Question

Un grupo de equipos disputó un torneo de todos contra todos en el que cada equipo jugó contra cada uno de los demás exactamente una vez. Cada equipo ganó $10$ juegos y perdió $10$ juegos; no hubo empates. ¿Cuántos conjuntos de tres equipos $\{A, B, C\}$ hubo en los que $A$ venció a $B,$ $B$ venció a $C,$ y $C$ venció a $A$ ?

A set of teams held a round-robin tournament in which every team played every other team exactly once. Every team won $10$ games and lost $10$ games; there were no ties. How many sets of three teams $\{A, B, C\}$ were there in which $A$ beat $B,$ $B$ beat $C,$ and $C$ beat $A?$

$\ 385$

$\ 665$

$\ 945$

$\ 1140$

$\ 1330$

Solución:

El número total de equipos es $10+10+1=21$ . Por lo tanto, el número total de conjuntos de tres equipos es $\binom{21}{3} = 1330$ .

Entre los conjuntos de tres equipos sin ciclo de victorias, uno de los equipos vence a los otros dos. Hay $21$ maneras de elegir ese equipo y $\binom{10}{2} = 45$ maneras de elegir los dos equipos a los que venció. Así, los conjuntos sin ciclo son $21\cdot 45=945$ , y el número de conjuntos con ciclo es $1330-945=385$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The total number of teams is $10+10+1=21.$ The total number of sets is therefore $\binom{21}{3} = 1330.$

Now, we must subtract the total number of sets such that there is no cycle. This only happens if one team beats the other two teams. There are $21$ choices for the team that beat the other two and $\binom{10}{2} = 45$ ways to choose the teams they beat. Thus, the total of non-cycles is $21\cdot 45=945.$ This means the total number of cycles is $1330-945=385.$

Thus, the correct answer is A .

2016 AMC 10B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años