Usa $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ y simplifica $\dfrac{n!}{\frac{n(n+1)}{2}}$.

La fracción reducida $\dfrac{2(n-1)!}{n+1}$ deja de ser un entero exactamente cuando $n+1$ es un primo impar.

Como $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2},$ la divisibilidad equivale a que $$\dfrac{n!}{\frac{n(n+1)}{2}} = \dfrac{2(n-1)!}{n+1}$$ sea un entero.

Sea $N=n+1.$ Si $N$ es compuesto y no es un cuadrado, tiene dos factores propios distintos cuyo producto es $N;$ ambos aparecen en $(N-2)!=(n-1)!.$ Si $N=k^2$ con $k\ge3,$ los factores $k$ y $2k$ aparecen en ese factorial, que por tanto contiene un múltiplo de $2N.$ El caso compuesto restante, $N=4,$ también divide a $2(N-2)!=4.$ Así, la fracción es entera cuando $N$ es compuesto. Si $N=n+1$ es un primo impar, no divide ni a $(n-1)!$ ni a $2,$ por lo que la fracción no es entera. El primo par $N=2$ da $n=1,$ que sí funciona.

Los primos impares menores o iguales que $25$ son $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ $17,$ $19,$ $23,$ que dan $8$ valores fallidos de $n.$ Por tanto, funcionan $24 - 8 = 16$ valores.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.