Question

Una sucesión finita de enteros de tres dígitos tiene la propiedad de que los dígitos de las decenas y las unidades de cada término son, respectivamente, los dígitos de las centenas y las decenas del siguiente término, y los dígitos de las decenas y las unidades del último término son, respectivamente, los dígitos de las centenas y las decenas del primer término. Por ejemplo, una sucesión así podría comenzar con los términos $247, 475,$ y $756$ y terminar con el término $824.$ Sea $S$ la suma de todos los términos de la sucesión. ¿Cuál es el mayor número primo que siempre divide a $S$ ?

A finite sequence of three-digit integers has the property that the tens and units digits of each term are, respectively, the hundreds and tens digits of the next term, and the tens and units digits of the last term are, respectively, the hundreds and tens digits of the first term. For example, such a sequence might begin with terms $247, 475,$ and $756$ and end with the term $824.$ Let $S$ be the sum of all the terms in the sequence. What is the largest prime number that always divides $S?$

$3$

$7$

$13$

$37$

$43$

Solución:

Cada dígito aparece como dígito de las centenas, de las decenas y de las unidades el mismo número de veces a lo largo de la sucesión.

Si $k$ es la suma de los dígitos de las unidades de todos los términos, entonces $S = 111k = 3 \cdot 37 \cdot k,$ así que $S$ siempre es divisible entre $37.$

La sucesión $123, 231, 312$ da $S = 666 = 2 \cdot 3^2 \cdot 37,$ que no fuerza ningún factor primo mayor, así que $37$ es la respuesta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each digit appears as a hundreds digit, a tens digit, and a units digit the same number of times across the sequence.

If $k$ is the sum of the units digits of all terms, then $S = 111k = 3 \cdot 37 \cdot k,$ so $S$ is always divisible by $37.$

The sequence $123, 231, 312$ gives $S = 666 = 2 \cdot 3^2 \cdot 37,$ which has no larger prime factor forced, so $37$ is the answer.

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 10A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años