Question

¿Cuántos valores distintos de $x$ satisfacen $\lfloor x \rfloor^2 - 3x + 2 = 0,$ donde $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $x$ ?

How many distinct values of $x$ satisfy $\lfloor x \rfloor^2 - 3x + 2 = 0,$ where $\lfloor x \rfloor$ denotes the largest integer less than or equal to $x?$

un número infinito

an infinite number

$4$

$2$

$3$

$0$

Respuesta: B

Conceptos:funciones piso y techo sustitución acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Haz $n = \lfloor x \rfloor;$ entonces $x = \frac{n^2 + 2}{3}$ .

Set $n = \lfloor x \rfloor;$ then $x = \frac{n^2 + 2}{3}$

Pista grande:

Exige $n \le \frac{n^2 + 2}{3} \lt n + 1$ y encuentra los enteros $n$ que funcionan.

Require $n \le \frac{n^2 + 2}{3} \lt n + 1$ and find the integers $n$ that work

Solución:

Haz $n = \lfloor x \rfloor.$ Entonces $n^2 - 3x + 2 = 0$ da $x = \frac{n^2 + 2}{3}.$ Para que esto sea consistente necesitamos $n \le \frac{n^2 + 2}{3} \lt n + 1.$ El lado izquierdo, $n^2 - 3n + 2 \ge 0,$ se cumple para todo entero $n.$ El lado derecho, $n^2 - 3n - 1 \lt 0,$ se cumple solo para $n \in \{0, 1, 2, 3\}.$ Esos dan $x = \frac{2}{3}, 1, 2, \frac{11}{3},$ así que hay $4$ valores distintos. Por lo tanto, la respuesta es B.

Set $n = \lfloor x \rfloor.$ Then $n^2 - 3x + 2 = 0$ gives $x = \frac{n^2 + 2}{3}.$ For this to be consistent we need $n \le \frac{n^2 + 2}{3} \lt n + 1.$ The left side, $n^2 - 3n + 2 \ge 0,$ holds for every integer $n.$ The right side, $n^2 - 3n - 1 \lt 0,$ holds only for $n \in \{0, 1, 2, 3\}.$ Those give $x = \frac{2}{3}, 1, 2, \frac{11}{3},$ so there are $4$ distinct values. Therefore, the answer is B.

2023 AMC 10B Problema 22

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años