Question

El octágono regular $ABCDEFGH$ tiene su centro en $J.$ Cada uno de los vértices y el centro se deben asociar con uno de los dígitos $1$ al $9,$ usando cada dígito una vez, de tal manera que las sumas de los números en las líneas $AJE,$ $BJF,$ $CJG,$ y $DJH$ sean todas iguales. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

The regular octagon $ABCDEFGH$ has its center at $J.$ Each of the vertices and the center are to be associated with one of the digits $1$ through $9,$ with each digit used once, in such a way that the sums of the numbers on the lines $AJE,$ $BJF,$ $CJG,$ and $DJH$ are all equal. In how many ways can this be done?

$384$

$576$

$1152$

$1680$

$3456$

Solución:

Sea $S$ definida como: $\begin{aligned} S &= A+J+E \\ &=B+J+F \\ &=C+J+G \\ &=D+J+H \end{aligned}$ $\begin{aligned} 4S &= A+B+C+D+E \\ &\quad+F+G+H+4J \end{aligned}$ $4S = 45+3J$ $45+3J \equiv 0 \mod 4$ $3J \equiv 3 \mod 4$ $J \equiv 1 \mod 4$

Esto significa que $J=1,5,9.$ A partir de aquí, supongamos que $J=1.$ Veremos que los otros casos son lo bastante similares como para omitirlos.

Si $J=1,$ entonces sabemos que los pares de números que satisfacen la igualdad anterior son: $2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6$ Hay $4!$ formas de distribuir los pares en los cuatro grupos, y luego $2^4$ formas de que estos grupos intercambien elementos (es decir, $2+9\iff 9+2$ ).

Ahora, si observamos los casos $J=5$ y $J=9$ , vemos un patrón similar en el número de agrupaciones e intercambios. Así, tenemos: $3\cdot 4! \cdot 2^4 = 1152$ posibilidades.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $S$ be defined as: $\begin{aligned} S &= A+J+E \\ &=B+J+F \\ &=C+J+G \\ &=D+J+H \end{aligned}$ $\begin{aligned} 4S &= A+B+C+D+E \\ &\quad+F+G+H+4J \end{aligned}$ $4S = 45+3J$ $45+3J \equiv 0 \mod 4$ $3J \equiv 3 \mod 4$ $J \equiv 1 \mod 4$

This means that $J=1,5,9.$ From here, let's assume $J=1.$ We will see that the other cases are similar enough to omit.

If $J=1,$ then we know that the pairs of numbers that satisfy the equality above are: $2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6$ There are $4!$ ways to distribute the pairs over the four groups, and then $2^4$ ways for these groups to swap elements (i.e. $2+9\iff 9+2$ ).

Now, if we look at the $J=5$ and $J=9$ cases, we see a similar pattern in the number of groupings and swaps. As such, we have: $3\cdot 4! \cdot 2^4 = 1152$ possibilities.

Thus, the correct answer is C .

2013 AMC 10B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años