Question

Una esfera está inscrita en un cubo que tiene un área de superficie de $24$ metros cuadrados. Luego se inscribe un segundo cubo dentro de la esfera. ¿Cuál es el área de superficie en metros cuadrados del cubo interior?

A sphere is inscribed in a cube that has a surface area of $24$ square meters. A second cube is then inscribed within the sphere. What is the surface area in square meters of the inner cube?

$3$

$6$

$8$

$9$

$12$

Solución:

Cada cara del cubo exterior tiene área $24 \div 6 = 4,$ así que su lado es $2,$ y la esfera tiene diámetro $2.$

Este diámetro es la diagonal espacial del cubo interior, así que $l\sqrt3 = 2,$ lo que da $l^2 = \tfrac43.$

El área de superficie del cubo interior es $6 l^2 = 6 \cdot \tfrac43 = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each face of the outer cube has area $24 \div 6 = 4,$ so its side is $2,$ and the sphere has diameter $2.$

This diameter is the space diagonal of the inner cube, so $l\sqrt3 = 2,$ giving $l^2 = \tfrac43.$

The inner cube's surface area is $6 l^2 = 6 \cdot \tfrac43 = 8.$

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 10A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años