Question

En el rectángulo $ABCD,$ $\overline{AB}=20$ y $\overline{BC}=10.$ Sea $E$ un punto sobre $\overline{CD}$ tal que $\angle CBE=15^\circ.$ ¿Cuánto vale $\overline{AE}$ ?

In rectangle $ABCD,$ $\overline{AB}=20$ and $\overline{BC}=10.$ Let $E$ be a point on $\overline{CD}$ such that $\angle CBE=15^\circ.$ What is $\overline{AE}?$

$\dfrac{20\sqrt3}3$

$10\sqrt3$

$18$

$11\sqrt3$

$20$

Solución:

Sea $E'$ el punto sobre $\overline{CD}$ tal que $AE'=AB=20$ .

Como $AD=10$ , el triángulo $ADE'$ es un triángulo $30$ - $60$ - $90$ , así que $\angle DAE'=60^\circ$ y $\angle BAE'=30^\circ$ .

Además $AE'=AB$ , por lo que el triángulo $ABE'$ es isósceles. Su ángulo en el vértice $A$ es $30^\circ$ , así que cada ángulo de la base es $75^\circ$ .

Por lo tanto $\angle CBE'=90^\circ-75^\circ=15^\circ$ , así que $E'=E$ , y $AE=20$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let $E'$ be the point on $\overline{CD}$ such that $AE'=AB=20$ .

Since $AD=10$ , triangle $ADE'$ is a $30$ - $60$ - $90$ triangle, so $\angle DAE'=60^\circ$ and $\angle BAE'=30^\circ$ .

Also $AE'=AB$ , so triangle $ABE'$ is isosceles. Its vertex angle at $A$ is $30^\circ$ , so each base angle is $75^\circ$ .

Therefore $\angle CBE'=90^\circ-75^\circ=15^\circ$ , so $E'=E$ , and $AE=20$ .

Thus, E is the correct answer.

2014 AMC 10A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años