Question

¿Cuántos valores distintos de

x

satisfacen

\lfloor x \rfloor^2 - 3x + 2 = 0,

donde

\lfloor x \rfloor

denota el mayor entero menor o igual que

x

?

How many distinct values of

x

satisfy

\lfloor x \rfloor^2 - 3x + 2 = 0,

where

\lfloor x \rfloor

denotes the largest integer less than or equal to

x?

un número infinito

an infinite number

4

2

3

0

Respuesta: B

Conceptos:funciones piso y techo sustitución acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Haz

n = \lfloor x \rfloor;

entonces

x = \frac{n^2 + 2}{3}

.

Set

n = \lfloor x \rfloor;

then

x = \frac{n^2 + 2}{3}

Pista grande:

Exige

n \le \frac{n^2 + 2}{3} \lt n + 1

y encuentra los enteros

n

que funcionan.

Require

n \le \frac{n^2 + 2}{3} \lt n + 1

and find the integers

n

that work

Solución:

Haz

n = \lfloor x \rfloor.

Entonces

n^2 - 3x + 2 = 0

da

x = \frac{n^2 + 2}{3}.

Para que esto sea consistente necesitamos

n \le \frac{n^2 + 2}{3} \lt n + 1.

El lado izquierdo,

n^2 - 3n + 2 \ge 0,

se cumple para todo entero

n.

El lado derecho,

n^2 - 3n - 1 \lt 0,

se cumple solo para

n \in \{0, 1, 2, 3\}.

Esos dan

x = \frac{2}{3}, 1, 2, \frac{11}{3},

así que hay

4

valores distintos. Por lo tanto, la respuesta es B.

Set

n = \lfloor x \rfloor.

Then

n^2 - 3x + 2 = 0

gives

x = \frac{n^2 + 2}{3}.

For this to be consistent we need

n \le \frac{n^2 + 2}{3} \lt n + 1.

The left side,

n^2 - 3n + 2 \ge 0,

holds for every integer

n.

The right side,

n^2 - 3n - 1 \lt 0,

holds only for

n \in \{0, 1, 2, 3\}.

Those give

x = \frac{2}{3}, 1, 2, \frac{11}{3},

so there are

4

distinct values. Therefore, the answer is B.

2023 AMC 10B Problema 22

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años