Question

¿Para cuántos enteros positivos $n$ menores o iguales que $24$ es $n!$ divisible exactamente por $1 + 2 + \cdots + n$ ?

For how many positive integers $n$ less than or equal to $24$ is $n!$ evenly divisible by $1 + 2 + \cdots + n?$

$8$

$12$

$16$

$17$

$21$

Solución:

Como $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2},$ la divisibilidad equivale a que $\dfrac{n!}{n(n+1)/2} = \dfrac{2(n-1)!}{n+1}$ sea un entero.

Si $n + 1$ no es primo (y $n \ge 1$ ), sus factores aparecen entre $1, 2, \ldots, n-1$ o en el factor $2,$ así que la fracción es un entero. Si $n + 1$ es un primo impar, no divide ni a $(n-1)!$ ni a $2,$ así que la fracción no es un entero.

Los primos impares menores o iguales que $25$ son $3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,$ lo que da $8$ valores fallidos de $n.$ Por lo tanto $24 - 8 = 16$ valores funcionan.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2},$ divisibility is equivalent to $\dfrac{n!}{n(n+1)/2} = \dfrac{2(n-1)!}{n+1}$ being an integer.

If $n + 1$ is not prime (and $n \ge 1$ ), its factors appear among $1, 2, \ldots, n-1$ or in the factor $2,$ so the fraction is an integer. If $n + 1$ is an odd prime, it divides neither $(n-1)!$ nor $2,$ so the fraction is not an integer.

The odd primes at most $25$ are $3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,$ giving $8$ failing values of $n.$ Hence $24 - 8 = 16$ values work.

Thus, C is the correct answer.

2005 AMC 10B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años