -ágono regular inscritos en el mismo círculo con $k\lt n$ y sin vértices compartidos, sus fronteras se cortan en $2k$ puntos. Cada lado del polígono más pequeño es cruzado dos veces por la frontera del polígono más grande.

Por lo tanto, sumamos sobre todos los pares de polígonos. El $5$ -ágono contribuye $2\cdot5$ intersecciones con cada uno de los $6$ -, $7$ - y $8$ -ágonos. El $6$ -ágono contribuye $2\cdot6$ intersecciones con cada uno de los $7$ - y $8$ -ágonos. El $7$ -ágono contribuye $2\cdot7$ con el $8$ -ágono.

El total es $3(10)+2(12)+14=68.$

Por lo tanto, la respuesta es E.

For a regular $k$ -gon and a regular $n$ -gon inscribed in the same circle with $k\lt n$ and no shared vertices, their boundaries intersect in $2k$ points. Each side of the smaller polygon is crossed twice by the boundary of the larger polygon.

Therefore, sum over all pairs of polygons. The $5$ -gon contributes $2\cdot5$ intersections with each of the $6$ -, $7$ -, and $8$ -gons. The $6$ -gon contributes $2\cdot6$ intersections with each of the $7$ - and $8$ -gons. The $7$ -gon contributes $2\cdot7$ with the $8$ -gon.

The total is $3(10)+2(12)+14=68.$

Thus, the answer is E .

2021 AMC 10B Fall Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años