Question

¿Para cuántos enteros positivos $n$ menores o iguales que $24$ es $n!$ divisible por $1 + 2 + \cdots + n$ ?

For how many positive integers $n$ less than or equal to $24$ is $n!$ evenly divisible by $1 + 2 + \cdots + n?$

$8$

$12$

$16$

$17$

$21$

Respuesta: C

Conceptos:número triangular factorial divisibilidad primo

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Usa $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ y simplifica $\dfrac{n!}{\frac{n(n+1)}{2}}$ .

Use $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ and simplify $\dfrac{n!}{\frac{n(n+1)}{2}}$

Pista grande:

La fracción reducida $\dfrac{2(n-1)!}{n+1}$ deja de ser un entero exactamente cuando $n+1$ es un primo impar.

The reduced fraction $\dfrac{2(n-1)!}{n+1}$ fails to be an integer exactly when $n+1$ is an odd prime

Solución:

Como $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2},$ la divisibilidad equivale a que $\dfrac{n!}{\frac{n(n+1)}{2}} = \dfrac{2(n-1)!}{n+1}$ sea un entero.

Sea $N=n+1.$ Si $N$ es compuesto y no es un cuadrado, tiene dos factores propios distintos cuyo producto es $N;$ ambos aparecen en $(N-2)!=(n-1)!.$ Si $N=k^2$ con $k\ge3,$ los factores $k$ y $2k$ aparecen en ese factorial, que por tanto contiene un múltiplo de $2N.$ El caso compuesto restante, $N=4,$ también divide a $2(N-2)!=4.$ Así, la fracción es entera cuando $N$ es compuesto. Si $N=n+1$ es un primo impar, no divide ni a $(n-1)!$ ni a $2,$ por lo que la fracción no es entera. El primo par $N=2$ da $n=1,$ que sí funciona.

Los primos impares menores o iguales que $25$ son $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ $17,$ $19,$ $23,$ que dan $8$ valores fallidos de $n.$ Por tanto, funcionan $24 - 8 = 16$ valores.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2},$ divisibility is equivalent to $\dfrac{n!}{\frac{n(n+1)}{2}} = \dfrac{2(n-1)!}{n+1}$ being an integer.

Put $N=n+1.$ If $N$ is composite and not a square, it has two distinct proper factors whose product is $N;$ both occur in $(N-2)!=(n-1)!.$ If $N=k^2$ with $k\ge3,$ the factors $k$ and $2k$ occur in that factorial, so it contains a multiple of $2N.$ The remaining composite case, $N=4,$ also divides $2(N-2)!=4.$ Thus the fraction is an integer whenever $N$ is composite. If $N=n+1$ is an odd prime, it divides neither $(n-1)!$ nor $2,$ so the fraction is not an integer. The even prime $N=2$ gives $n=1,$ which works.

The odd primes at most $25$ are $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ $17,$ $19,$ $23,$ giving $8$ failing values of $n.$ Hence $24 - 8 = 16$ values work.

Thus, C is the correct answer.

2005 AMC 10B Problema 22

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años