Question

¿Cuál es el residuo cuando $2^{202} +202$ se divide entre $2^{101}+2^{51}+1$ ?

What is the remainder when $2^{202} +202$ is divided by $2^{101}+2^{51}+1?$

$100$

$101$

$200$

$201$

$202$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $m=2^{101}+2^{51}+1$ . Factorizamos el numerador alrededor de este divisor: $\begin{aligned} &2^{202}+202 \\ &\quad =(2^{101}+1)^2-(2^{51})^2+201. \end{aligned}$ Por la diferencia de cuadrados, $\begin{aligned} &(2^{101}+1)^2-(2^{51})^2 \\ &\quad =(2^{101}+2^{51}+1) \\ &\quad {}\cdot(2^{101}-2^{51}+1), \end{aligned}$ que es un múltiplo de $m$ . Por lo tanto $2^{202}+202\equiv 201\pmod m.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $m=2^{101}+2^{51}+1$ . We factor the numerator around this divisor: $\begin{aligned} &2^{202}+202 \\ &\quad =(2^{101}+1)^2-(2^{51})^2+201. \end{aligned}$ By the difference of squares, $\begin{aligned} &(2^{101}+1)^2-(2^{51})^2 \\ &\quad =(2^{101}+2^{51}+1) \\ &\quad {}\cdot(2^{101}-2^{51}+1), \end{aligned}$ which is a multiple of $m$ . Therefore $2^{202}+202\equiv 201\pmod m.$

Thus, the correct answer is D .

2020 AMC 10B Problema 22

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 22 en otros años